Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium

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1 Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet SS 2017 Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

2 Vorlesung 2 (Lecture 2) Einführung in die Mengenlehre. Introduction to set theory. Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

3 Menge (set) Definition: (nach Cantor) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkes zu einem Ganzen. Die Objekte nennen wir die Elemente der Menge M. A set M is any collection of certain distinct objects of our thought or intuition into a whole. The objects are called elements of the set M Bsp.: Menge der natürlichen Zahlen N : {0, 1, 2, 3, 4...} Menge der Primärfarben (primary colors): {blau, rot, gelb} Menge der Einwohner in Saarbrücken. Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

4 Menge (set) Bezeichnung: (Notation) Ist x ein Element der Menge M, so schreibt man x M (gesprochen x ist Element von M ) Gehört x nicht zu der Menge M, schreibt man x / M ( (x M)) (gesprochen x ist kein Element von M ) Bsp.: M = {3, 5, 7}, 3 M, 8 / M. Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

5 Darstellung von Mengen (Representation of sets) Bezeichnung: (Notation) aufzählende Darstellung (explizit): Auflistung der einzelnen Elemente der Menge in geschweiften Klammern {}. Bsp: M = {0, 4, 8, 12, 16...} beschreibende Darstellung (implizit): eindeutige Charakterisierung ihrer Elemente mittels eines definierenden Ausdrucks: M = {x x hat die Eigenschaft} Bsp: M = {x x = 4n, n N} Bsp.: alle ungerade natürliche Zahlen M = {1, 3, 5, 7, 9...} M = {x N x ist ungerade } (gesprochen M ist die Menge aller x N mit (der Eigenschaft), dass x ungerade ist. ) M = {x x = 2n + 1, n N} Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

6 Zahlenmengen (set numbers) Die Menge aller natürlichen Zahlen N (set of natural numbers): N = {0, 1, 2, 3, 4...} N = {1, 2, 3, 4...} Die Menge aller ganzen Zahlen Z (set of integers): Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} Die Menge aller rationalen Zahlen Q (set of rational numbers): { } m Q = n m, n Z und n 0 Die Menge aller irrationalen Zahlen I (set of irrational numbers): Zahlen, die nicht als Brüche ganzer Zahlen geschrieben werden können. Bsp.: 2, π. Die Menge aller reellen Zahlen R (set of real numbers): alle rationale und irrationale Zahlen. Die Menge aller komplexen Zahlen C (set of complex numbers). Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

7 Menge (Set) Leere Menge: (empty set) oder {} ist die leere Menge. Sie ist die Menge, die kein Element enthält. Grundmenge: (Universe) Die Menge aller betrachteten Objekte wird Grundmenge genannt. Als Bezeichnung wird der griechische Buchstabe Ω verwendet. Bsp: Beim einfachen Würfelwurf: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ω = N, L = {x N x + 5 = 3} = {} Ω = Z, L = {x Z x + 5 = 3} = { 2} L heißt die Lösungsmenge der Gleichung x + 5 = 3 in N bzw. in Z. Ω = Z, L = {x Z x + 0 = x} = Ω Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

8 Teilmenge (Subset) Teilmenge: (subset) Seien A,B Mengen. Eine Menge B heißt Teilmenge (Untermenge) von A, in Zeichen: B A (gesprochen B ist Teilmenge von A ), wenn jedes Element von B auch Element von A ist. B A ( x (x B) (x A)). Welche Mengen sind Teilmengen der Menge A = { 1, 0, 1, 2, 3}? a) B 1 = {0} b) B 2 = {1, 2, 3, 4} c) B 3 = d) B 4 = {0, 1} e) B 5 = {3, 0, 2, 1, 1} f) B 6 = {1, 0, 2} Für nicht-leere Mengen gilt: A A, A. Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

9 Intervall (Interval) Intervall Intervalle sind Teilmengen der reellen Zahlen R. Seien a, b R mit a b, das offene (open) Intervall (a, b) (oder ]a, b[ ) ist die Menge: (a, b) = {x R a < x < b} das geschlossene Intervall [a, b] ist die Menge: [a, b] = {x R a x b} das halboffene (half open) Intervall (a, b] (oder ]a, b] ) ist die Menge: (a, b] = {x R a < x b} Analog für [a, b) [a, b) = {x R a x < b} Bsp.: ]0, 7[ [3, 5] = [3, 5], [ 2, 0[ [0, 2[= [ 2, 2[ Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

10 Gleichheit von Mengen (identity of sets) Gleichheit von Mengen: (Identity of sets) A und B heißen gleich (identisch), A = B, wenn sie dieselben (the same) Elemente enthalten. A = B ( x (x B) (x A)) (A B) (B A) Welche Mengen sind gleich? a) A 1 = {x x N, x x = 4} b) A 2 = {x x / Q, x Z} c) A 3 = d) A 4 = {x x Z, x x = 4} e) A 5 = { 2, 2} f) A 6 = {2} Antwort: A 1 = A 6, A 2 = A 3, A 4 = A 5 B A bedeutet B A und B A. B heißt dann echte Teilmenge von A. Bemerkung: Die Reihenfolge der Elemente und die Häufigkeit ihrer Auftreten spielen keine Rolle. Die Menge {1, 2, 3} ist gleich der Menge {2, 3, 1} und gleich der Menge {2, 1, 2, 3, 1, 3, 1}. Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

11 Mächtigkeit und Potenzmenge (Cardinality and power set ) Def.: Mächtigkeit einer Menge (Cardinality of a set) Die Anzahl der Elemente einer Menge M heißt Mächtigkeit von M und wird mit M bezeichnet. Bsp: A = {1, 2, 3, 5}, A = 4, B = {1, 2, 3, 1, 3}, B = 3 Def.: Potenzmenge (power set) Sei M eine beliebige Menge. Die Menge aller Teilmengen von M heißt die Potenzmenge P(M) von M. P(M) := {A A M} Bsp.: Bestimmen Sie die Potenzmenge von A = {a, b, c}. Geben Sie ihre Mächtigkeit an. Antwort: P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}, P(A) = 8 = 2 A = 2 3 Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

12 Venn-Diagramm (Venn-diagram) In einem Venndiagramm werden Mengen durch Flächen ( z.b. Kreise oder Ellipsen) dargestellt. Die Grundmenge Ω wird Ω üblicherweise durch einen Rechteck dargestellt. Mengeninklusion (echte Teilmenge): A Ω A Ω Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

13 Komplement (complement) Komplement: (complement) Sei A eine Teilmenge der Grundmenge Ω. Das Komplement von A in Ω ist die Menge A (gesprochen A quer ): A = {x Ω x / A} x Ω x A (x A) Bsp.: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {x Ω x ist gerade}, A = {1, 3, 5} A A Es gilt: Ω =, = Ω, A = A. Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

14 Schnittmenge ((set) intersection) Schnittmenge: (intersection) Seien A, B, Teilmengen von Ω. Die Schnittmenge von A und B (A B, gesprochen A geschnitten (mit) B ) besteht aus allen Elementen, die gleichzeitig in A und B liegen. A B = {x Ω x A x B} x x (A B) (x A) (x B) Bsp.: A = {1, 3, 4, 5, 7}, B = {1, 2, 6, 7, 8} A B = {1, 7} A B Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

15 Eigenschaften der Schnittsmenge (Properties of the set intersection) Eigenschaften: (properties) Seien A, B, Teilmengen von Ω. Es gilt: A A = A A A = A Ω = A A = (A B) A, (A B) B Disjunkte Mengen: (disjoint sets) Zwei Mengen A, B heißen disjunkt, wenn ihre Schnittmenge die leere Menge ist: Die Mengen A und B sind disjunkt A B = Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

16 Vereinigungsmenge ((set) union) Vereinigungsmenge: (union) Seien A, B, Teilmengen von Ω. Die Vereinigungsmenge von A und B (A B, gesprochen A vereinigt (mit) B ) besteht aus allen Elementen, die in A oder B enthalten sind. A B = {x Ω x A x B} x x (A B) (x A) (x B) Bsp.: A = {1, 3, 4, 5, 7}, B = {1, 2, 6, 7, 8} A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A B Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

17 Eigenschaften der Vereinigungmenge (Properties of the set union) Eigenschaften: (properties) Seien A, B, Teilmengen von Ω. Es gilt: A A = A A A = Ω A Ω = Ω A = A A (A B), B (A B) Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

18 Differenzmenge ((set) difference) Differenzmenge: (difference) Seien A, B Teilmengen von Ω. Die Differenzmenge von A und B (A \ B, gesprochen A ohne B ) besteht aus allen Elementen, die in A, aber nicht in B liegen. A \ B = {x Ω x A x / B} x x (A \ B) (x A) (x B) Bsp.: A = {1, 3, 4, 5, 7}, B = {1, 2, 6, 7, 8} A \ B = {3, 4, 5} A B Seien A, B Teilmengen einer Grundmenge Ω. Es gilt: A = Ω \ A A \ B = A B Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

19 Rechenregeln für Mengenoperationen (Set operations) Eigenschaften: (properties) Seien A, B und C Teilmengen von Ω. Es gilt: 1 A B = B A, A B = B A (Kommutativität) 2 (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) (Assoziativität) 3 A (B C) = (A B) (A C) (Distributivität) A (B C) = (A B) (A C) 4 (A B) = A B, (A B) = A B (De Morgan) Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

20 Beispiel:Example Gegeben sind die Mengen A und B sowie eine Grundmenge Ω. Vereinfachen Sie: (A \ B) (A B) (A \ B) (A B) = (A B) (A B) Eigenschaft der Differenzmenge = (A B) (A B) De Morgan = B (A A) Distributivität = B Eigenschaft der Schnittmenge und der Vereinigungmenge Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

21 Beispiel mit Venn-Diagrammen: Example Gegeben sind die Mengen A und B sowie eine Grundmenge Ω. Beweisen Sie: (A B) C = A (B C) A B A A B B (A B) C A B C C C Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

22 Beispiel mit Venn-Diagrammen: Example Gegeben sind die Mengen A und B sowie eine Grundmenge Ω. Beweisen Sie: (A B) C = A (B C) A B A B C B A (B C) A B C C C Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23

23 Beispiel: Example Gegeben sind die Mengen A und B sowie eine Grundmenge Ω. Beweisen Sie: (A B) C = A (B C) x x ((A B) C) ((x A) (x B)) (x C) Def. von (x A) ((x B) (x C)) Assoziativität von (x A) ((x (B C)) Def. von (x (A (B C)) Def. von Vorlesung 2 MINT Mathekurs SS / 23