Gasdynamik Die Gasdynamik beschreibt kompressible Strömungen, d.h. Strömungen mit Dichteänderungen:

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1 Gasdynamik Die Gasdynamik beschreibt kompressible Strömungen, d.h. Strömungen mit Dichteänderungen: ρ ρ 0; t x 0;etc. Als Unterscheidungskriterium zwischen inkompressibel und kompressibel wird die Machzahl herangezogen: M = u c = Strömungsgeschwindigkeit lokale Schallgeschwindigkeit Strömungen kompressibler Fluide im unteren Machzahlbereich (M < 0.3) werden als inkompressibel betrachtet, darüber sind Dichteänderungen zu berücksichtigen! Die Schallgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich kleine Störungen (Druckänderungen, z.b. Schall) ausbreiten. 1

2 Gasdynamik Für ein ideales Gas gilt: c = γ p ρ = γrt Ist die Strömungsgeschwindigkeit größer als die Schallgeschwindigkeit (M > 1), dann können sich Störungen nicht mehr stromauf ausbreiten, sondern sind durch den Mach schen Kegel eingeschränkt. Der beträgt: Aus der Energiegleichung α = arcsin 1 M h 0 = h + u2 2 c pt 0 = c p T + u2 2 2

3 Gasdynamik erhält man γ = c p c p c v = R c v c p = γr γ 1, c v = R γ 1. Für ideale Gase gilt die Beziehung ( T = 1 + γ 1 ) 1 M 2 = f(m). T 0 2 Für isentrope Zustandsänderungen lassen sich die Isentropenbeziehungen p = ρ ρ 0 = ( T T 0 ( T T 0 3 ) γ γ 1 ) 1 γ 1

4 Gasdynamik bestimmen. D.h. für isentrope Strömungen sind p, ρ und T lediglich Funktionen der Machzahl und des Ruhezustandes. Neben dem Ruhezustand läßt sich der Schallzustand (oder auch kritische Zustand) als Bezug verwenden. Für diesen gilt: u = c M = 1 T = T(Ma = 1) p = p(ma = 1) ρ = ρ(ma = 1) 4

5 Gasdynamik Die zugehörigen Größen werden mit einem * gekennzeichnet. Der Zusammehang zwischen Ruhe- und kritischen Zustand ist nur vom Isentropenexponenten γ abhängig: = T 0 T = γ + 1 (γ 1) = 2 2 isentrop: p = ( ) γ ρ0 ρ = p = ( γ ) γ γ 1 5

6 Gasdynamik, T 0 Kessel mit Ruhezustand Austritt ins Freie engster Querschnitt Flächen-Geschwindigkeitsbeziehung: du u = 1 da 1 Ma 2 A mit Ma = 1 da = 0 Ma = 1 kann nur im engsten Querschnitt auftreten 6

7 19.3 Aus einem großen, reibungsfrei gelagerten Behälter strömt Luft (γ = 1.4) isentrop durch eine gerundete Düse ins Freie. a) Bestimmen Sie den dimensionslosen Schub F s / A D für die Druckverhältnisse p a / = 1; 0.6; 0.2; 0! b) Wie groß sind die entsprechenden Werte einer inkompressiblen Flüssigkeit? 7

8 19.3 a) Ausströmen aus großem Behälter (ideales Gas) Kräfte aus Impulssatz di dt = t (ρ v)dτ + τ A ρ v( v n)da = F p + F R }{{} = 0 + F s + F vol }{{} = 0 di x dt = ρ ev 2 ea D = F s + (p a p e )A D 8

9 19.3 F s A D = ρ ev 2 e + p e p a gesucht: ρ e,v e,p e erweitern mit γp e F s A D = γρ ev 2 e γp e p e + p e p a = = p e γ Ma 2 e + p e p a Energiesatz: c p T 0 = c p T v2 T 0 T = (γ 1)Ma2 2 ( ) )γ 1 = Ma 2 2 T0 = γ 1 T 1 2 = ( p0 γ 1 γ 1 p 9

10 19.3 = F s A D = p e 2γ γ 1 = f ( p0 p e )γ 1 γ ( pe p a, p a Druckverhältnis p e =?? 2 Möglichkeiten: v e < a e Unterschallströmung v e = a e Schallgeschwindigkeit ) 1 + ( pe p ) a v e > a e Überschallströmung ist unmöglich, da der Austrittsquerschnitt der engste Querschnitt ist 10

11 19.3 unterkritischer Fall: p a > p = p e = p a und es folgt = F s A D = p a 2γ γ 1 ( p0 p a )γ 1 γ 1 überkritischer Fall: p a p p e = p pe = p = ( ) γ 2 γ 1 = γ

12 19.3 b) inkompressibles Fluid c 2 = weil dρ = 0 w abs ( ) p ρ s Außendruck ist unabhängig von v e aufgeprägt Bernoulli (ρ = konst. 1 2 ρ ve 2 v }{{} 0 2 = ( p e ) = ρve 2 = 2( p e ) =0 12

13 19.3 F s A D = ρ ev 2 e + p e p a } {{ } =0 = 2 p a = 2 F s ( 1 p a p a A D a) kompr. b) inkompr ) 13

14 19.5 Ein Turbotriebwerk saugt Luft aus der Atmosphäre an. Unmittelbar vor dem Kompressor ist der Druck p 1. = 10 5 N/m 2 T 0 = 287 K p 1 = N/m 2 A = mm 2 R = 287 Nm/(kgK) γ = 1.4 Bestimmen Sie den Massenstrom durch das Triebwerk! 14

15 19.5 m = ρv 1 A Ablösung 15

16 19.5 Ablösung Verluste Änderung von Zwar ist Q + P t = 0 h 0 = konst. aber wegen Ablösung keine isentrope Strömung = irreversible Umwandlung von kinetischer in innere Energie Impulssatz in x-richtung di x dt = ρ 1 v 2 1 A 0 = ( p 1 )A ρ 1 v 2 1 = p 1 Impuls gesucht: ṁ = ρ 1 v 1 A mit c p T 0 = c p T v2 1 Energie ρ 1 = p 1 RT 1 v 1 = Ma 1 γrt1 16

17 19.5 p 1 = ρ 1 v 2 1 = ρ 1v 2 1 p 1 p 1 = v2 1 γ p 1 ρ 1 γp 1 = = γ p 1 Ma 2 1 = Ma 2 1 = 1 γ ( ) p0 1 p 1 Energiesatz: c p T 0 = c p T v2 1 ; c p = γ γ 1 R = 0.25 γrt 0 = γrt 1 + γ 1 v = T 0 = T 1 2 (γ 1)Ma2 1 Impuls = T 1 = T (γ 1)Ma2 1 = 273.3K ṁ = 1.41 kg s 17

18 γ ( ) Die Machzahl im Rohr beträgt Ma 1 = p0 p 1 = 0.5. (Wenn 1 die Strömung verlustfrei wäre, entspräche das Druckverhältnis einer Machzahl im Rohr von Ma = 0.67.) zum Vergleich Aufgabe 7.8): inkompressible Strömung mit ρ = ρ 0 = RT 0 ṁ = ρva = ρ pa = 1.6 kg s 18

19 Verdichtungsstoß Berechnung über den senkrechten Verdichtungsstoß VS 1 2 Ma > 1 Ma < 1 Entropiezunahme: s 2 > s 1 Isentropenbeziehung ist nicht anwendbar, Wichtig: h 0,T 0 und T bleiben konstant, aber 1 2 und s 01 s 02 Stoß ist isenthalp, nicht isentrop. 19

20 Verdichtungsstoß Kontinuität, Impuls- und Energiegleichung p 2 p 1 = 1 + Ma 1 = 1 Ma 2 2γ γ + 1 (Ma ) Das Druckverhältnis steigt mit der Machzahl. 20

21 19.6 Aus einem großen Behälter strömt Luft durch eine gut gerundete Düse ins Freie. Im Endquerschnitt A 1 steht ein senkrechter Verdichtungsstoß. a) Bestimmen Sie den Massenstrom. b) Skizzieren Sie den Verlauf des statischen Druckes in der Düse. 21

22 19.6 A 1 = m 2 T 0 = 287 K A = 0.01 m 2 p a = 10 5 N m 2 J R = 287 kg K Hinweis: p 2 = 1 + 2γ p 1 γ + 1 (M2 1 1) A A* 3,0 2,0 1, ,5 1,0 1,5 2,0 2,5 M 22

23 19.6 ṁ = ρ 1 u 1 A 1 = ρ 1 u 1 T 1 γrt0 A ρ 0 RT 0 γrt1 T 1 0 A A 1 = M 1 > 1, M 2 < 1; p 2 = p a 0 1 isentrope Strömung (aus Diagramm) M 1 = 2 p 1 = p γ = N/m 2 γ + 1 (M2 1 1) T 1 = T γ 1 2 M2 1 23

24 19.6 b) ( ) γ T0 = p 1 T 1 ṁ = γ 1 = p1 (1 + γ 1 M γ 1 M γ+1 2(γ 1) ) γ γ 1 = N/m 2 M 1 RT0 γa1 = 4.43 kg/s 24

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