= 3. Kapitel 4: Normalverteilung.. und Standardnormalverteilung und: das Konfidenzintervall..

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1 Kapitel : Normalverteilung.. und Standardnormalverteilung und: das Konfidenzintervall.. Mittelwert = Summe aller Einzelwerte / n = durchschnittliche Ausprägung, wenn alle gleich viel hätten. Streuung = Summe aller Einzelabstände zu x /n = durchschnittliche Abweichung zum Mittelwert. Gleicher Mittelwert unterschiedliche Streuung 1 x mean Std.Abw. mean + Std.Abw. symmetrisch eingipfelig mean,8 x Std.Abw. mean x Std.Abw. mean + x Std.Abw. mean +,8 x Std.Abw. 1 11,7 17,9 17, 177, 187, 19,, Count 1 = Mo Med mean = Körpergrösse in cm Empirische Normalverteilung 7% (ca. /) aller Fälle 9% aller Fälle 99% aller Fälle

2 Zufallsverteilung - Normalverteilung Weniger n, weniger Kategorien Mehr n, mehr Kategorien Symmetrische Verteilung: jede spiegelgleiche Form Normalverteilung - Glockenform: Intervallkriterien treffen zu. Intervallkriterien treffen in jedem Fall zu. Angst vor (Erhebung repräs. für Österr. ) 7 Summenindex Angst (Summe 17 Einzelitems) eigene Krankheit meinem Tod,8 ±1,1 zwischen,17 bis,9 liegen 7% (/) Prozent 1 1: große Angst eigene Krankheit oder Behinderung 7: keine Angst Krankheit von nahen Angehörigen Prozent 1 1: große Angst 7: keine Angst mein Tod 1 nicht mehr gebraucht zu werden 1,8 ± x 1,1 zwischen,9 bis,8 liegen 9% Std.abw. = 1,1 Mittel =,8 N = 18, 1 Prozent 1: große Angst 7: keine Angst Prozent 1: große Angst 7: keine Angst 7,,,,,,,,,,, 1, 1, Index Angst GESAMT 8

3 IQ-Testergebnisse von 89 Pat. Langzeittherapiestation Drogenpavillon OWS 1 1, 1, 1, 1, 1, 11, 11, 1, 1, 9, 9, 8, 8, 7, KAI IQ1 Std.abw. = 1,8 Mittel = 11,1 N = 89, 9 Empirische Normalverteilung empirisch = anhand der vorliegenden Stichprobe erhoben Normalverteilung = Verteilung von zufällig zustande gekommenen Merkmalen Das heißt: Merkmale, deren Entstehungsfaktoren voneinander unabhängig sind (keine von Menschen geschaffene Gesetzmäßigkeit) Das sind: 1. Natürliche Merkmale (Körpergröße, Körpergewicht, ). Neu berechnete Variablen (Indizes), die sich aus mehreren Items zusammensetzen (z.b. IQ) Eigenschaften der Normalverteilung 1. symmetrisch: Median = Mittelwert. Glockenform: Intervallkriterien treffen immer zu: Im Bereich zwischen MW ± 1x Standardabweichung liegen,7% der Verteilung. Im Bereich zwischen MW ± x Std.Abw. (genau: 1,9 x) liegen 9% der Verteilung. Im Bereich zwischen MW ±,8x Std.Abw. liegen 99% der Verteilung. 1 Theoretische Normalverteilung 11 Logik der schließenden Statistik 1 Man stellt sich vor, unendlich viele Stichproben zu ziehen. Misst man ein Merkmal unendlich oft, ähnelt die Verteilung am Ende einer Normalverteilung Die Standardabweichung dieser Verteilung nennt man Standardfehler.

4 Beispiel 1 Wie hoch ist der Frauenanteil unter den Studierenden? 8 1. Stichprobe: %. Stichprobe: 7%. Stichprobe: 71%. Stichprobe: 9% nach 1 1. Stichprobe: 1% gezogenen Stichproben. Stichprobe: % 1. Stichprobe: 7%. Stichprobe: 71%. Usw. Häufigkeit Anzahl 1er bei x würfeln Std.abw. =,8 Mittel = 1 N = 78, Bei unendlich oft gezogenen Stichproben = Annäherung an eine Normalverteilung! 1 ±,8 zwischen,17 bis 1,8 liegen 7% (/) 1 ± x,8 zwischen, bis 17, liegen 9% 1 % Standardnormalverteilung als Rechenmodell 1 Standardnormalverteilung Mittelwert = Standardabw. = 1 1 7% 1 Mittelwert = Standardabw. = 1 1 9% 99% 8 Mittelwert ± Std.Abw. 7% (ca. /) aller Fälle Mittelwert ± 1,9*Std.Abw. 9% (ca. /) aller Fälle Mittelwert ±,8*Std.Abw. 99% (ca. /) aller Fälle

5 Theoretische Normalverteilung = Wahrscheinlichkeitsverteilung theoretisch = mithilfe von Wahrscheinlichkeitsrechnung berechenbar Verwendung: Berechnung von Konfidenzintervallen(=Schwankungsbreiten) von Stichprobenergebnissen: mithilfe der Standardnormalverteilung wird der wahre Parameter in der GG geschätzt. WS-Bestimmung eines Prüfmaß zur Hypothesenentscheidung: Bestimmen des α-fehlers. Die Normalverteilung entspricht der zufälligen Verteilung eines Prüfmaßes bei gegebener Unabhängigkeit (=Zufall). Eigenschaften der Standard-Normalverteilung: wie jede Normalverteilung, und: 1. Mittelwert =. Standardabweichung = 1: Intervallkriterien treffen immer zu: Im Bereich zwischen MW ± 1x Standardabweichung liegen,7% der Verteilung. Im Bereich zwischen MW ± 1,9x Std.Abw. liegen 9% der Verteilung. Im Bereich zwischen MW ±,8x Std.Abw. liegen 99% der Verteilung. 17 Was ist ein Konfidenzintervall? Anhand der Stichprobe wird der wahre Parameter in der Grundgesamtheit geschätzt. Schätzung: Mit bestimmter Wahrscheinlichkeit liegt der wahre Parameter in einem bestimmten Intervall. Parameter sind normalverteilt - Rechenschablone Wahrscheinlichkeit im Regelfall 9%. Antwort in Worten: Mit 9%iger Wahrscheinlichkeit liegt der wahre Anteil/Mittelwert in der Grundgesamtheit zwischen xxx... und... yyy 18 Berechnen des Konfidenzintervalls KI 9% = [Anteilswert ± 1,9 Standardfehler ] p des Anteilswertes S p = Berechnen des Konfidenzintervalls für den Mittelwert KI 9% = [Mittelwert ± 1,9 Standardfehler ] des Mittelwertes x s p ( 1 p ) n sx n x = = s x n 19 Stichprobe: 1,7% der befragten Pflegepersonen in österreichischen Krankenhäusern haben in den letzten Jahren eine Weiterbildung besucht. KI 9% = [Anteilswert ± 1,9 Standardfehler des Anteilswertes ] Untergrenze Obergrenze,17 x (1-,17) 11 KI 9% =,17 ± 1,9,17 ± 1,9,1899,17 ±, [,91;,] Mit 9%iger Wahrscheinlichkeit haben zwischen 9,1 und,% der Pflegepersonen in österreichischen Krankenhäusern in den letzten Jahren eine Weiterbildung besucht.

6 Stichprobe: 11,% der befragten Pflegepersonen in österreichischen Krankenhäusern haben im letzten Jahr eine Weiterbildung besucht. KI 9% = [Anteilswert ± 1,9 Standardfehler des Anteilswertes ] Berechnen des Konfidenzintervalls für einen Anteilswert (= Schätzintervall des wahren Anteils in der GG) Untergrenze KI 9% =,11 ± 1,9,11 ± 1,9,8,11 ±,1 [,97;,19] Obergrenze,11 x (1-,11) 11 Mit 9%iger Wahrscheinlichkeit haben zwischen 9,7 und 1,9% der Pflegepersonen in österreichischen Krankenhäusern im letzten Jahr eine Weiterbildung besucht. 1 Stichprobe: Durchschnittliches Einkommen KI 9% = [Mittelwert ± 1,9 Standardfehler des Mittelwertes ] Berechnen des Konfidenzintervalls für einen Mittelwert (= Schätzintervall des wahren Mittelwertes in der GG) KI 9% = 1.77 ± 1,9, 1.77 ± 9 [1.81.-;1.7.-] Untergrenze Obergrenze Mit 9%iger Wahrscheinlichkeit liegt der Mittelwert vom Einkommen in der Grundgesamtheit zwischen und Schilling.

7 Stichprobenschätzfehler S p = p ( 1 p) n Je größer die Stichprobe, desto kleiner der Schätzfehler. Stichprobenschätzfehler = Standardfehler Je größer die Stichprobe, desto kleiner der Schätzfehler. z.b. % in meiner Stichprobe sind ausländerfeindlich eingestellt. n = 1 Standardfehler % KI9%=, ±1,9 x,= [,1;,8] [1-8%] n = Standardfehler % KI9%=, ±1,9 x,= [,1;,] [1-%] n = Standardfehler 1% KI9%=, ±1,9 x,1= [,18;,] [18-%] Schwankungsbreiten (mit 9%-iger Sicherheit) 8 % % % % % % % % % 1 1 n ,,, 7,1 8, 8,7 9, 9,8 1,,1,,,7,1,,9 7,1,,,,1,,,,7,8 1,7,,,,,,,9, 1, 1,9,7,,,9,1,, 7 1, 1,,,,9,,,,7 1. 1,1, 1,9,,,7,9,1, 1. 1, 1, 1,7,,,,,8,8 1.,9 1,1 1, 1,8,1,,,,.,8 1, 1, 1, 1,8 1,9,,,.,7,9 1, 1, 1, 1,7 1,8,,.,,8 1,1 1, 1, 1, 1,7 1,8 1,8.,,7 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,7.,,7,9 1,1 1, 1, 1, 1, 1,.,,,8 1, 1,1 1, 1, 1, 1, 7.,,,7,8,9 1, 1,1 1,1 1, 1.,,,,7,8,9,9 1, 1, Um diesen Anteil schwankt der Anteilswert in der GG hinauf und hinunter vom Schätzwert der Stpr. 7 Beispiel für die Fallzahlen bei einer Stichprobe mit n =

8 Signifikanz und Fehlerwahrscheinlichkeit stehen im engen Zusammenhang mit der Stichprobengröße. Es gilt: Je größer die Stichprobe, desto kleiner der Zufallsfehler. HÜ Arbeitsgruppe D (Präsentation): Konfidenzintervall berechnen Pflegemonitoring 1 v1 Zur Zeit pflegebedürftig - zur Zeit gepflegt? Gültig Fehlend Gesamt Ja Nein Gesamt System Gültige Kumulierte Häufigkeit Prozent Prozente Prozente 71,7,7, , 9, 1, 1 99,9 1, 1,1 1 1, Wie viel % der Ö sind pflegebedürftig (nicht stationär)? v Muss jemand aus Verwandtenkreis gepflegt werden? Schwankungsbreiten (Zufall) zwischen 1,% um den Stichprobenwert (bei %/97%) bis maximal,% um den Stichprobenwert bei (%/%) 9 Gültig Fehlend Gesamt Ja Nein Gesamt 999 Gültige Kumulierte Häufigkeit Prozent Prozente Prozente 7,,7,7 89 7,8 77, 1, 1 99, 1, 7,7 1 1, Von wie viel % der Ö wird eine AngehörigeR gepflegt? HÜ Arbeitsgruppe D (Präsentation): Konfidenzintervall berechnen Pflegemonitoring 1 Statistiken b17_1 P1: Monatliche Kosten der persönlichen Betreuung (bei außerfamiliärer Betreuung) in N Mittelwert Median Gültig Fehlend ,8 1, Modus Standardabweichung Varianz Schiefe Kurtosis Spannweite Minimum Maximum Summe Perzentile 7, 11, 1819,1, -,198 9,,, 1879, 999,7 1,, Wie viel zahlen die ÖsterreicherInnen durchschnittlich für die außerfamiliäre Betreuung ihrer Angehörigen? 1