Vorlesung. Informationsökonomik und die Theorie der Firma

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1 Vorlesung Informationsökonomik und die Theorie der Firma Ulrich Schwalbe Universität Hohenheim 2. Vorlesung Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

2 Das grundlegende Principal Agent Modell I Die grundlegenden Elemente des Principal Agent Modells sind: P beauftragt A, eine Aufgabe auszuführen. P bietet A einen Vertrag an. A kann Vertrag annehmen/ablehnen. Falls A annimmt: A wählt Aktion (Anstrengung, Effort) e aus einer Menge E. Die Menge der möglichen Ergebnisse ist X = {x 1, x 2,...,x n }. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

3 Das grundlegende Principal Agent Modell II Das Ergbenis hängt auch von einer Zufallsvariablen ab. Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses x i bedingt auf die Leistung e ist gegeben durch Prob[x = x i e] = p i (e), i = 1,...,n mit n i=1 p i(e) = 1 und p i (e) > 0 für alle e und i. Der P zahlt dem A einen Lohn w. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

4 Das grundlegende Principal Agent Modell III Die Präferenzen des P und des A werden beschrieben durch von Neumann Morgenstern Nutzenfunktionen (Erwartungsnutzen). Nutzenfunktion des P: B(x w) mit B > 0 und B 0. Nutzenfunktion des A: additiv separable Funktion U(w, e) = u(w) v(e) mit u > 0, u 0 und v > 0, v 0. Wenn der A den Vertrag ablehnt: Reservationsnutzen Ū. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

5 Optimale Anreizschemata bei symmetrischer Information Wenn sowohl P als auch A vollständige Information haben, kann der Vertrag die von P gewünschte Anstrengung e spezifizieren. Aber: e muss verifizierbar sein! Der entsprechende Lohn für jedes Ergebnis x i wird mit w(x i ) bezeichnet, i = 1,... n. Das Problem des P ist also : Finde den billigsten Vertrag, der die gewünschte Anstrengung implementiert, unter der Bedingung, dass der A den Vertrag akzeptiert. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

6 Teilnahmebedingung max e,{w(x i ) i=1,...,n } u.d.n. n p i (e)b(x i w(x i )) i=1 n p i (e)u(w(x i )) v(e) Ū. i=1 Die Nebenbedingung wird als Teilnahmebedingung bezeichnet. Eine Anreizbedingung ist nicht notwendig, da die Leistung des A spezifiziert werden kann. Es wird angenommen, dass es eine Institution gibt, die in der Lage ist, den Vertrag durchzusetzen. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

7 Die Lagrange Funktion L(w(x i ), e, λ) = [ n n ] p i (e)b(x i w(x i )) + λ p i (e)u(w(x i )) v(e) Ū. i=1 i=1 e 0 sei das effiziente Leistungsniveau und {w 0 (x i ) i=1,...,n } die entsprechenden Löhne. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

8 Bedingungen erster Ordnung I L(w 0 (x i ), e 0, λ 0 ) w(x i ) = p i (e 0 )B (x i w 0 (x i )) +λ 0 p i (e 0 )u (w 0 (x i )) = 0 für i = 1,...,n. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

9 Bedingungen erster Ordnung II Das impliziert λ 0 = B (x i w 0 (x i )) u (w 0 (x i )) > 0, i = 1,...,n, d.h. die Teilnahmebedingung ist bindend. Man beachte: Das Ergebnis ist Pareto optimal, da der Nutzen des einen Akteurs (P) maximiert wird unter der Nebenbedingung, dass der Nutzen des anderen (A) konstant gehalten wird. Durch Variation von Ū kann man die Menge effizienter Allokationen bestimmen. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

10 Eigenschaften des optimalen Anreizschemas Die Bedingung λ 0 = B (x i w 0 (x i )) u (w 0 (x i )) > 0, i = 1,...,n, (1) besagt, dass das Verhältnis der Grenznutzen des P und des A konstant ist. Dies ist die übliche Bedingung für Pareto Optimalität. Da das Ergebnis unter anderem von einer Zufallsvariablen abhängt, ergibt sich die Frage, wie das Risiko optimal zwischen den Akteuren aufgeteilt wird. Frage: Wie ist die optimale Risikoaufteilung zwischen den Akteuren? Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

11 Optimale Risikoaufteilung: Drei Fälle Fall I P ist Risiko neutral: B = k, z.b. B = x w, und A ist risiko avers. Bedingung (1) u konstant für alle Ereignisse x i. Wenn A risiko avers ist, und u konstant, dann muss A einen festen Lohn (unabhängig vom Ereignis) bekommen: w 0 (x i ) = w 0 für alle x i. A ist vollständig versichert, B trägt das gesamte Risiko. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

12 Optimale Risikoaufteilung: Drei Fälle Die Lohnzahlung ist so bestimmt, dass gilt: u(w 0 ) = Ū + v(e0 ). D.h., der Lohn ist gerade so hoch, dass A indifferent ist zwischen Vertrag annehmen und ablehnen; sein Nettonutzen ist Ū. Er wird gerade mal für die Anstrengung v(e 0 ) entschädigt. Die erwartete Auszahlung des P ist EB = i p i (e 0 )x i w 0. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

13 Optimale Risikoaufteilung: Drei Fälle Fall II A ist risiko neutral: u = k. z.b. U = w e, und P ist risiko avers. Bedingung (1) B (x i w 0 (x i )) ist konstant, d.h. P erhält eine feste Zahlung c und A trägt das gesamte Risiko. Der Vertrag ist ein Franchise Vertrag: w 0 (x i ) = x i c. Die konstante Zahlung c ist gegeben durch c = n p i (e 0 )x i Ū v(e0 ). i=1 Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

14 Optimale Risikoaufteilung: Drei Fälle Die Zahlung, die der P erhält, ist die Differenz zwischen dem erwarteten Gewinn und dem Betrag, den der A benötigt, damit er den Vertrag akzeptiert. Erwarteter Nutzen des A: EU = i p i (e 0 )x i c v(e 0 ) = Ū. Tatsächlicher Nutzen des A, falls x = x i : n x i c v(e 0 ) = x i p i (e 0 )x i + Ū. i=1 Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

15 Optimale Risikoaufteilung: Drei Fälle Fall III Beide sind risikoavers. Die Menge des Risikos, die ein Akteur trägt, hängt vom Grad der Risikoaversionen beider Akteure ab. Die Bedingung erster Ordnung für einen optimalen Vertrag kann geschrieben werden als B (x i w 0 (x i )) + λu (w 0 (x i )) = 0. Um zu berechnen, wie stark der optimale Lohn vom Ergebnis x i abhängt, differenzieren wir die Gleichung nach x i : [ B 1 dw 0 ] dw 0 + λu = 0. dx i dx i Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

16 Optimale Risikoaufteilung: Drei Fälle Wegen folgt [ B 1 dw 0 ] dw 0 + λu = 0. dx i dx i B B λ = B (x i w 0 (x i )) u (w 0, (x i )) [1 dw 0 dx i ] + u u dw 0 dx i = 0. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

17 Optimale Risikoaufteilung: Drei Fälle Seien ρ p = B /B und ρ a = u /u die Grade der absoluten Risiko Aversion des P und des A. Dann kann diese Gleichung geschrieben werden als dw 0 dx i = ρ p ρ a + ρ p > 0. (2) Die Abhängigkeit des Lohnes vom Ergebnis x i wird also durch die Grade der absoluten Risikoaversion der Akteure bestimmt: Je höher der Grad der absoluten Risiko Aversion des A, bzw. je geringer der Grad der Risiko Aversion des P, desto weniger hängt der Lohn vom Ergebnis ab. In diesem Fall können optimale Verträge ziemlich kompliziert sein. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

18 Lineare Verträge I In der Realität beobachtet man oft Verträge, bei denen sich der Lohn aus einem Fixbetrag und einer Erfolgsbeteiligung zusammensetzt: w 0 (x i ) = c + bx i. Frage: Unter welchen Bedingungen sind solche linearen Verträge optimal? Ableitung nach x i ergibt dw 0 dx i = b. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

19 Lineare Verträge II dw 0 dx i = b. Aus Bedingung (2) folgt somit dw 0 dx i = ρ p ρ a + ρ p = b, d. h. die Änderungsrate von w in Bezug auf x ist konstant. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

20 Lineare Verträge III Dies impliziert, dass die Nutzenfunktionen des P und des A gegeben sind durch u(w) = ke ρaw and B(x w) = k e ρp(x w). Einfache lineare Verträge sind also nur dann optimal, wenn die Nutzenfunktionen von einer sehr spezifischen Form sind. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

21 Die optimale Leistung I Bisher haben wir nur die Bedingungen erster Ordnung überprüft. Da das Optimierungsproblem nicht notwendigerweise konkav in Bezug auf die Leistung e ist, müssen einige Bedingungen an die Verteilungsfunktion p i (e) erfüllt sein. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

22 Die optimale Leistung II Betrachten wir den Fall, dass der A risiko neutral ist. Dann ist der optimale Vertrag von der Form w 0 (x i ) = x i c. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

23 Die optimale Leistung III Der P entscheidet über die Leistung des A, indem er den Wert von c maximiert, d.h. n max p i (e)x i v(e) e i=1 Die Bedingung erster Ordnung ist: n p i (e0 )x i = v (e 0 ) i=1 Die optimale Leistung e 0 ist so bemessen, dass der erwartete Grenzertrag des P ist gleich den Grenzkosten der Leistung des A ist. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

24 Die optimale Leistung IV Die Bedingung zweiter Ordnung lautet n i=1 Diese Bedingung ist erfüllt, wenn gilt: p i (e 0 )x i v (e 0 ) 0 n i=1 p i (e 0 )x i 0. (Da v (e 0 ) > 0, ist diese Bedingung hinreichend.) Diese Bedingung heisst Konkavität der Verteilungsfunktion (Concavity of the Distribution Function, CDF). Sie kann interpretiert werden als abnehmende Skalenerträge der Leistung des A. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25

25 Ergebnisse bei symmetrischer Information Das Lohnschema ist so konstruiert, dass der Erwartungsnutzen des A gleich seinem Reservationsnutzen Ū ist: p i (e 0 )u(w i ) v(e 0 ) = Ū. i Ist einer der Akteure risikoavers und der andere risikoneutral, so trägt der Risikoneutrale das gesamte Risiko, und der risikoaverse erhält einen Fixbetrag. Die optimale Leistung des A (aus der Sicht des P) ist so bestimmt, dass der erwartete Grenzertrag des P gleich den Grenzkosten einer Leistungserhöhung des A ist. Hinreichend für dieses Ergebnis ist die Konkavität der Verteilungsfunktion. Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 2. Vorlesung / 25