DisMod-Repetitorium Tag 1
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- Friedrich Schräder
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1 DisMod-Repetitorium Tag 1 Aussagenlogik, Mengen 19. März 2018
2 1 Organisatorisches 2 Tipps zur Klausur 3 Aussagenlogik Was gehört in die Aussagenlogik, was nicht? Notationen für viele Terme Belegungen, Erfüllbarkeit, Falsifizierbarkeit Semantische Folgerung und Äquivalenz DNF und KNF Oft nützlich: Einfache Umformungsregeln Resolution 4 Mengen Schnitt, Vereinigung, (symm.) Differenz Teilmengen Kartesisches Produkt 5 Funktionen 6 Aufgaben
3 Organisatorisches Ablauf Mo-Fr 10:00-12:00, 12:30-14:00 12:00 bis 12:30 ist Pause :) Teile des Stoffs werden im Schnelldurchlauf wiederholt. Selbstständiges bearbeiten von potenzielle Klausuraufgaben (werden jeweils anschließend Besprochen). Es wird nicht die gesamte VL wiederholt!
4 Potenzielle Klausuraufgaben Welche Aufgaben sind zu erwarten? Multiple Choice Fragen aller Art Induktionsbeweise, komplexe Beweise Übungsaufgaben Themen die in den Übungen gar nicht vorkamen Sehr lange Textaufgaben
5 Generelle Tipps zur Klausur Wie maximiere ich meine Chancen in der Klausur? Nur eine Antwort geben! Lieber falsche Antwort als keine Antwort schreiben (Ausnahme: Multiple-Choice). Antwortlänge an Aufgabe anpassen: Wenige Punkte kein Roman als Antwort. Beliebte Fehler Geben Sie den kürzesten Weg von a nach b an. Antwort: 7. Kein Weg. Beweise: Es gibt es einen Weg vom Magnus-Hörsaal zur Bockenheimer Warte. Es gibt einen Weg, weil wenn man links geht, wäre es die falsche Richtung und oben ist kein Knoten, über den man gehen könnte. Alles andere ist nicht möglich. Kein Beweis.
6 Generelle Tipps zur Klausur 2 Beliebte Fehler 2 Die WG will kochen. [...] Geben Sie eine erfüllende Belegung an, d.h. jeder soll mit dem Abendessen zufrieden sein. Antwort: Die errechnete Wahrheitstafel sagt, dass dies nicht möglich ist. Die Aufgabenstellung ist falsch. Bei Widerspruch zur Aufgabenstellung nochmal Lösungsweg prüfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung nach einem Schritt in der Markov-Kette. Lösung: (0.6, 0.3, 0.2). Keine Verteilung.
7 Was gehört in die Aussagenlogik, was nicht? Aussagenlogische Formeln Junktoren:,,,,, Atomare Formeln: V, 0, 1 Übersetzen Variablen repräsentieren atomare Aussagen. Beispiel: N Die Straße ist nass. R Es hat geregnet. Ausgehend von den Variablen lassen sich umganssprachliche Aussagen in Aussagenlogische Formeln übersetzen: Entweder es hat nicht geregnet, oder die Straße ist nass. R N
8 Notationen für viele Terme Keine Aussagenlogische Formeln Quantoren (, ) haben in den Formeln nichts zu suchen! Wie schreibe ich das alle V 1,...V n erfüllt sind? Richtige Notation Falsch: i N, i < n : V i Aussagenlogische Formeln über viele Terme (oder Terme deren Anzahl nicht festgelegt ist) lassen sich wie folgt notieren: k 1 i=1 X i ist gleichbedeutend mit X 1 X 2... X k 1 n i=1 ( V i V i ) ist gleichbedeutend mit ( V 1 V 1 ) ( V 2 V 2 )... ( V n V n )
9 Belegungen, Erfüllbarkeit, Falsifizierbarkeit Belegungen Belegungen geben den aussagenlogischen Variablen Wahrheitswerte (also 0 oder 1) zu: B : Var(ψ) {0, 1} B(V i ) = 1 [[V i ]] B = 1 Erfüllbarkeit/Falsifizierbarkeit Erfüllbarkeit von ϕ: Es existiert min. 1 Belegung B, s.d. [[ϕ]] B = 1 Falsifizierbarkeit von ϕ: Es existiert min. 1 Belegung B, s.d. [[ϕ]] B = 0
10 Semantische Folgerung und Äquivalenz Semantische Folgerungen und Äquivalenzen treten nie innerhalb der Formeln auf. Sie stehen zwischen den Formeln. ψ ϕ: Jede Belegung die ψ erfüllt, erfüllt auch ϕ. Beispiel: 0 V 1 V 2 Man spricht auch davon, dass aus ψ die Formel ϕ folgt. ψ ϕ: Jede Belegung die eine der Beiden Formeln erfüllt, erfüllt auch die andere. Es gilt also sowohl ψ ϕ als auch ϕ ψ. Beispiel: V 1 (V 1 V 2 ) V 1 V 2
11 DNF und KNF 1 Disjunktive Normalform Formel in DNF ist Disjunktion von Konjunktionstermen: Beispiele: 5 i=1 ( 3 j=1 V i,j) (V 1 V 2 ) (V 2 V 3 V 4 ) V 1 V 1 V 2 V 1 V 2 Konjunktive Normalform Formen in KNF ist Konjunktion von Disjunktionstermen: Beispiele: 5 i=1 ( 3 j=1 V i,j) (V 1 V 2 ) V 3 V 1 V 1 V 2 V 1 V 2
12 DNF und KNF 2 Kanonische Form Kanonische Form fordert, dass in jedem inneren Term der KNF/DNF jede Variable genau einmal als positives oder negatives Literal vorkommt. Beispiele: kanonische DNF: ( X Y Z) (X Y Z)... kanonische KNF: (A B C) ( A B C)...
13 DNF und KNF 3 KDNF bzw. KKNF lassen sich leicht aus Wahrheitstabellen ablesen: KDNF: 1-Zeilen (CD E) (C D E)... KKNF: 0-Zeilen invertieren ( C D E) ( C D E)...
14 Oft nützlich: Einfache Umformungsregeln De Morgansche Regeln: (ϕ ψ) ( ϕ ψ) (ϕ ψ) ( ϕ ψ) Implikation eliminieren: (ϕ = ψ) ( ϕ ψ) Ausmultiplizieren : (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ))
15 Resolution Stelle einen Disjunktionsterm l 1 l 2 l n als Menge dar: {l 1, l 2,..., l n } A B C {A, B, C} Stelle eine KNF (also viele verundete Disjunktionsterme) als Menge von Disjunktionstermen dar: (Y X ) ( X Z) {{Y, X }, { X, Z}}
16 Resolution 2 Es gilt (A B) ( B C) A C A B C A B B C (A B) ( B C) A C
17 Resolution 3 Sei X irgendeine aussagenlogische Variable und α, β beliebige andere Disjunktionsterme. Es gilt α {X }, β { X } α β Es gilt (A B) ( B C) A C. Es gilt auch }{{} {{A,B},{ B,C} {A, B}, { B, C} {A, C}
18 Resolution 4 Wenn man aus einer Menge von Disjunktionstermen die leere Menge {} herleiten kann, ist die dargestellte KNF unerfüllbar! Es gilt NICHT {A, B}, { A, B} {} Die Formel ϕ := (A B) ( A B) ist ja auch erfüllbar: A B ϕ
19 Mengen Ansammlung von unterscheidbaren Objekten, enthält jedes Element nur einmal {1, 4, 9, 16}, { Hallo, Welt,! }, {{1}, {101, 99}, 0} Leere Menge = {}, kann auch in Mengen enthalten sein: {, {1, 2}, {}, { }} M wird Mächtigkeit/Kardinalität der Menge M genant und gibt die Anzahl der Elemente in M an.
20 Schnitt, Vereinigung, (symm.) Differenz Schnitt N M: Alle Elemente, die sowohl in N als auch in M sind. {2, 3, 5, 7, 11} {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 5, 7} Vereinigung N M: Alle Elemente, die in N oder in M sind. {1, 2, 3} {2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 6} Mengendifferenz N \ M: Alle Elemente aus N, ohne die Elemente aus M. {2, 3, 5, 7, 11} \ {5, 7, 9, 13} = {2, 3, 11} symmetische Differenz N M: Alle Elemente, die entweder nur in N oder nur in M sind. {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 5, 6}
21 Teilmengen Eine Menge N ist genau dann eine Teilmenge von einer Menge M (N M), wenn alle Elemente aus N auch in M enthalten sind. {1, 2} {1, 2, 3} Man spricht von einer echten Teilmenge N M, wenn in M Elemente sind, die nicht in N sind; es gilt also N M, aber N M. Um die Mengengleichheit M = N in Beweisen zu zeigen, bietet es sich meistens an, die beiden Aussagen M N und N M zu zeigen. Achtung: Es ergibt sich so, dass die leere Menge Teilmenge von jeder Menge ist; alle Elemente aus (keine) sind in jeder Menge ebenfalls enthalten. A für alle Mengen A
22 Potenzmenge Die Potenzmenge P(M) einer Menge M ist die Menge aller möglichen Teilmengen der Menge M. M = {1, 2, 3} P(M) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
23 Kartesisches Produkt Erzeugt alle Kombinationen der beteiligten Mengen als Tupel: {1, 2, 3} {8, 9} = {(1, 8), (1, 9), (2, 8), (2, 9), (3, 8), (3, 9)} {A, B, C} { Test,?! } = { (A, Test ), (A,?! ), (B, Test ), (B,?! ), (C, Test ), (C,?! ) }
24 Häufige Fehler \ ist Mengendifferenz, nicht geteilt durch: {1, 9} \ {3, 4} / {5} = {1,9} {5} = 2 1 = 2 {1} \ 1 = error. Leere Menge ist Teilmenge von allen Mengen, aber nicht Element von allen Mengen: {1} {1} {{}}
25 Funktionen Eine Relation ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts A B, also eine beliebige Menge von Paaren mit je einem Element aus A und einem Element aus B. Eine Funktion f : A B ist eine Zuweisung von genau einem Elemente f (a) B für jedes Objekt a A, also eine besondere Relation. f (x) = x 2 A B x
26 Bild Sei f : A B eine Funktion. A bezeichnet man auch als Definitionsbereich und B als Bildbereich. Für eine Menge C A ist das Bild(C) definiert als alle Elemente, auf die die Elemente aus C abgebildet werden: Bild(C) = {b B b = f (c), c C}
27 Eigenschaften von Funktionen Sei f : A B eine Funktion. f heißt injektiv, wenn sie kein Element aus B zweimal trifft; es also keine 2 Elemente a 1, a 2 A mit f (a 1 ) = f (a 2 ) gibt. f heißt surjektiv, wenn jedes Element aus B mindestens einmal getroffen wird. Für jedes b B muss es also mindestens ein a A mit f (a) = b geben. f heißt bijektiv, wenn jedes Element aus B genau einmal getroffen wird, es also für jedes b B genau ein Element a A mit f (a) = b gibt. f ist genau dann bijektiv, wenn es injektiv und surjektiv ist. A B A B A B
28 Aufgaben - Mengen 1 Geben Sie an, welche der Aussagen richtig und welche falsch sind: 1 { } 2 3 {, 0} \ = {0, } 4 { } {{ }} { } 2 Beweisen Sie, dass für beliebige Mengen M, N und P gilt: M (N P) = (M N) (M P)
29 Aufgaben - Funktionen f 1 : {a} N mit f 1 (w) := w f.a. w {a} f 2 : {b, c} + N mit f 2 (w) := w f.a. w {b, c} + f 3 : Z N mit f 3 (z) := 1 2 ( z + z) f.a. z Z f 4 : Z N mit f 4 (z) := ( z + 1)2 + z f.a. z Z f 5 : P(Z) P(N) mit f 5 (x) := x N f.a. x P(Z) Geben Sie für jede der obigen Funktionen f i an, ob sie injektiv, surjektiv und/oder bijektiv ist. Geben Sie jeweils auch Bild(f i ) an.
30 Aufgaben - AL Geben Sie für jede der folgenden aussagenlogischen Formeln ϕ i an, ob sie allgemeingültig, unerfüllbar oder sowohl erfüllbar als auch falsifizierbar ist. Geben Sie für jede Formel, die erfüllbar und falsifizierbar ist, sowohl eine erfüllende als auch eine falsifizierende Belegung an. ϕ 1 := X ϕ 2 := (1 P) (P 0) ϕ 3 := (A B) (B A) ϕ 4 := ( A B) (A B) ϕ 5 := A (A B) (A B)
31 Aufgaben - KNF/DNF Bestimmen Sie für jede der folgenden Formeln ϕ i, ob sie in DNF und/oder in KNF vorliegt. ϕ 1 = (V 4 V 3 ) V 2 ϕ 2 = ( (V 2 V 2 ) V 5 ) ϕ 3 = ( V 0 V 0 ) ϕ 4 = ( V 5 V 6 ) ( V 6 V 5 )
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