Lösung Abiturprüfung 1997 Grundkurs (Baden-Württemberg)

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Lösung Abiturprüfung 1997 Grundkurs (Baden-Württemberg)"

Magdalena Claudia Michel
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Lösung Abiturprüfung 997 Grundkurs (Baden-Württemberg) Analysis I.. a) f x= x5 x = x5 x = x5 x = f x Somit ist f punktsymmetrisch zum Ursprung. f x= x x ; x = ; x = 5 ; x =5 f geht durch den Urpsrung: U ; Nullstellen : N 5 ; N 5 f ' x = 6 x x ; f ' ' x= x x ; f ' ' ' x= x f ' x= x 6 x ; x = ; x = ; x = f ' ' = kein Extremum (Sattelpunkt) ; f ' ' = =9 Minimum f ' ' = = 9 Maximum Sattelpunkt : S ; Tiefpunkt T 5, ; Hochpunkt : H 5, f ' ' (x)= x( x +)= x = (Sattelpunkt) ; x = Wendepunkte: W 89 8 ; W 89 8 ; x = (= ) b) v= f u ; P [u f u] ; Q [ f u] ; Radius: r=u ; Höhe: h= f u Volumen Kegel: V u = r h = u u5 u = u7 u5 Maximum berechnen: 7 u = 5 u max= 75 7 V ' u = u 7 u 5 = ; u ; V max = 56, VE

2 c) f x dx = [ x6 8 x 8 ] =[ ] = = A = 6,75 FE 5 f x dx = [ x6 8 x 8 ] =[ ] [ ] = = A =, FE A=6,75,=9,75 A=,6875 Nullstelle der Geraden a=x= q ; b=5, ; Fläche Dreieick = a b= q 5, und die Fläche A müssen zusammen A ergeben. Bedingung : A DA = A 79 a 5,,=,6875 a=x= 7 ; g schneidet die x-achse an der Stelle x = 79 7 d) Eine Ursprungsgerade kann bei Funktionen, die punktsymmetrisch zum Ursprung sind, nur eine ungerade Anzahl an gemeinsamen Punkten besitzen, da sie selbst symmetrisch zum Ursprung ist. g m x=m x ;. Möglichkeit m= f v = f ' v v v5 v v = 6 v v v v = ; v ; v= 5. Möglichkeit Tangentenform y v x= 6 v v x v v5 v y v = 6 v v v v5 v = v v = ; v ; v= 5 Für die Steigung ergibt sich: m= f ' 5 = = 5 8 =,875 Alle Ursprungsgeraden mit,875 m haben mit f genau fünf gemeinsame Punkte.

3 Lösung Abiturprüfung 997 Grundkurs (Baden-Württemberg) Analysis I.. a) f x= 6 x 8 x = 6x 8x lim 6x 8x = x waagrechte Asymptote: y = senkrechte Asymptote: x = f x= x= ; Schnittpunkt mit der x-achse: N f ' x= 7x x ; f ' ' x= 6x 576x 5 ; f ' ' ' x= 86x 5 88x 6 f ' x= 7x x = x = = ; f ' ' =,5,somit Maximum 7 f = = Hochpunkt: H f ' ' x= 7x x = x = = 8 f 8 = 8 Wendepunkt: W 8 8 ; f ' ' ' 8 = 656,somit Wendepunkt 96 Da c eine Konstante ist, stellt sie eine waagerechte Gerade als Schaubild dar. Es existiert mindestens eine Lösung, jedoch höchstens drei Lösungen. Für die Gleichung 6x 8 x = c gilt: für c und c existiert genau eine Lösung. für c= existieren genau zwei Lösungen für c existieren genau drei Lösungen b) z A z = f x dx = [ 6x x ] A z = z 6 z 7 FE z = z 6 z [ 7 7 ] lim [ A z] = 7 FE x c) NR = a= u ; RP = h a = f u= 6u 8 u u= a h a = u 6u 8 A u D u= u 8 u 8 u FE

4 ' u= 96 u 96 u 8 u = u 6 u6 = u = keine Lsg, da u sein muss u = Die Fläche des Dreiecks NRP wird für u max = für u= mit A max = FE am größten. existiert kein Dreieck ' ' = = 6, somit Maximum ; = 8 8 = d) Bedingung für Berührpunkt ist: gleiche Steigung im geimeinsamen Punkt I: f ' = y' 7 x = a a= 7x B B II: f = y I=II: = a a= 6x 8 B = 6 8 = 96 6 = 8 ; a= 7 Berührpunkt: B 8 8 Wenn die Differenz der Funktionen y und f für x> nie kleiner null wird, verläuft y oberhalb von f. dann muss gelten: d x= y x f x, x Wenn für d ein absolutes Minimum mit d für x ermittelt werden kann ist dies der Fall. d x = 7 x 6x 8x = 7 x 6x 8x d ' x= 7 x 7x x = x = 8,keine Lsg da x ; x = x min = 8 d ' ' x min = 7 x min 6x min 576x 5 min = 79,somit absolutes Minimum für x > d x min = 7 6x x min 8x min = d min = min Mit Ausnahme des Berührpunktes verläuft die Hyperbel y= 7 x für x> stets oberhalb von f, da gilt: d min für x 8

5 Lösung Abiturprüfung 997 Grundkurs (Baden-Württemberg) Analysis I. a) f = e = e g =e = e Schnittpunkt K f mit der y-achse: Schnittpunkt K g mit der y-achse: S Kf e S Kg e f x= e x kein Schnittpunkt mit der x-achse g x= e x kein Schnittpunkt mit der x-achse lim [ f x] = x lim [ f x] = lim [ g x]= lim [ g x]= x x x waagerechte Asymtote K f : y = ; waagerechte Asymtote K g : y = Schnittpunkt f x= g x e x = e x x = x x= K f und K g schneiden sich im Punkt S. Schnittwinkel: f ' = ; g ' = da gilt: f ' g' = =,schneiden sich K f und K g in einem Winkel von =9 b) [ f x] [ g x] =[e x ] [e x ] = e x e x V = [ f x] [ gx] dx = [ ex e x ] Das Rotationsvolumen beträgt etwa V = 8,68 VE = e e = e e VE c) g ' u = e u ; t u x= g ' u x u g u = e u u x ; t u =e u u QR=e u u e u =ue u ; QR =u ; P u e u ; Q e u ; R [ e u u ] u= QR QP = u e u ; ' u= e u u u ; ' ' u = e u u u ' u= e u u u = ; e u u u=, u u= ' ' = e = e, somit Maximum ; A= e = e FE Für u max = wird Das Dreieck QPR mit A max = e FE maximal.

6 d) T t = 55e kt ; T ' t = 5k e kt, für k> ist die Steigung stets negativ. Da T'(t) <, handelt sich es um einen Abkühlungsvorgang. T =55e = C ; lim [ T(t) ] = 5 C Für t kann der Körper Temparaturen von 5 C bis 5 C annehmen. T 5=55e 5k = 6,9 k= ln,9 ln5 =,797 k =,7 5 Bedingung: T(t) - T(t+) = 55e,7 t 55 e,7 t = t=,989 Ab dem Zeitpunkt von t,9 min nimmt die Temparatur pro Minute um weniger als C ab. Lösung Abiturprüfung 997 Grundkurs (Baden-Württemberg) Geometrie II.. a) E : x= 5 r s = n E ; E : x y z = g E [r 5r 5r=] mit t= in Q AB = 5 5 = ; AC = 5 = 6 ; BC = 5 = AB xbc : = 8 68 = AB = = 6 LE ; AC = 6 6 = 7 LE ; BC = = 6 LE AB = BC = 6 LE Das Dreieck ABC ist somit gleichschenklig und rechtwinklig. Legt man zwei Dreiecke(gleisch.&rechtw.) mit der Hypothenuse aneinander etsteht ein Quadrat. Deshalb muss gelten: BC = AD und BC =AD OD = OA BC = 5 = D OM = OA AC = 5 6 = 6 M

7 b) WennSM parallel zum Normalenvektor von E ist, gehöhrt S zur quad. senkrechten Pyramide ABCDS SM = 6 7 = ; n E = ; da SM = = n ; ist E SM parallel zu n E Somit gehöhrt die Spitze S zur quadatischen senkrechten Pyramide ABCDS. AS = = 7 cos= 7 = Die Kante AS schließt mit der Ebene E einen Winkel von = cos 6 5,6 ein. 5 c) V P = G h = 6LE = 6 VE V P = 7 VE Punktprobe: S in g 6 7 = 5 r 5 8 Da S für r= auf g liegt, ist P eine dieser Pyramiden. = r 5 ; eindeutige Lösung für r= S* ( r+ r-5 5r- ) ; M S *=[ r r 5 5r ] = [ 5r 8r7] V P * = G h* = 6 FE M S * = 6VE M S * = 6VE 6 FE = LE 5r 8r6 = r = ; r =, Die Pyramiden P und P mit dem halben Volumen von P besitzen die Spitzen S und S. r in g: S ( - ) ; r in g: S (,8,6 ) d) Gerade durch M und S; h: x= p ; M ( p+ p+ p+ ) d = S M = p 6 p p 7 = 9p 6p6 d = B M = p p 5 p = 9p 8 S M = B M 8 6p= p= M ( ) B M = 9 8= 8 = 9 Der Abstand zu allen Eckpunkten ist d=,5

8 Hälfte der Diagonale des Quadrates: s = a a = a h=d k k=h d ; a h d = d s= a a h hd = Wenn M* innerhalb der Pyramide liegt, muss gelten h d,wobei M* für h=d mit M zusammenfällt: a h h h = a = h /... h = a Damit M* in der Pyramide existiert, muss die Beziehung h a gelten. Lösung Abiturprüfung 997 Grundkurs (Baden-Württemberg) Geometrie II.. a) AD= 8 6 ; OC= OB AD = = 8 C (8 ) x= 8 ; y= 8 6 ; z= M ( ) ; h=m S ( ) AB= 6 8 ; AB = 6 8 =66= AB =m AS = 7 ; AS = 7 =5 AS = 5 m

9 b) E : x= r s 7 E : x= r s 7 n = E n E = 8 6 ; E 5 : 8x 6y 5z = ; E : x y z = cos= = Die Ebenen schliessen einen Winkel von = cos 95 6,5 ein. 65 c) Mittelpunkt der Kugel: M K ( 7) ; r =m K : x y z 7 = Aus Symmetriegründen genügt es den Abstand s von M K einer Seitenfläche(hier E ) zu überprüfen. s= = 5 5 m,m Da s m berührt K die Seitenflächen der Pyramide nicht. 5 Der Abstand l der Kugeloberfläche zu E : l= 5 m,m Die Kugeloberfläche besitzt zu jeder Seitenfläche der Pyramide den Abstand l=,m Mittelpunkt der Kugel : M K ( + r ) der Abstand zur Seitenfläche ist gleichzeitig auch der Radius r r = r 5 = 5r 5 r 55 = r = 6 5 m,8m M K 6 5 r = 55

10 d) Gebäudefront: G: x= ; PB = 6 ; h:x= q ; h G : q= B*( - ) PS = ; j :x= = PD 8 ; i :x= t u 5 ; j G : t= t= S*( ) ; i G : 5u= u= 5 D*( 7,6 ) a= BD=8,6 m ; h a =m = a h a = 8,6 m ; Schattenfläche: = 86m = P a S a ; j :x= a t a ; j G : at a= t= a S a a a a a a : a a = a aa = = S a

Ähnliche Dokumente

Lösung Abiturprüfung 1992 Leistungskurs (Baden-Württemberg)

Lösung Abiturprüfung 1992 Leistungskurs (Baden-Württemberg) Lösung Abiturprüfung 199 Leistungskurs (Baden-Württemberg) Analysis I.1. a) f x= x= f = K geht durch denursprung U / f ' x= x x x 1 f ' ' x= x x 1 4 f ' x= x x = x 1 = ; x = f ' ' ' x= 6x x 1 5 f ' ' =