Die anderen Folgen in Beispiel 3.1 sind nicht geometrisch. So ist etwa für die Folge mit b n = 1 n b 3 = 2 b 2 3, aber b 4

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1 Ebenso ist jede Folge mit der Vorschrift d n = q n für ein festes q R geometrisch. Die anderen Folgen in Beispiel 3.1 sind nicht geometrisch. So ist etwa für die Folge mit b n = 1 n b 3 = 2 b 2 3, aber b 4 = 3 b 3 4. Beispiel 3.3 Ein Anfangskapital K 0 wird zum Zinssatz von p = 0.05 (also 5%) jährlich verzinst. Dann ist nach n Jahren das Kapital angewachsen auf den Wert K n, der sich wie folgt berechnet (Zinseszins!); und allgemein K 1 = K 0 +pk 0 = (1+p)K 0, K 2 = K 1 +pk 1 = (1+p)K 1 = (1+p) 2 K 0, K 3 = K 2 +pk 2 = (1+p)K 2 = (1+p) 3 K 0, K n = (1+p) n K 0. Die Folge der jährlichen Kapitalmenge (K n ) n N ist also geometrisch, da K n+1 K n = 1+p für alle n N. 138

2 Für eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotienten a n+1 a n = q gilt a n+1 = qa n und daher und allgemein a n = a 1 q n 1 oder a 2 = qa 1, a 3 = qa 2 = q 2 a 1, a 4 = qa 3 = q 3 a 1 a n = a 0 q n wobei a 0 := a 1 q. Wir können a 0 als das nullte Folgenglied auffassen. Eine geometrische Folge ist also vollständig durch den Quotienten q und einen Anfangswert a 0 (oder a 1 ) bestimmt. Etwas weniger wichtig(und auch uninteressanter) sind die arithmetischen Folgen: Eine Folge a = (a n ) n N heißt arithmetisch, wenn die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, wenn es also eine Zahl d R gibt, so dass gilt a n+1 a n = d für alle n N. 139

3 Beispiel 3.4 Die Folge a = (a n ) n N mit a n = 3n 7 ist arithmetisch, denn a n+1 a n = 3(n+1) 7 ( 3n 7 ) = 3 für alle n N. Die ersten Folgenglieder sind 4, 1, 2, 5, 8,... Ist eine Folge a = (a n ) n N arithmetisch mit der konstanten Differenz a n+1 a n = d für alle n N, dann gilt a n+1 = d+a n und die einzelnen Folgenglieder ergeben sich durch a 2 = d+a 1, a 3 = d+a 2 = d+d+a 1 = 2d+a 1, a 4 = d+a 3 = 3d+a 1 und allgemein a n = (n 1)d+a 1 oder a n = nd+a 0 wobei a 0 = a 1 d wie bei der geometrischen Folge als nulltes Folgenglied interpretiert werden kann. Eine arithmetische Folge ist also vollständig durch die 140

4 Differenz d und einen Anfangswert a 0 (oder a 1 ) bestimmt. Ähnlich wie für Abbildungen wollen wir nun die Begriffe Monotonie und Beschränktheit für Folgen erklären. Zusätzlich gibt es noch den Begriff der alternierenden Folge (machen Sie sich klar, dass die Begriffe Monotonie und Beschränktheit sowohl für Folgen als auch reelle Funktionen sinnvoll sind, alternierend aber für Abbildungen auf R nicht sinnvoll definiert werden kann). 141

5 Eine Folge a heißt konstant, falls a n+1 = a n für alle n N gilt. Eine Folge (a n ) n N heißt monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, falls a n+1 a n bzw. a n+1 > a n für alle n N. Eine Folge (a n ) n N heißt monoton fallend bzw. streng monoton fallend, falls a n+1 a n bzw. a n+1 < a n für alle n N. Eine Folge heißt alternierend, falls a n+1 > 0 ist wenn a n < 0 ist und a n+1 < 0 wenn a n > 0 ist. Anders gesagt: a n+1 a n < 0 für alle n N (die Folgenglieder wechseln also in jedem Schritt das Vorzeichen). 142

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9 Beispiel 3.5 Betrachte die Folgen aus Beispiel 3.1 Die Folgen a und d mit a n = n 2 und d n = 2 n sowie die Fibonacci-Folge sind streng monoton wachsend. Die Folge b mit b n = 1 n ist streng monoton fallend. Die Folge c mit c n = ( 1) n ist weder monoton wachsend noch monoton fallend. Sie ist alternierend. Die Folge x mit x n = (1+ 1 n )n ist streng monoton wachsend. Das wird zumindest durch den Graphen angedeutet und es lässt sich auch nachrechnen. Außerdem ist auch die Folge der Kapitalmengen in Beispiel 3.3 bei konstanter jährlicher Verzinsung streng monoton wachsend. Das sollte natürlich auch so sein! Für die besonders wichtigen geometrischen Folgen ist das Monotonieverhalten wie folgt: 143

10 Sei a 0 > 0. Die geometrische Folge a mit a n = a 0 q n iststrengmonotonwachsend,wennq > 1ist, streng monoton fallend, wenn q (0,1) ist, und konstant, wenn q = 0 oder q = 1 ist. Für q < 0 ist die geometrische Folge a n = a 0 q n alternierend. Sei a 0 < 0. Die geometrische Folge a mit a n = a 0 q n ist streng monoton fallend, wenn q > 1 ist, strengmonotonwachsend,wennq (0,1)ist,und konstant, wenn q = 0 oder q = 1 ist. Für q < 0 ist die geometrische Folge a n = a 0 q n alternierend. Beispiel 3.6 Die Folge a n = 5 ( 1 2) n ist streng monoton fallend. Die ersten Folgenglieder sind a 1 = 5 2, a 2 = 5 4, a 3 = 5 8, a 4 = 5 16,..., a 10 = Für a n = 5 ( 1 2) n erhalten wir a 1 = 5 2, a 2 = 5 4, a 3 = 5 8, a 4 = 5 16, a 5 =

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12 Die Folge ist alternierend. Wir halten fest, dass die Folge ( a n ) der Beträge von a n monoton fallend ist. Eine Folge (a n ) n N heißt beschränkt, falls es eine Konstante M R gibt, so dass a n M für alle n N, d. h. alle Folgenglieder liegen im Intervall [ M,M]. Beispiel 3.7 Die Folgen a und d mit a n = n 2 und d n = 2 n sowie die Fibonacci-Folge aus Beispiel 3.1 sind nicht beschränkt. Die Folge b mit b n = 1 n ist beschränkt, denn 1 < 1 für alle n N. Die Folge c mit c n = ( 1) n ist beschränkt: ( 1) n = 1 für alle n N. Die Kapitalzuwachsfolge aus Beispiel 3.3 ist unbeschränkt. Wenn man nur lange genug wartet, wird das Kapital beliebig groß. Eine geometrische Folge a mit a n = a 0 q n ist unbeschränkt, wenn q > 1 ist und beschränkt, wenn q [ 1,1] ist. 145 n

13 Zur Beschreibung des Verhaltens einer Folge bei wachsendem Index wird der Begriff Konvergenz eingeführt. Zunächst einige anschauliche Beispiele von Konvergenz. Beispiel 3.8 Die Folgenglieder aus Beispiel 3.1.1, und werden für wachsende n immer größer. Anders gesagt: sie gehen nach +. Die Folgenglieder aus Beispiel kommen für wachsende n immer näher an die x-achse, anders: die Werte kommen der Null immer näher. In der Folge aus Beispiel wechseln sich die Werte 1 und 1 ab. Die Folge kommt weder dem Wert 1 noch dem Wert 1 beliebig nahe, weil immer wieder der jeweils andere Wert angenommen wird. Die Folgenglieder aus Beispiel wechseln sich mit dem Vorzeichen ab, aber wie in Beispiel 2 kommen die Werte der Null, also der x-achse, immer näher. Der Graph der Folge aus Beispiel deutet an, dass die Folgenglieder zwar stets anwachsen, aber nicht beliebig groß werden, sondern sich einem Wert nähern. Was ist der genaue Wert? Diesen Wert nennen wir den Grenzwert der Folge: 146

14 Grenzwert (Limes) von Folgen Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert oder Limes einer Folge (a n ) n N, wenn es zu jedem vorgegebenen ǫ > 0 einen von ǫ abhängigen Index n(ǫ) N gibt, so dass a n a ǫ für alle n n(ǫ). Eine Folge (a n ) n N heißt konvergent wenn sie einen Grenzwert a R besitzt. In diesem Fall schreiben wir: lim a n = a oder a n a für n. n Sprechweise:Limes n gegen unendlich von a n ist gleich a,oder:a n konvergiert gegen a für n gegen unendlich. Ist der Grenzwert a = 0, so heißt die Folge eine Nullfolge. Ist eine Folge nicht konvergent, so heißt sie divergent. Man sagt auch die Folge divergiert. Wir können auch noch verschiedene Arten der Divergenz unterscheiden. Die Folge a n = n verhält sich sicherlich anders als die Folge ( 1) n n oder ( 1) n. 147

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16 Eine Folge (a n ) n N heißt bestimmt divergent nach, falls es zu jedem M ein n 0 so gibt, dass a n M für alle n n 0, gilt, d.h. die Folgenglieder werden beliebig groß. Entsprechend wird bestimmte Divergenz nach erklärt. Schreibweise: lim a n =, bzw. lim a n = n n. Achtung: Wir sagen nicht, dass die Folge gegen konvergiert. Wenn wir von Konvergenz sprechen, meinen wir stets Konvergenz gegen eine reelle Zahl, nie gegen ±! Man kann sich die Konvergenz gegen a auch folgendermaßen klar machen: 148

17 Eine Folge (a n ) n N konvergiert gegen ein a R genau dann, wenn für alle ǫ > 0 nur endlich viele Folgenglieder nicht im Intervall[a ǫ, a+ǫ] liegen; ein solches Intervall heißt auch eine ǫ-umgebung von a. Alternative Sprechweise: fast alle Folgenglieder (d.h. mit Ausnahme von höchstens endlich vielen) liegen im Intervall [a ǫ,a+ǫ]. Insbesondere gibt es also nur einen Grenzwert für eine konvergierende Folge. Beispiel 3.9 Die Folge a mit a n = n 2 aus Beispiel ist divergent (bestimmte Divergenz nach ). Die Folge b mit b n = 1 n ist eine Nullfolge. Die Folge c mit c n = ( 1) n ist divergent. Die Folge d mit d n = 2 n ist bestimmt divergent nach. Die Folge y mit y n = ( 3) 1 n ist eine Nullfolge. 149

18 Die Folge x mit x n = (1+ 1 n )n ist konvergent, ihr Grenzwert ist die Eulersche Zahl e, also ( 1) n e := lim n n Wir gehen darauf später noch genauer ein. Die Fibonacci-Folge ist bestimmt divergent gegen. Aus der Definition der Konvergenz folgt sofort Jede konvergente Folge ist beschränkt. Wir wollen im nächsten Beispiel das Konvergenzverhalten der arithmetischen und geometrischen Folgen sowie der Folgen 1 ( 1)n n und n zusammenfassen. 150

19 Beispiel 3.10 ( 1) n n a n a+nd aq n 1 (a > 0) n monoton steigend d 0 q 1 nein nein streng monoton steigend d > 0 q > 1 nein nein monoton fallend d 0 0 q 1 streng monoton fallend d < 0 0 < q < 1 ja nein ja nein beschränkt d = 0 1 q 1 ja ja konvergent d = 0 1 < q < 1 q = 1 ja Limes a 0 a 0 0 Wir geben jeweils an, für welche Werte von a,d,q die Folgen die entsprechende Eigenschaft haben. Ein sehr wichtiges Konvergenzkriterium ist das folgende: ja Jede beschränkte und monotone Folge (a n ) n N konvergiert, d.h. es gibt ein a R, so dass lim n a n = a. 151

20 Beispiel 3.11 Die Folge 3 (n+1) ist monoton (fallend) und beschränkt, also konvergent, und der Grenzwert ist 0. Die Folge ( 1)n2 7n ist nicht monoton (aber beschränkt). Diese Folge ist auch konvergent(ihr Grenzwert ist ebenfalls 0). Es kann also durchaus nicht monotone Folgen geben, die konvergieren. Unbeschränkt kann eine konvergente Folge aber nicht sein! Rechenregeln für Grenzwerte Seien (a n ) n N, (b n ) n N konvergente Folgen mit lim a n = a und lim b n = b. Dann gilt: n n 1. (a n ±b n ) n N ist konvergent mit lim (a n ±b n ) = a±b. n 2. (a n b n ) n N ist konvergent mit lim (a n b n ) = a b. n 152

21 3. Sei b 0. Dann gibt es ein n 0 N( mit) b n an 0 für alle n n 0, und die Folge ist konvergent mit a n lim = a n b n b. b n n n 0 4. Seiλ R.DannistauchdieFolge(λa n ) n N konvergent mit lim (λa n) = λa. n Wir geben gleich eine Menge an Beispielen an, wie wir die oben angegebenen Sachverhalte ausnutzen können. Wir müssen, grob gesagt, den algebraischen Ausdruck, der die Folgenglieder a n definiert, in Teilausdrücke zerlegen, von denen wir dann jeweils die Grenzwerte kennen. Bevor wir zu den Beispielen kommen, hier ein weiteres wichtiges Konvergenzkriterium: 153

22 AusquetschenSeien(a n),(a n)konvergentefolgen mit lim n a n = a = lim a n. n Ist (a n ) eine Folge mit dann gilt auch a n a n a n für alle n, lim a n = a. n Als Spezialfall erhalten wir für Nullfolgen: Sei (a n) eine Nullfolge. Ist (a n ) eine Folge mit a n a n für alle n, dann ist auch (a n ) eine Nullfolge. 154

23 Beispiel 3.12 (1) Für k N ist (2) 3n 2 +1 lim n n 2 (3) Für a R mit a < 1 ist lim n 1 n k = 0. = lim (3+ 1 n n2) = lim 3+ lim n n lim n an = 0. (4) Sei a n = n+1 n, n N. Bei dieser Folge hilft ein Umformungstrick weiter: n+1 n = ( n+1 n)( n+1+ n) n+1+ n = n+1 n n+1+ n = 1 n+1+ n 1 n 2 = 3. und daher ist lim n ( n+1 n) =