7. Vorlesung Wintersemester

Transkript

1 7. Vorlesung Winersemeser Der ungedämpfe Oszillaor mi komplexem Lösungsansaz Wie gezeig, wird die DGL des ungedämpfen Oszillaors mẍ() + kx() = 0 () im Komplexen von den Funkionen x () = e iω und x 2 () = e iω gelös. Die allgemeine komplexe Lösung der DGL war somi Dami sie für alle Zeien reell wird, muss gelen x() = A e iω + A 2 e iω (2) A = A 2, oder äquivalen A 2 = A. (3) Drücken wir die Lösung jez in reeller Form aus! Man ersez die Koeffizienen durch reelle in der Form A = a ib, A 2 = a + ib. (4) Dami wird die allgemeine Lösung zu x() = (a ib)(cos ω + i sin ω) + (a + ib)(cos ω i sin ω) = 2a cos ω + 2b sin ω, (5) also bis auf den unwichigen Fakor 2 die bekanne reelle Lösung. Das Ganze sieh wesenlich komplizierer aus, als es das Erraen der reellen Lösung war, wir werden aber sehen, dass diese Mehode sehr mächig is und sich schon beim gedämpfen Oszillaor bewähr. Bemerkung: Da die messbaren Größen immer reell sind, spielen die komplexen Zahlen immer die Rolle von Rechenhilfsmieln. Es gib dann zwei Möglichkeien, aus der komplexen Lösung z() auf eine reelle zu kommen. man konsruier eine reelle Lösung durch geeignee Wahl der Koeffizienen, wie es soeben gemach wurde, oder 2. man nimm den Realeil der komplexen Lösung. Beide Möglichkeien haben ihre Anwendungen; bei der zweien is darauf zu achen, zunächs allgemeine A, A 2 C zu wählen, bevor man den Realeil nimm. 2 Exponenialansaz für lineare DGLs Im Fall, dass in der homogenen linearen Differenialgleichung α n x (n) () + α n x (n) () + + α ẋ() + α 0 x() = 0 (6)

2 die Koeffizienen α i Konsanen sind, kann man einen Exponenialansaz für die Lösung machen. Sezen wir in (6) den Ansaz x() = Ae a ein, bring jede Ableiung einfach den Fakor a vor die Funkion, so dass man sofor α n a n Ae a + α n a n Ae a + + α aae a + α 0 Ae a = 0 (7) erhäl. Kürzer als Summe geschrieben und mi Ausklammern des gleichbleibenden Fakors: Ae a n k=0 α k a k = 0. (8) Der Vorfakor kann weggekürz werden, da die Exponenialfunkion nie Null wird. Dass der Vorfakor A aus der Rechnung fäll, also beliebig wählbar is, überrasch nich, weil ja auch beliebige Vielfache einer Funkion die DGL erfüllen und somi dieser Fakor unbesimm bleiben muss. Die Lösung der homogenen DGL is dami auf die Lösung der algebraischen Gleichung n α k a k = 0 (9) k=0 zurückgeführ, die die möglichen Fakoren im Exponenen besimm. Nach dem Fundamenalsaz der Algebra von C. F. Gauß ha eine solche Gleichung genau n Lösungen, die allerdings folgende Probleme bringen können, die schon von den quadraischen Gleichungen verrau sind: die Lösungen können komplex sein, und eine Lösung kann mehrfach aufreen. Dass zwei Lösungen mi verschiedenen Fakoren im Exponenen linear unabhängig sind, zeig man wieder leich durch Auswerung an zwei verschiedenen Sellen. 3 Der gedämpfe Oszillaor Für diesen Fall schreiben wir die Bewegungsgleichung ewas um: Warum die Änderungen gegenüber der früheren Version ẍ() + 2βẋ() + ω 2 0x() = 0. (0) mẍ() + k x() + αẋ() = 0? () Es is zu erwaren, dass die Schwingungsfrequenz des ungedämpfen Oszillaors, k ω 0 = m für den Fall mi Dämpfung ebenfalls eine Rolle spielen wird. Dass sa α als Reibungskoeffizien jez 2β seh, ha einfach den Zweck, die Formeln späer einfacher werden zu lassen. Sie werden in Lehrbüchern of fessellen, dass man solche speziellen Formulierungen wähl, die eine eleganere Form der Lösung erlauben: das sez aber naürlich voraus, dass man die Lösung schon kenn! Nun wird der Exponenialansaz x() = e λ eingesez: (2) λ 2 + 2βλ + ω 2 0 = 0. (3)

3 Dabei wurde schon die Exponenialfunkion selbs weggekürz. Die Wurzeln dieser quadraischen Gleichung kann man mi der verrauen pq-formel erhalen: λ,2 = β ± β 2 ω0 2. (4) Hier wird der Sinn des Fakors 2 in (0) klar. Wie üblich häng es vom Wer der Diskriminane ab, wie die Lösung aussieh. Drei Fälle sind zu unerscheiden:. β > ω 0 (sarke Dämpfung): die Diskriminane is posiiv und beide Wurzeln sind reell. Das bedeue, dass die Lösungen reine Exponenialfunkionen sind. 2. β = ω 0 (kriische Dämpfung): es gib nur eine Wurzel; die Lösung is aber wieder eine reine Exponenialfunkion. Hier wird es ein Problem, sich die zweie linear unabhängige Lösung zu beschaffen. 3. β < ω 0 (schwache Dämpfung): die Wurzeln sind beide komplex, konjugier zueinander, und die Lösungsfunkionen besehen aus exponeniellen und periodischen Aneilen, weil die Exponenialfunkion einer komplexen Größe benuz wird. 4 Die Lösungen für den gedämpfen Oszillaor Sehen wir uns nun die drei Fälle im Deail an. 4. Der sark gedämpfe Oszillaor In diesem Fall gil β > ω 0 und die Wurzeln sind beide reell mi der Form λ,2 = β ± γ, γ = β 2 ω0 2. (5) Die allgemeine Lösung is in diesem Fall x() = e β ( C e γ + C 2 e γ). (6) Beide Aneile klingen exponeniell ab. Die Anfangsbedingungen bei = 0 lassen sich wegen auf die Form ẋ() = (β γ)c e (β γ) (β + γ)c 2 e (β+γ) (7) x 0 = C + C 2, v 0 = (β γ)c (β + γ)c 2 (8) bringen, woraus man durch Auflösen auf C = ( x 0 + v ), C 2 = ( x 0 v ) 2 γ 2 γ komm. Wie sieh die Lösungsfunkion aus? Der Wer von γ erfüll 0 < γ β. Der zweie Beirag aus der Klammer in (6) fäll auf jeden Fall wesenlich schneller ab als der erse, so dass für große Zeien auf jeden Fall x( ) C e (β γ) (20) gil. Kann die Lösung durch Null gehen? Das gib die Bedingung (9) C e γ = C 2 e γ oder C C 2 = e 2γ. (2)

4 Offensichlich ha diese Gleichung für höchsens eine Lösung. Es is nich einfach, daraus abzuleien, bei welchen Anfangsbedingungen ein Nulldurchgang passier. Man würde aber vermuen, dass bei x 0 > 0 mi v 0 groß und negaiv am ehesen so ewas passieren kann. Genau das zeig auch das folgende Bild. x() Lösungen für den Fall β = 5/2, ω 0 = mi Anfangsbedingungen x 0 = und v 0 = 0 (durchgezogene Linie) sowie v 0 = 0 (gesrichel). 4.2 Der schwach gedämpfe Oszillaor Für diesen Fall, in dem β < ω 0 angenommen wird, sind beide Wurzeln komplex und wir können schreiben λ,2 = β ± iω mi ω = ω0 2 β2. (22) Es wurde also das Vorzeichen in der Wurzel umgedreh, indem der Fakor i herausgezogen wurde. In diesem Fall is die allgemeine Lösung gegeben durch x() = C e λ + C 2 e λ 2 = C e β e iω + C 2 e β e iω (23) = e β ( C e iω + C 2 e iω). Das Ganze sieh also aus wie unsere verraue ungedämpfe Lösung (in Klammern), muliplizier mi einem exponeniellen Abklingfakor. Allerdings is die Frequenz ω des Schwingungsaneils nich idenisch mi der des ungedämpfen Oszillaors, sondern ewas kleiner. Um daraus die reelle Lösung zu machen, kann man wieder C = C 2 sezen oder einfacher gleich für den Teil in Klammern die alernaive Form mi rigonomerischen Funkionen verwenden: x() = e β (A sin ω + B cos ω). (24) Für Anfangsbedingungen zur Zei = 0 erhäl man wegen ẋ() = βx() + e β (ωa cos ω ωb sin ω) (25) die Bedingung woraus folg, also die Lösung x 0 = x(0) = B, v 0 = ẋ(0) = βx 0 + ωa, (26) A = v, B = x 0 (27) ω ( x() = e β x 0 cos ω + v ) sin ω. (28) ω

5 x Der Fall x 0 =, v 0 = 0 x Der Fall x 0 = 0, v 0 = Das Bild zeig zwei Lösungen für den Fall β = 0.05, ω 0 = mi der Anfangsbedingung x 0 =, v 0 = 0 (oben) bzw. x 0 = 0, v 0 = (unen). In beiden Fällen is v() gesrichel aufgeragen. Gleichzeiig zeig das Bild die Funkion ±e β, um den exponeniellen Abfall zu verdeulichen. Die Lösungsfunkion is naürlich nich mehr periodisch, aber die Nullsellen, die ja durch die Nullsellen des Fakors gegeben sind, der wie bei der ungedämpfen Schwingung aussieh, haben weier den Absand T = 2π/ω.