Statistik II. Statistische Tests. Statistik II

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1 Statistik II Statistische Tests Statistik II

2 Ausgangslage Wir können Schätzen (z.b. den Erwartungswert) Wir können abschätzen, wie zuverlässig unsere Schätzungen sind: In welchem Intervall liegt der Erwartungswert mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit? Häufig gibt es aber konkrete Fragestellungen bzw. Hypothesen Statistik II

3 die man überprüfen möchte. z.b.: Übersteigt der Marktanteil eines Produktes einen gewissen Wert? Sind Frauen erfolgreicher als Männer? Sind höchstens 5% aller Wildvögel an H5N1 infiziert? Statistik II

4 Hypothesenformulierung Man stellt eine Hypothese ( ) auf, die überprüft werden soll, die Nullhypothese. Damit gibt es direkt eine Gegenhypothese bzw. Alternativhypothese ( ) und schließen sich gegenseitig aus. Statistik II

5 Arten von Hypothesen Punkthypothese: wobei der Parameter einer Verteilung ist und ein bestimmter Zahlenwert dieses Parameters. ist Es handelt sich also um ein zweiseitiges Testproblem. Die Gegenhypothese in diesem Fall lautet: also genau das Gegenereignis. Statistik II

6 Zusammengesetzte Hypothese: Der unbekannte Parameter liegt in einem Intervall gegen bzw. gegen Es handelt sich also um ein einseitiges Testproblem. Statistik II

7 Statistischer Test wird anhand von Daten überprüft. Der Test liefert genau zwei mögliche Resultate: wird beibehalten. wird verworfen. Statistik II

8 Testergebnis und Fehlerarten Damit gibt es vier Möglichkeiten des Zusammentreffens von Realität und Testentscheidung Realität Entscheidung beibehalten verworfen ist richtig OK Fehler 1. Art ( -Fehler) Fehler 2.Art ( -Fehler) OK ist falsch Statistik II

9 Ablehnbereich Eine Teststatistik hat eine Verteilung Nur die extremsten Werte dieser Verteilung werden zu einer Ablehnung von führen. Die Grenze hierfür kann man festlegen, wenn man die Verteilung der Teststatistik kennt. (Stichwort: Quantile der Verteilung) Dies legt den Ablehnbereich oder den kritischen Bereich des Tests fest. Fällt die Teststatistik in den kritischen Bereich, so wird abgelehnt. Statistik II

10 Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art ist, d.h. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2.Art ist, d.h. i.d.r. gilt nicht man möchte und gleichzeitig minimieren (Gütefunktion eines Tests) Statistik II

11 Testaufbau 1. Modell aufstellen und Hypothesen formulieren 2. Wie lautet die Teststatistik? Wie ist sie verteilt? -> Quantile der Verteilung 3. Signifikanzniveau festlegen (üblicherweise 0.05 oder 0.1). Dies bestimmt den kritischen Bereich. 4. Entscheidungsregel festlegen und Testergebnis berechnen Statistik II

12 Test auf den Erwartungswert Seien unabhängig identisch verteilt (i.i.d.) mit Erwartungswert und Varianz mit einem Stichpobenmittel. Wir möchten bei gegebener Stichprobe testen, ob der Erwartungswert gleich einem bestimmten Wert ( ) ist bzw. oberhalb oder unterhalb eines bestimmten Wertes liegt, d.h. Statistik II

13 Quelle: Schira Statistik II

14 Sei bekannt. Dann wissen wir, dass D.h. wir kennen die Verteilung der standardisierten Differenzen vom Erwartungswert Wir interessieren uns jetzt aber für. Wir verwenden also folgende Teststatistik: Statistik II

15 Sei jetzt: (zweiseitiges Testproblem) Benutze, dass die Standardnormalverteilung symmetrisch um null ist. Damit ist gleich mit als dem Quantil der Standardnormalverteilung und Statistik II

16 Damit verwerfen wir also die Nullhypothese, falls die Teststatistik (Prüfgröße) das Quantil der Standardnormalverteilung, d.h. überschreitet:, verwerfen! Intuition: Der absolute Wert der Prüfgröße ist zu groß. Die Hypothese wird nicht verworfen, wenn die Prüfgröße klein genug ist. Falls und groß, wird dies immer wahrscheinlicher. Statistik II

17 Sei jetzt: (einseitiges Testproblem) Dann führt gerade zur Verwerfung der Nullhypothese. Sei jetzt: dann führt äquivalent Zur Verwerfung der Nullhypothese Statistik II

18 Sei unbekannt. Dann wissen wir: Student-t verteilt mit n-1 d.f. mit als einem erwartungstreuen Schätzer für. Die Teststatistik (T-Wert) lautet: Da die t-verteilung auch symmetrisch um null ist, sind die Prüfgrößen analog zum Fall mit bekannter Varianz, allerdings werden die Quantile der t-verteileung mit n-1 Freiheitsgraden verwendet. Statistik II

19 Es handelt sich um den so genannten T-Test. Sei dann wird abgelehnt, falls Sei dann wird abgelehnt, falls Sei dann wird abgelehnt, falls Statistik II

20 Falls n gross ist, dann konvergiert die t-verteilung gegen die Standardnormalverteilung. Wir können also wieder die Quantile der Standardnormalverteilung vewenden Sei dann wird abgelehnt, falls Sei dann wird abgelehnt, falls Sei dann wird abgelehnt, falls Statistik II

21 Zusammenhang mit Konfidenzintervallen Sei Falls das KI für den Erwartungswert zum Konfidenzniveau den Wert nicht überdeckt, dann lehne zum Signifikanzniveau ab. z.b. T-test: ist nur dann enthalten, wenn Statistik II