Alle zu orthogonalen Tangenten müssen die Steigung 4,32 1 haben. 0, ,2723* 1,2** 6 Punktprobe mit %&1,2'1,2( 2* 3,6* 64,272 4,272 2* 3,6* 1,7280
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- Eduard Raske
- vor 5 Jahren
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1 Lösung A1 6 3 a) 1,21,2 64,272 1,23 1,2 4,32 1,2 1,21,2 4,32 1,24,2724,329,456 b) Alle Tangenten zu parallel müssen die Steigung 4,32 haben. 4,323 :3 1,44, 1,2 Für 1,2 siehe Aufgabenteil a). 1,21,2 67,728 1,23 1,2 4,32, 4,32 1,27,728, 4,322,544 Alle zu orthogonalen Tangenten müssen die Steigung 4,32 1 haben. 0,2315, 0,23153 :3 0,077 "#$ Es gibt keine zu orthogonale Tangenten an. c) Dies sind Tangenten vom Punkt %&1,2'1,2( aus an den Graphen von. Der Berührpunkt von sei nun )&*'*(. ** 6 *3*, * ** 4,2723* 1,2** 6 Punktprobe mit %&1,2'1,2( 2* 3,6* 64,272 4,272 2* 3,6* 1,7280 * 0,60; * 1,2 0,60,6 66,216 0,63 0,6 1,08,,6 0,60,6, 1,08 0,66,2161,085,568 Für * 1,2 siehe Aufgabenteil a)
2 d) Die seitlichen Grafiken zeigen vier verschiedene Situationen. Wie wir in den ersten drei Grafiken erkennen, gibt es neben der Tangente im Punkt % der Kurve eine zweite Tangente an die Kurve, die durch den Punkt % verläuft. Der zugehörige Berührpunkt ist der Punkt.. Fallen die Punkte % und. aber zusammen, so fallen auch die beiden Tangenten zu einer Tangente zusammen. Diese Situation tritt im Wendepunkt der des Graphen der Funktion auf. Miriana hat also Recht mit Ausnahme der Wendestelle des Graphen von.
3 e) / / 3 / 6 Der (bekannte) Tangentenpunkt sei %&*'/*( 1. Situation: Tangente in %&*'/*( /** *; / *3* / * */* 03* 1 ** * 3* 3* ** * 3* 2* 03* 12* 2. Situation: Tangente von % aus an die Kurve, der (unbekannte) Tangentenpunkt sei.&2'2(. /22 2; / 232 / Bestimmung der Wendestelle mit / Im Wendepunkt fallen * und 2 zusammen, sind also * 2 0 ist. Wegen 0 0 gibt es im Wendepunkt von / nur eine Tangente. h h 2 8 h 3 48 h 64 Der (bekannte) Tangentenpunkt sei %&*'/*( 1. Situation: Tangente in %&*'/*( h** 2* 8*; h *3* 4* h * *h* 3* 4* ** 2* 8* 3* 3* 4*4* * 2* 8* 3* 4*2* 2* 8* 3* 42* 2* 8* 2. Situation: Tangente von % aus an die Kurve, der (unbekannte) Tangentenpunkt sei.&2'2(. h ; h h 2 2h Bestimmung der Wendestelle mit h Im Wendepunkt fallen * und 2 zusammen, sind also * 2 ist. Wegen gibt es im Wendepunkt von h nur eine Tangente.
4 Lösung A2 a) ; 3 ; %2 8 Aufgabe für Tangente von einem Punkt aus an den Graphen einer Funktion. Der Berührpunkt habe die Koordinaten )&*'*(. Dann gilt: * ** Punkt-Steigungsformel 3* ** 83* 2** Punktprobe mit % 6* 3* * 80 2* 6* 80 :2 * 3* 40 * 2; * 1 * 2 8 * 1 1 Die Berührpunkte haben die Koordinaten ) 2 8 und ) 1 1. * * * * * 12 &2( * * * b) / ; / 2;.2 3 Aufgaben für Normale von einem Punkt aus zum Graphen einer Funktion. Der Schnittpunkt habe die Koordinaten 6&*'/*(. Die Normale von einem Punkt zum Graphen schneidet diesen senkrecht. Die Strecke vom Punkt. zum Schnittpunkt 6 ist somit die kürzeste Entfernung. Die Länge der Strecke zwischen zwei Punkten errechnet sich über den Satz des Pythagoras. Es gilt: 7*8&/*9 : ( &* : ( ;/*3 *2 7*;* 3 *2 * 6* 9* 4*4 7* * 7* 4*13 Die kürzeste Entfernung über 7 0:, < =, 7 *, > 4* 14*40 :2 2* 7*20 * 0,28 /*A0,08 Der Schnittpunkt hat die Koordinaten 60,28 0,08. / *2 0,280,56 B */* 0,280,08 C D, E,F? B1,790,58
5 c) / ; / 2; G0 2 Über die Graphik stellen wir fest, dass der Punkt G0 2 senkrecht unter dem Scheitelpunkt 60 0 der Parabel liegt. Somit wird die 9-Achse selbst zur Normalen zum Graphen der Funktion. Die Gleichung der Normalen lautet in diesem Fall 0. Lösung A3 2 4; 4; %1 2 Aufgabe für Tangente von einem Punkt aus an den Graphen einer Funktion. Der Punkt des Graphen, durch den die Tangente verläuft habe die Koordinaten %&*'*(, dann gilt: * ** *4*; *2* 4 4* *2* 4 24* 1*2* 4 Punkt-Steigungsformel Punktprobe mit % *4* 2* 4 2* 4*60 :2 * 2*30 *, 1 13 H/J-Formel * 3; * 1 * ; * * ; * 4 14 * * * * * * Lösung A ; ; 9313 a) Rechnerischer Nachweis, dass mit 9313 berührt: K ; 3 690, Es existiert nur eine Stelle E 3, in der die Steigung 3 hat Somit ist )3 4 ; und damit Berührpunkt von und ist Tangente an in )3 4. q.e.d.
6 b) Die nebenstehende Graphik verdeutlicht die Situation. Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks N O N K ), mit N O als Nullstelle der Normalen N K als Nullstelle von und ) als Berührpunkt von und. Bestimmung der Normalengleichung in )3 4: B P D 33 B 34 3 Bestimmung der Nullstelle N O : N O9 0 Bestimmung der Nullstelle N K : N K0 Q01 R ST S U V S U ST 3 Flächenformel eines Dreiecks. R ST S U V W 9X 4YE Der gesuchte Flächeninhalt des Dreiecks N O N K ) beträgt YE Z[. c) ) ist Wendepunkt, wenn 30 ist und 3\0: 618; \0 ) ist Wendepunkt der Funktion. Lösung A5 Die nebenstehende Graphik verdeutlicht die Situation. Gesucht ist die Stelle *, sodass die beiden Tangenten P] und C] parallel verlaufen. Parallele Geraden müssen dieselbe Steigung haben, somit muss gelten */ *. ; 2 / ; / ^ */ *: 2* 2 *, 4* * 1 16* 1 :16 * <? < * 8? Die Tangenten an in %&*'*( und / in.&*'*( < sind für * 8? parallel.
7 Lösung A6 21; 22 / _ ` 2 1; / _ 2` 1 2 Bedingung für rechtwinkliges Schneiden: 0 / _ ; / _ Die Steigungen von 0 und / _ 0 sind unabhängig von R, 0 / _ 01, somit schneiden sich für ` R die Tangenten in 60 1 rechtwinklig. Lösung A7 0,42 1,5; 0,82; %0 5 Der Berührpunkt habe die Koordinaten )&*'*(, dann gilt: * ** Punkt-Steigungsformel *0,8*1,6; *0,4*2 1,5 0,8*1,6 *0,4*2 1,5 50,8*1,6 *0,4* 4*41,5 Punktprobe mit %0 5 50,8* 1,6*0,4* 1,6*1,61,5 50,4* 3,1 3,1; 0,4 * Y, E, *, 4,5 Gefragt ist nach Tangente mit negativer Steigung: 4,50,8 2,52; 4,50,8 6,55,2 Gesucht war also * 4,5. 4,50,4 2,5 1,54 24,5425 Der Berührpunkt hat die Koordinaten )4,5 4. Lösung A8 _ ` 42; _ ` 3 4 a) 42; 3 4 Tangente an von %1 1 aus vorhanden? Der Berührpunkt habe die Koordinaten )&*'*(, dann gilt: * ** Punkt-Steigungsformel *3* 4; ** 4*2 3* 4 ** 4*2 13* 4 1** 4*2 Punktprobe mit %1 1 13* 3* 44** 4*2 12* 3* 2 3* 2* 30 1 * 0,68 An existiert eine Tangente durch den Punkt %1 1. Der Berührpunkt hat die Koordinaten )0,68 4,41
8 b) _ ` 42; _ ` 3 4 * * _ * _ *` * 4*2; _ *` 3* 4 _ 3`* 4` *`* 4`*2` 13`* 4` 1*`* 4`*2` 13`* 3`* 4`4`*`* 4`*2` 2`* 3`* 2`10 Die hiermit ermittelte Gleichung ist eine Gleichung dritten Grades. Gleichungen dritten Grades besitzen mindestens eine, maximal drei Nullstellen. Lediglich für ` 0 macht diese Gleichung keinen Sinn. Daraus folgt: Für alle ` R, ` \0 existieren Tangenten an den Grafen von _, die durch den Punkt %1 1 verlaufen.
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2 063,4,. % 7. : ,4 26,6 Die Innenwinkel des Dreiecks *) betragen 63,4, 26,6 und :90.
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