3.2 Funktionsuntersuchungen mittels Differentialrechnung

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1 3. Funktionsuntersuchungen mittels Differentialrechnung Funktionsuntersuchungen mittels Differentialrechnung In diesem Abschnitt betrachten wir Funktionen f: D, welche je nach Bedarf zumindest ein- oder zweimal differenzierbar sein mögen, und untersuchen den Verlauf des zugehörigen Funktionsgraphen. Zu einer Kurvendiskussion zählen u.a. die Feststellung des Definitionsbereichs D, ggf. Periodizität oder Symmetrie, Bestimmung von Grenzwerten, Nullstellen, Extrema, Monotonie, Wendepunkten und Konvexität. (i Monotonie Das Vorzeichen von f gibt das Monotonieverhalten von f an: Die Funktion f ist nämlich auf einem Teilintervall I D streng monoton wachsend, wenn für alle x I gilt: f (x >, streng monoton fallend, wenn für alle x I gilt: f (x <, monoton wachsend, wenn für alle x I gilt: f (x, monoton fallend, wenn für alle x I gilt: f (x. Beweis: Um den Nachweis für den Fall streng monoton wachsend zu erbringen, wählen wir x 1, x I mit x 1 < x und erhalten mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung f(x f(x 1 = f (ξ(x x 1 > f(x > f(x 1, da laut Voraussetzung f (ξ >. Somit ist f streng monoton wachsend, wie behauptet. Beispiel: Für die Funktion f(x = x 6x ist f (x = x 6 = (x 3, folglich ist f streng monoton fallend für x < 3 und streng monoton wachsend für x > 3. (ii Extremwerte rel.max. = abs.max. y = f(x rel.max. rel. Min. abs.min. a x x 1 x b Wir unterscheiden relative und absolute Extremwerte: Eine Funktion f: D besitzt an der Stelle x D ein relatives Maximum, wenn f(x f(x in einer Umgebung von x, d.h. für alle x mit < δ (für ein δ > gilt. Ist dagegen f(x f(x für alle x D, so besitzt f an der Stelle x ein absolutes Maximum. Analog sind relative und absolute Minima erklärt.

2 3. Funktionsuntersuchungen mittels Differentialrechnung 47 Relative Extrema können mit Hilfe der Differentialrechnung wie folgt bestimmt werden: Notwendige Bedingung: Besitzt f ein relatives Extremum in x, so ist f (x =. Hinreichende Bedingung: Gilt f (x = und zugleich f (x < (bzw. f (x >, so hat f ein relatives Maximum (bzw. relatives Minimum an der Stelle x. Beweis: Besitzt f etwa ein relatives Maximum in x, gilt also f(x f(x in einer Umgebung von x, so folgt f (x f (x f (x f (x für x < x f (x = lim. x x Genauso gilt aber auch f (x f (x für x > x f (x, also muss f (x = gelten. Gilt andererseits f (x = und f (x <, erhalten wir mit Hilfe der Taylorschen Formel f (x = f (x f ( ξ! + f (x ( + ( = f (x + ( f ( ξ! Da f (ξ <, falls ξ nahe genug bei x liegt, folgt daraus f(x f(x in einer Umgebung von x, also liegt ein relatives Maximum von f in x vor. Der Nachweis für den Fall eines relativen Minimums wird analog geführt. Beispiel: f(x = x e x : Wir berechnen f (x = (x + x e x und f (x = ( + 4x + x e x. Aus f (x = ergeben sich die möglichen relativen Extremstellen x 1 = und x =. Wegen f ( = > liegt bei x 1 = ein relatives Minimum, wegen f ( = e < liegt bei x = ein relatives Maximum von f vor. Das relative Minimum ist zugleich absolutes Minimum, denn f( = und f(x > für x. Ein absolutes Maximum existiert dagegen auf nicht, denn lim f (x =. Bemerkungen: Die Bedingung f (x = ist notwendig, aber nicht hinreichend für ein relatives Extremum an der Stelle x. So gilt z.b. für die Funktion f(x = x 3, dass f ( =, obwohl bei x = kein relatives Extremum vorliegt. Ebenso ist die Bedingung f (x =, f (x < hinreichend, aber nicht notwendig für ein relatives Maximum an der Stelle x, wie etwa das Beispiel f(x = 1 x 4 mit x = zeigt. Die oben angegebenen Bedingungen sind klarerweise nur zur Bestimmung relativer Extrema von differenzierbaren Funktionen geeignet, wie das Beispiel f(x = x verdeutlicht. Absolute Extrema einer Funktion f können relative Extrema sein, oder aber sie liegen am Rand des Definitionsbereichs von f. So findet man die absoluten Extremwerte einer Funktion f auf einem Intervall I = [a,b] unter den relativen Extremwerten im Inneren des Intervalls oder unter den Funktionswerten in den Randpunkten x = a bzw. x = b..

3 3. Funktionsuntersuchungen mittels Differentialrechnung 48 Beispiel: Wir betrachten einen Eisenkern in einer zylindrischen Spule vom Radius r. Der Eisenkern habe einen kreuzförmigen Querschnitt Q mit den Abmessungen a und b (siehe nachstehende Abbildung, welche derart zu bestimmen sind, dass Q maximal wird. Für den Querschnitt Q des Eisenkerns gilt Q = ab b bzw. mit a = r cosϕ, b = r sinϕ Q(ϕ = 8r sinϕ cosϕ 4r sin ϕ = 4r (sinϕ sin ϕ = max!, wobei ϕ π/4. Differenzieren und Nullsetzen der ersten Ableitung führt zu dq = 4r ( cosϕ sinϕ cosϕ = 4r ( cosϕ sinϕ =, dϕ woraus tanϕ = bzw. ϕ = (1/arctan =,55 (d.s. ca. 3 folgt. Wegen d Q d ϕ = 8r ( sinϕ cosϕ < für ϕ π/4 besitzt Q in ϕ tatsächlich ein relatives Maximum mit Querschnittswert Q(ϕ =,47r. Die Randwerte Q( = und Q(π/4 = r sind dagegen beide kleiner als Q(ϕ, sodass an der Stelle ϕ das absolute Querschnittsmaximum liegt. Die Abmessungen des optimalen Eisenkerns betragen demnach a = r cosϕ = 1,7r und b = r sinϕ = 1,5r. r ϕ b a Beispiel: Ein Monopolist bietet auf einem Markt ein Produkt an, dessen Nachfrage durch die Preis-Absatz-Funktion p(x = 89/(x + 1 (p Preis, x nachgefragte Menge gegeben sei, während die Herstellungskosten durch die Kostenfunktion K(x = 1x bestimmt seien. Es ist der Gewinn des Monopolisten zu maximieren. Wir bestimmen zunächst den Umsatz, d.i. das Produkt von abgesetzter Menge und Preis, gemäß U(x = x p(x = 89x/(x + 1. Werden davon die Kosten abgezogen, erhalten wir daraus den Gewinn und unsere Optimierungsaufgabe lautet G(x = U(x K(x = 89x/(x + 1 1x = max! Wir berechnen 89(x x 89 1 (x = 1 = 1 = (x + 1 (x + 1 G und erhalten die quadratische Gleichung (x + 1 = 89 mit den Lösungen x 1 = 5 und x = 9. Wegen x < kommt diese Lösung jedoch nicht in Betracht. Wir berechnen noch

4 3. Funktionsuntersuchungen mittels Differentialrechnung G (x = 3 (x + 1 < und erkennen daraus, dass in x 1 = 5 ein relatives Gewinnmaximum vorliegt. Ein Vergleich des Gewinns G(5 = 5 mit den Randwerten G( = und lim G(x = zeigt, dass an der Stelle x 1 = 5 das relative und zugleich absolute Gewinnmaximum des Monopolisten liegt. (iii Wendepunkte und Konvexität Das Vorzeichen von f ermöglicht die Bestimmung des Krümmungsverhaltens bzw. der Konvexität von f: Die Funktion f ist nämlich auf einem Teilintervall I D konvex, wenn f monoton wachsend bzw. f (x, konkav, wenn f monoton fallend bzw. f (x für alle x I gilt. Ferner besitzt f an der Stelle x einen Wendepunkt, wenn f (x = und f (x. Wendepunkt mit Wendetangente y = f(x Kurve unterhalb der Tangente: Rechtskrümmung, konkav Kurve oberhalb der Tangente: Linkskrümmung, konvex konkav konvex Beispiel (Kurvendiskussion: Wir wählen f(x = x e x (s.o. und berechnen f (x = (x + x e x, f (x = ( + 4x + x e x und f (x = (6 + 6x + x e x. Nullstellen: Die einzige Nullstelle liegt bei (,, denn f(x = x 1 =. Grenzwerte: Es ist, wie man überlegt, lim f (x = und lim f (x =. x Extrema: Aus f (x = ergeben sich die möglichen relativen Extremstellen x 1 = und x =. Tatsächlich liegt bei (, ein relatives und zugleich absolutes Minimum, bei (,4e ein relatives Maximum, ein absolutes Maximum existiert nicht (s.o.. Monotonie: Aus f (x = x( + xe x folgt f (x > und damit f streng monoton wachsend für x < bzw. für x >, während f (x < und damit f streng monoton fallend für < x < gilt. Wendepunkte: Wir setzen f (x =, d.h. x + 4x + = und erhalten die möglichen Wendestellen x 3,4 = ±. Wegen f (x 3,4 = ± e besitzt f wirklich zwei Wende- ± punkte an diesen beiden Stellen. Konvexität: Das Vorzeichen von f (x = ( 3 ( 4 e x gibt Aufschluss über die Konvexität von f. Für x x 4 ist f (x und damit f konvex, für x 4 x x 3 ist f (x und f konkav, und im Fall x x 3 ist wieder f (x und f konvex.

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