Beispiele Aufladung von Kondensatoren, Berechnung von Strömen, Spannungen, Zeiten und Kapazitäten.

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1 Beispiele Aufladung von Kondensaoren, Berechnung von Srömen, Spannungen, Zeien und Kapaziäen. 1. (876) Beispiel 1.1 Angaben: R 1 = 2M, R 2 = 5M, C = 2µF, U = 60V 1.2 Aufgabe: Nach wie vielen Sekunden nach dem Einschalen sind die Sröme durch R 1 und R 2 gleich groß? 1.3 Wissensvoraussezungen: Beim Einschalen is der Kondensaor enladen und es fließ ein Srom I 1 durch R 1 nur durch die Spannungsquelle U besimm. I 1 = U / R 1 = 60V / 2M = 30µA Die Sröme I 1 und I 2 verhalen sich verkehr proporional zu den Widersänden R 1 und R 2 I 1 / I 2 = R 2 / R 1 Daraus is auch zu erkennen, dass I 2 durch R 2 (5M ) kleiner is, als im Einschalzeipunk I 1 durch R 1 (2M ). I 2 bleib konsan. I 2 = U / R 2 = 60V / 5M = 12µA Es gib mehrere Lösungswege, hier wurde ein Weg gewähl, der die Berachung der Spannungsverläufe zuläss, zum besseren Versändnis der asächlichen Vorgänge. R 1 und C sind in Serie geschale und somi is die Summe der beiden Spannungsabfälle immer die Gesamspannung U. U = U R1 + U C Mi zunehmender Aufladung des Kondensaors nimm auch die Spannung am Kondensaor zu und die Spannung am Widersand fäll. 1.4 Aufgabenlösung Aus obiger Erklärung beräg der Srom durch R2 konsan 12µA. Die Frage is, wie klein muss die Spannung an R1 werden, dass nur 12µA (der Anfangswer berug 30µA) durch R1 fließen. U R1 = R 1* I 1 = 2M * 12µA = 24V.. somi muss der Kondensaor auf die Resspannung auf 60V aufgeladen werden, nämlich auf 36V. Formel für den Spannungsverlauf der Kondensaoraufladung: u = U( 1 e ) Diese Formel muss nun nach umgewandel werden:

2 u = U( 1 e ) /:U u U = 1 e /-1 u U 1 = e /*(-1) 1 u U = e ln (1 u U ) = R C ln (1 u U ) = /*R*C /*(-1) und einsezen = 2M 2µF ln (1 36V ) = 3, 67s 60 In der unensehenden selbsrechnenden EXCEL-Tabelle is zu erkennen, dass bei der errechneen Zei von 3,67s (genau 3,66516s) die beiden Sröme gleich sind.

3 2. (877) Beispiel 2.3 Wissensvoraussezungen: 2.1 Angaben: R 1 = 0,25M, C = 0,8µF, U = 125V 2.2 Aufgabe: Welchen Wer ha R 2 wenn nach dem Einschalen dieser vom halben Srom durch R 1 durchflossen wird. Nach wie vielen Sekunden nach dem Einschalen sind die Sröme durch R 1 und R 2 gleich groß? Beim Einschalen is der Kondensaor enladen und es fließ ein Srom I 1 durch R 1 nur durch die Spannungsquelle U besimm. I 1 = U / R 1 = 125V / 0,25M = 0,5mA Die Sröme I 1 und I 2 verhalen sich verkehr proporional zu den Widersänden R 1 und R 2 I 1 / I 2 = R 2 / R 1 Wenn also der halbe Srom, der durch R 1 fließ (0,5mA) durch R 2 fließen soll, muss der Wer von R 2 doppel so groß sein, wie der von R 1. R 2 = R 1 * 2 = 0,25M * 2 = 0,5M. I 2 bleib konsan. I 2 = U / R 2 = 125V / 0,5M = 0,25mA Es gib mehrere Lösungswege, hier wurde ein Weg gewähl, der die Berachung der Sromverläufe zuläss. Die zur Lösung führende Formel is die des zeilichen Verlaufes des Ladesromes i = I e 2.4 Aufgabenlösung: Wann sind die Sröme I 1 und I 2 gleich groß I2 = I1 e I2 I1 I2 I1 = e = e ln I2 I1 = R C ln I2 I1 = /:I1 /*R*C /*(-1) und einsezen = 0,5M 0,8µF ln 0,25mA 0,5mA = 0, 139s

4 Aus der selbsrechnenden Excel-Tabelle is deulich zu erkennen wie I 1 im zeilichen Verlauf sink und dass er beim errechneen Wer von 0,139s (genau 0, s) denselben Wer wie I 2 ha. Auch die Anfangsbedingungen, I 2 is die Hälfe von I 1, is zu sehen.

5 3. Beispiel - übrigens: Was geschieh, nachdem der Kondensaor aufgeladen is und der Schaler S geöffne wird? 3.1 Angaben: R 1 = 2M, R 2 = 5M, C = 2µF, U = 60V 3.2 Nach welcher Zei ha der Kondensaor die halbe Spannung? 3.3 Anwor: Der Kondensaor enläd sich über beide Widersände. u = U e u U = e ln u U = R C ln u U = /:U /*R*C /*(-1) und einsezen = 7M 2µF ln 30V = 9, 7s 60V

6 4. (878) Beispiel 4.1 Angaben: R 1 = 50k, R 2 = 80k, U = 300V 4.2 Aufgabe: Welche Kapaziä ha der Kondensaor, wenn 1,5s nach dem Einschalen der Gesamsrom auf die Hälfe absink? 4.3 Wissensvoraussezungen: Dieselben, wie zum Lösen der vorigen Aufgaben 4.4 Lösung: Der Gesamwidersand beim Einschalen beseh aus der Parallelschalung von R 1 und R 2. R ges = R 1 // R 2 = R1 R2 = 50k 80k = 30,77 k R1+R2 50k+80k I 2 = U / R 2 = 300V / 80 k = 3,75mA.. dieser Srom fließ immer, wenn S geschlossen is. I 1 = U / R 1 = 300 / 50k = 6mA. dieser Srom fließ nur im Einschalmomen. Beim Einschalen: I ges = I 1 + I 2 = 3,75mA + 6 ma = 9,75mA oder I ges = U ges / R ges = 300V / 30,77 k = 9,75mA Der halbe Gesamsrom beräg: I H = I ges / 2 = 9,75 / 2 = 4,875mA Nachdem durch R 2 ein Dauersrom von 3,75mA fließ muss der Srom durch R 1 zum Zeipunk von 1,5s die Differenz zum halben Srom beragen also: i = 4,875mA 3,75mA = 1,125mA. Der Anfangssrom durch R 1 berug 6mA (I 1= 300V/50k ) i = I e i = I e i = I e ln i I = C = R ln i I /:U / *C / :ln i I / einsezen C = 1,5s 50k ln 1,125mA 6mA = 17, 9µF

7 In der selbs rechnenden Excelabelle wurden 4 Kapaziäswere für C angenommen, 10µF, 15µF, der errechnee, genaue Wer 17,9214µF und 20µF. Der zeiliche Verlauf der Sröme bis 2s sind in der Tabelle dargesell. Die Were bei jeweils 1,5 s sind hervorgehoben. Zu ersehen is, dass nach 1,5s Einschaldauer nur bei der errechneen Kapaziä (genau 17,9214µF) der Gesamsrom exak die Hälfe (4,875mA) des Anfangssromes (9,75mA) ha. Die Anfangssröme sind bei allen Kapaziäsweren gleich, da beim Einschalen alle Kondensaoren enladen sind. Bei kleineren Kapaziäen (z.b. 10µF und 15µF) sink der Gesamsrom schneller, der Gesamsrom is nach 1,5s uner dem halben Anfangs-Gesamsrom. Bei höheren Kapaziäen (z.b 20µF) sink der Gesamsrom langsamer, daher is dieser nach 1,5s noch nich auf den halben Anfangs-Gesamsromwer gesunken.

8 Hier noch einige Gedanken zu Beispielen aus Lehrbüchern. u = U( 1 e ). das is die Formel für den zeilichen Verlauf der Spannung beim Aufladen eines Kondensaors. Für die Zeikonsane gil: = R C Zeikonsanen sind errechnee Were, sie können mi keinem Messgerä gemessen werden, wohl aber gemessen werden können die physikalischen Größen, deren Produk sie ergeben, also zum Beispiel C, L, R. Daher bevorzuge ich bei (hoffenlich) praxisbezogenen Beispielen in den ensprechenden Formeln die messbaren elekrischen Größen zu verwenden, da diese leicher zu begreifen und dami vorsellbarer sind, als deren Produke. u = U( 1 e ) oder i = I( 1 e R L) In der Praxis is es haupsächlich erforderliche eine Kapaziä, eine Indukiviä oder einen Widersand zu berechnen. Solle jedoch die Zeikonsane gesuch oder angegeben sein, dann wird diese mi der Formel = R C berechne. Aus meiner jahrzehnelangen Täigkei als ehrenamlicher Nachhilfelehrer habe ich in fachbezogenen Lehrbüchern vorwiegend Beispiele gesehen, die äußers wenig mi dem eigenlichen Fach zu un haben, sondern haupsächlich rein mahemaische Fähigkeien für die Lösung erfordern und fas nie auf eine prakische echnische Problemlösung hinzielen. Daher sind solche Beispiele selbs für den echnisch ineressieren Lernenden kaum nachvollziehbar. Wie Helmu Qualinger alias Travnicek einmal sage Zarwos brauch i des, wird sich dies wohl schon mancher gedach haben. Daher meine Bie an Kollegen in echnischen Schulen, in den echnischen Fächern erfreu euch an euren Kennnissen der mahemaischen Philosophien, die ihr selbs einmal, vermulich mühsam erlern hab und bring den Schülern Beispiele, die einen prakischen Bezug haben, möglichs ineressane Problemlösungen erfordern und verwende nich Beispiele aus Lehrbüchern, die eilweise von Unerlagen aus dem 19 Jahrhunder (Indukiviä einer Ringspule auf Harholzkern) immer wieder, bis in die Gegenwar abgeschrieben wurden und werden.