Übersichtsblatt Hertrampf/Bahrdt. 1 Mathematische Aussagen. Theoretische Informatik I WS2018/19

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1 Theoretische Informatik I WS2018/19 Übersichtsblatt Hertrampf/Bahrdt Institut für Formale Methoden der Informatik Theoretische Informatik Universität Stuttgart 1 Mathematische Aussagen Um mathematische Aussagen zu tätigen benötigen wir eine Sprache, die frei von subjektiven Interpretation ist. Üblicherweise versteht man hierunter die Formalisierung der Mathematik. Wir wollen Aussagen über Objekte tätigen, etwa um Eigenschaften derselben zu spezifizieren. Desweiteren benötigen wir die Möglichkeit zu sagen, dass dies oder jenes für alle Dinge gilt oder ein Objekt mit gewissen Eigenschaften existiert. Auch benötigen wir ein Möglichkeit eine logische Schlussfolgerung zu formulieren. Symbole Sprechweise A, B, C Aussagen A, B, C A Nicht A, d.h. das Gegenteil von A A B A und B A B A oder B A B A impliziert B A B A genau dann wenn B x: A Für alle x gilt A x: A Es existiert x für das gilt A E(x) x hat die Eigenschaft E. Hilfreich ist es sich E als eine Menge vorzustellen, die all jene Elemente umfasst, die die Eigenschaft E haben: a {x E(x)} E(a). Statt Eigenschaft sagt man auch Prädikat zu E und erlaubt mehrstellige Prädikate: E(x 1,... x n ) (x 1,..., x n ) {(x 1,..., x n ) E(x 1,..., x n )} Im folgenden ein paar Beispiele: Für jede natürliche Zahl x existiert eine größere natürliche Zahl y: x: (x N ( y : (y N x < y))) Etwas kürzer: x N y N: x < y Da wir uns über die Grundmenge einig sind ginge auch: x y : x < y Beachten Sie, dass x < y ein zweistelliges Prädikat ist: E(x, y) x < y. Es existiert ein Raum mit der Raumnummer und dieser Raum ist das Büro des Übungsleiters. x: Raum(x) Raumnummer(x, 1.108) Büro(x, Übungsleiter) Abschließend müssen wir noch verstehen, wie wir Aussagen negieren können: Negierte Aussage Umformung x: A x: A x: A x: A (A B) A B (A B) A B (A B) A B 1/5

2 2 Mengen Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten. Üblicherweise geben wir eine Menge direkt über die enthaltenen Elemente an, die wir explizit aufzählen oder über Eigenschaften, die die Objekte erfüllen müssen um Teil der Menge zu sein. Ein Beispiel für ersteres wäre z.b. M = { } die Menge, die die Raumnummer des Übungsleiters enthält. Wollen wir hingegen die Menge aller Räume am Campus Vaihingen angeben, so bräuchten wir eine ganze Menge Papier. Stattdessen definieren die Menge über eine Eigenschaft der sie konstituierenden Elemente: M = {r r ist eine Raumnummer eines Gebäudes am Campus Vaihingen} Hierbei müssen wir aufpassen, dass wir keine Eigenschaft fordern die zu Widersprüchen führen könnte: R := {x x / x}, gleichbedeutend mit Die Menge R aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. Dies führt zum Widerspruch, da R in R enthalten ist, wenn R nicht in R enthalten ist. Um dieser Russellsche Antinomie aus dem Weg zu gehen schränken wir die Mengenbildung entsprechend ein, üblicherweise durch die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom. Praktisch gehen wir immer davon aus, dass wir eine Menge aus einer validen Grundmenge U über das Aussonderungsaxiom definieren: M := {x U x besitzt Eigenschaft E} Um auszudrücken, dass x ein Element der Menge M ist nutzen, wir das Symbol : x M. Ist x kein Element der Menge, so können wir dies durch das Symbol / ausdrücken: x / M. Haben wir zwei Mengen über unterschiedliche Eigenschaften definiert, so können wir uns fragen, ob diese die gleichen Mengen darstellen. Hierzu ziehen wir das Extensionalitätsaxiom heran, das besagt, dass zwei Mengen gleich sind, wenn Sie die gleichen Elemente beinhalten: M = N ( x: x M x N). Beweisen können wir dies z.b. indem wir nachweisen, dass M eine Teilmenge von N ist, d.h. x: x M x N. Wenn nun auch N eine Teilmenge von M ist, so sind beide gleich. Nun können wir uns noch Gedanken über die Größe einer Menge machen. Für endliche Mengen zählen wir hierzu einfach die Anzahl an Elementen. Bei unendlich großen Mengen ist das schon nicht mehr möglich. Um die Größe zweier Mengen zu vergleichen nutzen wir hierfür eine Abbildung (Funktion), die Elemente der einen Menge auf Elemente der anderen Menge abbildet. Ein Beispiel ist z.b. die Abbildung, die jedem Mitarbeiter der Universität Stuttgart eine Büronummer zuweist in der er üblicherweise zu finden ist. Wir können annehmen, dass jeder Mitarbeiter ein Büro hat und kein Büro ohne Mitarbeiter existiert. Da es mindestens ein Büro gibt (1.108), welches von 2 Mitarbeitern genutzt wird, ist die Abbildung nicht injektiv. Es gibt also mehr Mitarbeiter als Büros. Im Folgenden wollen wir noch ein Beispiel für unendlich große Mengen geben: Sei N die Menge der natürlichen Zahlen und Q die Menge der rationalen Zahlen. Aus dem Schulunterricht wissen wir, dass N Q da x N y Q: x = y z.b. y = x. Umgekehrt ist 1 / N. Aber ist Q auch größer? 1 2 Die Antwort ist nein, da es eine bijektive Funktion gibt (Cantorsche Paarungsfunktion), das jeder natürlichen Zahl n eine rationale Zahl q zuordnet. Q ist also nur abzählbar unendlich groß. Eine Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn es eine Bijektion von N nach M gibt. Für die reellen Zahlen gilt dies schon nicht mehr, diese sind überabzählbar 2/5

3 groß. Wichtige Operationen auf Mengen sind die Vereinigung ( ) und der Schnitt ( ). Für die Vereinigung schreiben wir: Für den Schnitt schreiben wir: A B = {m m A m B} A B = {m m A m B} Wollen wir sehr viele Mengen vereinigen, dann können wir auch schreiben: A i = {m i I : m A i } Analog hierzu der Schnitt: i I A i = {m i I : m A i } Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist: Für A ist i I A B := {(a, b) a A und b B} A n := {(a 1,..., a n ) a i A} die Menger aller n-tupel mit Einträgen aus A und A := i N A i die Menge aller Tupel mit Einträgen aus A. Die Länge eines Tupel ist gleich der Anzahl der Einträge: (a 1,..., a n ) = n. Alphabete, Wörter und Sprachen 3 Relationen Eine binäre Relation über der Menge M ist eine Teilmenge der Paare der Elemente der Menge: R M M. Für m 1, m 2 M gilt m 1 R m 2 (m 1, m 2 ) R. Man beachte die Reihenfolge der Elemente! Aus m 1 R m 2 folgt nicht notwendig dass m 2 R m 1. Statt m 1 R m 2 schreibt man auch m 1 R m 2. Beispiele für Relationen sind z.b. der Vergleichsoperator < auf den natürlichen Zahlen N. Vorheriger Hinweis ist hier sofort ersichtlich: 5 < 6 aber nicht 6 < 5. Die Relation ist also nicht symmetrisch. Sie ist auch nicht reflexiv, da 5 < 5 nicht gilt. Dafür gilt hier für x, y, z N : (x < y y < z) x < z wofür wir den Begriff transitiv nutzen. Formal haben wir folgende Definitionen: reflexiv: x M : x x symmetrisch: x, y M : x y y x transitiv: x, y, z : (x y y z) x z Eine Relation die alle vorhergenannten Eigenschaften besitzt wird auch Äquivalenzrelation genannt. 3/5

4 4 Algebraische Strukturen Seien S eine Menge, eine binäre Verknüpfung. (S, ) heißt Magma, falls S unter abgeschlossen ist, d. h.: x, y S : x y S. Halbgruppe, falls (S, ) ein Magma ist und assoziativ ist, d. h.: x, y, z S : (x y) z = x (y z). Monoid, falls (S, ) eine Halbgruppe ist und ein neutrales Element existiert, d. h.: e S : x S : x e = x = e x. Das neutrale Element e ist dann eindeutig und wird oft mit 1 notiert. Gruppe, falls (S, ) ein Monoid ist und jedes Element ein Inverses hat, d. h.: x S : y S : x y = 1 = y x. Das Inverse y zu x ist dann eindeutig und wird oft mit x 1 notiert. kommutativ, auch abelsch genannt, falls gilt: x, y S : x y = y x. Hinweis: Sehr oft wird eine algebraische Struktur (S, ) mit ihrer Trägermenge S identifiziert. Man schreibt dann S und meint dabei (S, ), z. B. Σ statt (Σ, ). Des Weiteren schreibt man oft xy statt x y. 4/5

5 Aufgabe 1: Aussagen (a) Geben Sie ein Prädikat an, sodass die Aussage wahr ist. i. x N: E(x) ii. x, y, z N: (E(x, y) E(y, z)) E(x, z) iii. x, y, z N: (E(x, y) E(x, z)) y = z (b) Negieren Sie folgende Aussagen. i. x M : x > 5 ii. x N k N: x < k iii. x y z : (x < y y < z) x < z (c) Zeigen Sie, dass folgende Aussagen nicht äquivalent sind. Geben Sie hierzu ein Gegenbeispiel an. i. (1) ( x N: A(x)) ( x N: B(x)) (2) x N (A(x) B(x)) ii. (1) ( x N: A(x)) ( x N: B(x)) (2) x N (A(x) B(x)) Aufgabe 2: Mengen (a) Geben Sie jeweils explizit die Elemente der Menge M an. i. M = A B mit A = {a, b} und B = {c, d} ii. M = A n mit A = {a} iii. M = A B mit A = {a, aa, bb} und B = {a, aa, bb, c} iv. M = A B mit A = {a, aa, bb} und B = {a, aa, bb, c} (b) Geben Sie jeweils ein Element der Menge M an. i. M = {a, b, c} ii. M = {x N k N: x = 3k + 1} iii. M = {x N x 1 (mod 3)} iv. M = {(x 1,..., x 5 ) {0, 1} 5 N 5 k N: Σ 5 i=12 i 1 x i = 3k + 1} Aufgabe 3: Algebraische Strukturen (a) Im folgenden betrachten wir die ganzzahlige Division ohne Rest. Diese stellen wir mit dem Symbol dar. Beispiel: 5 4 = 1 i. Zeigen Sie: ist nicht assoziativ. ii. Zeigen Sie: ist nicht kommutativ. (b) Im folgenden betrachten wir die Menge M αβ = {α, β} und die zugehörige Verknüpfung : M αβ M αβ M αβ mit α α = α, α β = β, β α = β, β β = α. i. Zeigen Sie: ist assoziativ ii. Zeigen Sie: ist kommutativ. iii. Ist M αβ ein Magma, eine Halbgruppe, ein Monoid, eine Gruppe? 5/5