Partielle Di erentialgleichungen I Blatt 12 Lösungen bitte zur Übung am 12. Januar 2018 mitbringen

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1 Universität Leipzig Mathematisches Institut Prof. Dr. László Székelyhidi Dr. Stefano Modena WS07/8 Partielle Di erentialgleichungen I Blatt Lösungen bitte zur Übung am. Januar 08 mitbringen Aufgabe 45. Sei u C (R R) mit@ t xu 0. Zeigen Sie die Identität u(x + h, t + k)+u(x h, t k) u(x + k, t + h)+u(x k, t h) für alle x, t, h, k R. Lösung. Wir zeigen zunächst die folgende Behauptung. Behauptung. Jede Lösung u(x, t), t R, x R, der Wellengleichung hat die Form u(x, t) G(x + t)+f (x t), wobei F, G : R! R. Beweis der Behauptung. Betrachten wir die Variablenwechsel y x + t, s x t, ( dann x (y + s)/, t (y s)/) sei y + s v(y, s) :u Da u die Wellengleichung erfüllt, haben wir, y ys v(y, y (@ s v)0. In anderen Wörtern ist die s v unabhängig von y, d.h. eine Funktion f existiert so, s v(y, s) f(s). v(y, s) v(y, 0) + s 0. f( )d G(y)+F (s), s wobei G(y) :v(y, 0) F (s) : f( )d. Wir haben dann 0 u(x, t) v(x + t, x t) G(x + t)+f (x t). Es ist jetzt einfach, zu sehen, dass u(x+h, t+k)+u(x h, t k) G(x+h+t+k)+F (x+h t k)+g(x h+t k)+f (x h t+k) u(x+k, t+h)+u(x k, t h) G(x+k+t+h)+F (x+k t h)+g(x k+t h)+f (x k t+h) die letzte zwei Ausdrücke sind gleich. 40

2 Aufgabe 46. Sei g C c (R n )u C (R n R) einelösung der Wellengleichung mit t u beschränkt. t u u 0 R n R v(x, t) u g t t u 0 t 0, (4 t) / 4t u(x, s)ds. Zeigen Sie, dass v die Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist. Lösung. Sei V (x,, t) t v v 0 R n (0, ) v g t 0 e s (4 t) / 4t u(x, s)ds, x R n, R, t > 0. Wenn wir x als Parameter betrachten, als Raum -Variabel, t als Zeit - Variable, können wir sehen, dass (, t) 7! V (x,, t) dielösung der t V (x,, V (x,, t) 0, V (x,, 0) u(x, ) ist. Außerdem für die Funktion v(x, t) definiert in der Aufgabe gilt v(x, t) V (x, 0,t). (m) Um zu beweisen, t v v 0, verwenden wir die Gleichung (m). Wir t v(x, t V (x, 0,t)@ V (x, 0,t) v(x, t) x V (x, 0,t). Zu beweisen ist dann, V (x, 0,t) x V (x, 0,t). Wir V (x,, V (x,, t) (4 t) / t (4 t) / (t) + + ( s)e s 4t u(x, s)ds, apple e s 4t u(x, t) t ( s) V (x, 0,t) (4 t) / (t) + 4t u(x, t) apple s t ds. 4

3 Auf der anderen Seite, xv (x, 0,t) (da u die Wellengleichung löst) (4 t) / (4 t) / + + 4t u(x, s)ds u(x, s)ds Durch partielle Integration in s (zweimal), indem wir die Tatsache verwenden, s u u beschränkt sind, erhalten wir xv (x, 0,t) (4 t) / (4 t) / t + (4 t) / t (4 t) / V (x, 0,t), + u(x, s)ds + + s u(x, s s 4t 4t u(x, s) apple u(x, s)ds s t ds so, dass v eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist. Es fehlt noch zu beweisen, dass v(x, 0) g(x). Wir wissen schon, dass V (x,, t)! u(x, )mitt! 0 für alle R. Insbesondere v(x, t) V (x, 0,t)! u(x, 0) g(x). Aufgabe 47 (Die Kirchho sche Formel für n 3). Sei g C (R 3 ) u(x, t) :t g(y) Zeigen Sie, dass (i) u C (R 3 (0, )), t u u 0inR 3 (0, ). (iii) falls g kompakten Träger hat, dass u(x, t) apple C t in R 3 (0, ), für ein C>0. Hinweis zu (ii): Zeigen Sie, t Sie die Green sche g g benutzen Aufgabe 48 (Die Poisson sche Formel für n ). Sei g C (R ) u(x, t) : g(y) dy. (t x y ) / B(x,t) Zeigen Sie, dass, falls g kompakten Träger hat, 4

4 (i) für jedes x R ein C x existiert so dass u(x, t) apple C x t für t>0. (ii) eine Konstante C>0 existiert so dass u(x, t) apple C t / in R (0, ), Hinweis zu (ii): ZeigenSie,dasseinC>0existiert so dass sup p dy apple x y C"3/. B(0,)\B(x,") Lösung. Es fehlte noch (ii) zu beweisen. Sei supp g B(0,R). Wir haben u(x, t) g(y) dy (t x y ) / (Variablenwechsel y x tw) t, dank dem Hinweis, u(x, t) apple kgk L t C B(x,t)\B(0,R) B(0,)\B(x/t,R/t) 3/ R apple t C t /. g(x tw) ( w ) / dw. Wir sollen dann noch den Hinweis beweisen. Das Problem hier ist, wenn ",,klein ist. Wir betrachten drei Fälle.. Sei " /4. Dann B(0,)\B(x,") p y dy apple B(0,) (da " /4) apple 4 3/ "3/ p dy y " 3/ B(0,) p y dy!" 3/.. Sei " apple /4 x apple/. Dann jeder y B(0, ) \ B(x, ") erfüllt x apple3/4. p dy apple p B(x, ") y (3/4) B(0,)\B(x,") apple C" (da " apple /4) apple C" 3/. 3. Sei jetzt " apple /4 x /. Das ist der schwierigste Fall, da " klein ist, aber x kann neben dem Rand von B(0, ) liegen, wo die Funktion / p y sehr groß ist. In diesem Fall, können wir einen Winkel # [0, /4] finden so, dass n B(x, ") (r, #) : r x ", x + " # apple # o : E 43

5 Abbildung : Beweis vom Hinweis in der Aufgabe 48 wobei (r, #) sind die Polarkoordinaten in R : x r cos #, x r sin #. Die Menge E ist die rote Menge in der Abbildung. Wir haben dann (indem wir mit Polarkoordinaten arbeiten): min{ x +",} + # p dy apple r p d#dr y r B(0,)\B(x,") apple # (da r 7! r/ p r motonon steigend ist) apple # max{ x ",0} # min{ x +",} max{ x ",0} " # p " p " apple # p ". r p dr r r p dr r Wir brauchen dann jetzt eine Abschätzung von der Form # apple C". ") so, dass die Gerade durch O z tangent zu dem ") ist (siehe Abbildung ). Betrachten wir das Dreieck Ozx, das rechtwinklig in z ist. sin # " x. Deshalb, da x /, wobei # sin #, da # [0, /4]. # sin # " apple ", x 44