Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium (Lehramt GM/So)

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1 Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium (Lehramt GM/So) A Blunck, H Kiechle, S Koch Hinweis: Die mit einem Stern versehenen Aufgaben sind vielleicht etwas schwieriger oder umfangreicher, manchmal hilft eine besondere Idee weiter Aus dem ersten Semester: 1) Gesucht ist für endliche Mengen A und B ein Zusammenhang zwischen A, B, A B und A B 2) Wieviele Elemente besitzt die Potenzmenge der Potenzmenge einer dreielementigen Menge? 3) Zeichne ein Venndiagramm (Grundmenge sei N) von M 1 := n N n 10}, M 2 := n N n > 100}, M 3 := n N n Primzahl } und gib aus jedem möglichen Bereich ein Element an 4) Sei A = a, b, c} Welche der Eigenschaften (r), (s), (t), (as) besitzen die Relationen R 1 = (a, a), (c, c)}, R 2 = (a, a), (b, b), (c, c), (a, b)} und R 3 = (a, b), (b, c), (a, c), (c, a)}? 5 ) Welche der Eigenschaften (r), (s), (t), (as) besitzt die Relation R := (x, y) R 2 x+y = x y}? 6) Es sei A = a, b, c} Ergänze die Relation R = (a, a), (c, b), (a, c)} A A mit möglichst wenigen zusätzlichen Elementen zu einer Ordnungsrelation 7) Gibt es eine Partition zur Relation (a, a), (a, b), (b, b), (c, c), (d, d)}? 8) Welche Äquivalenzrelation gehört zur Partition mit den Mengen a, c}, b}, d, e}? 9 ) Welche Eigenschaften hat die Relation a b : a 2 + b = a(b + 1) auf N? 10) Auf Z Z ist mit (a, b) (c, d) : a + d = b + c eine Relation gegeben a ) Beweise, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt! b) Gesucht ist die Menge aller Paare (x, y) Z Z mit (x, y) (4, 1) c) Welche elementare Rechenoperation steckt hinter dieser Äquivalenzrelation? 11) Wahr oder falsch? a) Es gibt A B viele Abbildungen von A nach B b) Es gibt für endliche Mengen A und B immer genau so viele Abbildungen von A nach B wie von B nach A c) Für Bijektionen f und g gilt immer f g = g f 12) a) Wieviele Elemente haben A und B, wenn es genau 20 Abbildungen f : A B gibt? b ) Wieviele Elemente hat C, wenn es genau 30 surjektive Abbildungen f : C x, y} gibt? 13) Wahr oder falsch? a) Es gibt eine injektive Abbildung von Q nach N b) Es gibt eine bijektive Abbildung von Z auf die Menge der Primzahlen c) Es gibt eine surjektive Abbildung von Q nach R

2 Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium aus dem ersten Semester 14) a) Gesucht ist eine injektive Funktion von R nach R, die nicht surjektiv ist b) Gesucht ist eine surjektive Funktion von R nach R, die nicht injektiv ist 15) Untersuche f : R R, definiert durch f(x) := 25 x 2, auf Injektivität und Surjektivität 16) Sei f : A B und b B Worin unterscheiden sich f 1, f 1 (b}) und f 1 (b)? 17) Seien f : R 2 R gegeben durch f((x, y)) := x y und g : R 2 R 2 gegeben durch g((x, y)) := (x + y, x y) a) Gesucht sind f 1 (1}) und g 1 ((1, 1)}) b) Untersuche f und g auf Injektivität / Surjektivität c) Gib wenn möglich f f oder g g an 18) 2x für x 0 Für welche f i : R R mit f 1 (x) := x, f 2 (x) := 1, f 3 := 1 2x für x > 0 Umkehrfunktion und wie sieht sie gegebenenfalls aus? existiert die 19) Zeige für f : A B mit A = a, b, c} und B = x, y}, dass mit geeigneten Teilmengen A 1, A 2 A in f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ) nicht das Gleichheitszeichen gilt 20) Gesucht sind 6 k, k=2 6 l, k=2 l k k=2 n 2 n 21) Beweise durch vollständige Induktion = i=1 i 3 und 2 k = 2 n+1 4 n k=2 n 22) Beweise mit Hilfe der geometrischen Summenformel (ohne Induktion) 2 3 i = 3(3 n 1) 23) Beweise durch vollständige Induktion 3 (10 n 1) 24 ) Für welche natürlichen Zahlen gilt 3 n > n 2 > 4n + 1? (mit Beweis) 25) Finde durch Zeichnung alle x R für 2x 3 < x 2 26) Finde durch Rechnung und Zeichnung alle x R mit x < 1 x 27) Worin unterscheiden sich die Zahlenmengen Q, R, C? 28 ) Für welche a, b R gilt a 2 < ab? } 29) Sei L := 2 x 2 +3 x N und M := 2 } x 2 3 x N Gesucht sind inf L, min L, sup L, max L inf M, min M, sup M, max M (ohne Beweis) 30) Wahr oder falsch? 6 12, 10 0, 0 10, 10 10, ) Bestimme kgv(297,108) und ggt(105,224) mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus 32) Schreibe 333 im 2, 5, 12 System 33) (223) 4 = (??) 11 34) Rechne möglichst ohne Umwandlung in das Dezimalsystem: (102) 4 (23) 4 i=1

3 Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium aus dem ersten Semester 35) In einer Klausur sind 12 Fragen mit wahr oder falsch zu beantworten Ein Student entschließt sich, bei genau der Hälfte aller Fragen wahr anzukreuzen Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es für diese Vorgehensweise? 36) Wieviele verschiedene Buchstabenkombinationen (mit oder ohne Sinn) kann man durch Vertauschung der Buchstaben ANANAS bilden? 37) Wieviele 4 adische Zahlen kann man mit maximal drei Ziffern darstellen? 38) Aus einer Schulklasse mit 24 Schüler(innen) sollen drei als Konfliktschlichter ausgebildet werden Wieviele Auswahlmöglichkeiten gibt es? 39 ) Wieviele verschiedene Wahlausgänge sind möglich, wenn 50 Personen zwischen vier Parteien wählen können (mit Stimmenthaltung, möglicherweise ungültige Stimmen) 40 ) Wieviele Möglichkeiten gibt es a) fünf Studierende auf drei Arbeitsgruppen aufzuteilen, wenn jede Arbeitsgruppe aus mindestens einer Person bestehen muss? b) fünf nicht unterscheidbare Bonbons auf drei Kinder aufzuteilen, wenn jedes Kind mindestens ein Bonbon erhalten soll? c) drei Exemplare eines Lehrbuchs unter fünf Studierende aufzuteilen, wenn kein Studierender mehr als ein Buch benötigt? d) die drei Medaillen (Gold, Silber, Bronze) eines Wettbewerbs unter fünf Nationen aufzuteilen, wenn jede Nation mit drei Sportlern vertreten ist? e) die drei Medaillen (Gold, Silber, Bronze) eines Wettbewerbs unter fünf Nationen aufzuteilen, wenn jede Nation mit zwei Sportlern vertreten ist? 41) Bei dem Glücksspiel 2 aus 4 sind zwei Zahlen zu raten, die wie beim Lotto aus 1, 2, 3, 4} gezogen werden Bei einem Einsatz von einem Euro pro Spiel werden bei zwei richtig geratenen Zahlen vier Euro ausgezahlt Wenn keine Zahl richtig ist, wird der Einsatz zurückgezahlt Lohnt sich das Spiel für den Anbieter? 42) Sei z = 2 5i, gesucht ist z und der Imaginärteil von z 1 43 ) Beweise oder widerlege: C ist kein angeordneter Körper 44) Gesucht sind die Polarkoordinaten von i und ( i) 3 45) Untersuche f : C C, definiert durch f(z) := 25 z 2, auf Injektivität und Surjektivität 46) Gesucht sind alle x, y C mit x + y = i und x y = 1

4 Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium (Lehramt GM/So) A Blunck, H Kiechle, S Koch Aus dem zweiten Semester: 1) Beweise oder widerlege: 0 ist neutrales Element im Gruppoid (Z, ) 2) Welche der folgenden Mengen bilden keine Gruppe bezüglich der Addition: 0}, 1, 1}, Menge der Primzahlen, N, Z, a + b 2 a, b Z}, C? 3) Gesucht sind die Verknüpfungstafeln von a) (Z 5, + 5 ), b) (Z 5, 5), c) (1, 1, i, i}, ) 4) Welche der folgenden Verknüpfungstafeln kann man zu Gruppentafeln ergänzen (mit Begründung)?: a) a b c a b b c b) a b c d a b b c c d c) a b c d a b b c c d d 5) Überprüfe die Gültigkeit des Assoziativgesetzes in der Verknüpfungstafel a b c a a b c b c a b c b c a 6) Wahr oder falsch? a) Wenn in einer Verknüpfungstafel in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element genau einmal vorkommt, handelt es sich um eine Gruppe b) In einer endlichen Gruppe kommt in der zugehörigen Verknüpfungstafel in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element genau einmal vor 7) Wieviele Elemente sind mindestens notwendig, um die Gruppe V 4 zu erzeugen? 8 ) Wahr oder falsch? Eine Gruppe ungerader Ordnung kann nicht eine gerade Anzahl an selbstinversen Elementen besitzen 9) Wahr oder falsch? Gruppen unendlicher Ordnung sind stets kommutativ 10) Bei welchen der folgenden Strukturen handelt es sich nicht um abelsche Gruppen? a) (Z 6, 6) b) (Z 6, 6) c) (Z 6, + 6 ) d) (Z 7, 7) 11) Beweise oder widerlege: (Q, ) mit x y := 1 3xy ist eine abelsche Gruppe 12 ) Beweise oder widerlege: (R\1}, ) mit x y := x + y xy ist eine abelsche Gruppe 13) In der Gruppe (Q, ) mit p q := p + q 1 2 sind gesucht das neutrale Element und das inverse Element zu 0 14) R + sei die Menge der positiven reellen Zahlen Wahr oder falsch? (R +, ) ist eine Untergruppe von (R, ) 15) Wahr oder falsch? a) (3Z, +) ist Untergruppe von (Z, +) b) (Z 3, + 3 ) ist Untergruppe von (Z, +) c) (Z, +) hat unendlich viele Untergruppen

5 Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium aus dem zweiten Semester 16) Gesucht sind alle Untergruppen von a) (V 4, ), b) (Z 4, + 4 ) und c ) (Z 60, + 60 ) 17 ) Beweise oder widerlege: (a + b 3 a, b Q, a 2 + b 2 0}, ) ist eine abelsche Gruppe 18) Gesucht sind alle Isomorphismen zwischen den Gruppen (Z 4, + 4 ) und (Z 5, 5) 19) Wahr oder falsch? Die Gruppen (Z 6, + 6 ) und (Z 7, 7) sind isomorph 20) Beweise oder widerlege: Die Isomorphie der Gruppen (Z, +) und (Z, ) mit a b := a + b + 1 kann durch f(x) := x 1 bewiesen werden 21) Beweise oder widerlege: a) Die Abbildung f : x 2x ist ein Automorphismus der Gruppe (R, +) b) Die Abbildung f : x x 2 ist ein Automorphismus der Gruppe (R, ) c) Die Abbildung f : x 2x ist ein Automorphismus der Gruppe (R, ) 22 ) Zeige die Isomorphie von (R, +) und (R +, ) (Hinweis: Verwende die ln Funktion) 23 ) Beweise: In zyklischen Gruppen ist die Abbildung f, die jedem Element das inverse Element zuordnet, ein Automorphismus 24) Gesucht sind alle strukturerhaltende Abbildungen von (Z 3, + 3 ) auf sich 25) Warum sind keine zwei der Gruppen D 100, S 100, (Z, +), (Q, ), (C, ) isomorph? 26) Auf der Menge F := f m,b : R R, x mx + b ; m, b R} ist wie üblich eine Addition definiert Dabei gilt für alle x R (f m,b + f m,b )(x) = f m,b(x) + f m,b (x) a) Drücken Sie f 3, 1 + f 1,2 in der Form f m,b aus b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f 3, 1 + f 1,2 c) Zeigen Sie, dass (F, +) eine Gruppe ist Bestimmen Sie insbesondere das neutrale Element 0 d) Untersuchen Sie ob (F \ 0}, ) eine Gruppe ist Ist sie ggf kommutativ? e) Untersuchen Sie ob (F \ f 0,b ; b R}, ) eine Gruppe ist Ist sie ggf kommutativ? f) Weitere mögliche Gruppen (jeweils mit ): f 1,b : R R ; b R}, f m,b : R R ; m = ±1, b R}, f m,0 : R R ; m R \ 0}} g) Welche der obigen Gruppen sind kommutativ, welche nicht? h) Welche sind isomorph zu bekannten Gruppen, wie (R, +), (R \ 0}, ) usw?

6 Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium (Lehramt GM/So) A Blunck, H Kiechle, S Koch Aus dem dritten Semester: 1) Gesucht ist ein Beispiel für eine Folge a) mit genau drei Häufungspunkten b) mit genau einem Häufungspunkt, nicht konvergent, der Häufungspunkt sei kein Folgenglied c) ohne Häufungspunkt, weder eigentlich noch uneigentlich konvergent 2) Wahr oder falsch? a) Es gibt konvergente Folgen, die keinen Häufungspunkt haben b) Es gibt konvergente Folgen, die zwei Häufungspunkte haben c) Die Konvergenz der Folge 2 1 n kann mit ε = 100 bewiesen werden d ) Die Divergenz der Folge ( 1) n kann mit ε = 1 2 bewiesen werden 3) Gesucht sind (ohne Beweis) alle Häufungspunkte der Folge (a n ), definiert durch 1 a n = n für n ungerade 2 für n gerade 4) a) Beweise die Konvergenz der Folge 2n+1 3n mit Hilfe der Definition ( ε ist gesucht n 0 ) b) Gesucht ist das kleinste n 0, das bei 2n+1 1 3n im Sinn der Konvergenzdefinition zu ε = 60 gehört c) Untersuche die Folge 2n+1 3n auf Monotonie 5) Gesucht sind alle Häufungspunkte der Cantorfolge (kurze Begründung) 6) Wieviele Häufungspunkte kann eine beschränkte Folge höchstens haben (kurze Begründung)? 7 ) Zeichne ein Mengendiagramm (Grundmenge sei die Menge aller reeller Folgen) der Mengen M 1 : Menge aller Folgen, die beschränkt sind M 2 : Menge aller monoton fallender Folgen M 3 : Menge aller monoton wachsender Folgen und gib für jede der möglichen Bereiche eine Beispielsfolge an 8 ) Wie 7) für M 1 : Menge aller Folgen, die beschränkt sind M 2 : Menge aller Folgen mit mehr als einem Häufungspunkt M 3 : Menge aller Folgen, die monoton sind M 4 : Menge aller Nullfolgen In welchen dieser Gebiete kann eine geometrische Reihe liegen (mit Begründung)? 9) Wahr oder falsch? Am Beispiel der Folge ( n) n kann man erkennen, dass der Satz 24 (monoton + beschränkt konvergent) nicht gilt, falls nur rationale Zahlen bekannt sind 10) Sei a n a und b n b Was weiß man über die Konvergenz von a n +b n c n? (Fallunterscheidung)

7 Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium aus dem dritten Semester 11) Untersuche auf Konvergenz: n+1 n 2 n 2 +1 n, n 2 +1 n 2 n 2 +1 n, n+1 n 2 n 2 +1 n 2, 12) Wahr oder falsch? 2n 5 n 2 5, (2 + 1 n )n n+1+( n) 2 n ) Von einer konvergenten Folge mit positiven Gliedern sei das Bildungsgesetz a n+1 = 1 a n + 1 bekannt Wie lautet der Grenzwert? n 14) Bestimme jeweils den Grenzwert: 2 +n+1 n , n 2 n+1 n2 n 1, 2 n +5 3 n 7 15) Bestimme jeweils den Grenzwert: n n + 2, n 2n, 1 n cos(2n ), 16) Beweise oder widerlege: Es gibt Folgen a n 0 und b n mit a n b n 2 17) Gesucht ist ein Beispiel für eine Folge a) mit unendlich vielen Hoch und Tiefpunkten b) mit nur endlich vielen Hoch und Tiefpunkten ( ) n 18) Bekanntlich kann der Satz von Bolzano Weierstraß mit Hilfe von Intervallhalbierung bewiesen werden Wahr oder falsch? Die Folge der unteren Intervallenden ist immer eine Teilfolge der zu untersuchenden Folge 19) Wahr oder falsch? a) Mit dem Cauchykriterium kann man den Grenzwert einer Folge bestimmen b) Mit dem Cauchykriterium kann man erkennen, ob eine Folge konvergent ist 20) Wahr oder falsch? k=1 a k konvergent k=2 a k konvergent 21) Welche der folgenden Reihen ist konvergent? k=1 k 1 2k+1, ( 1) k k=1 k 2? 22) Überprüfe auf Konvergenz: ±, ) Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und gib gegebenenfalls den Grenzwert an: k=0 2, 3 k k=0 3, 2 k k=0 2k+1, 3 k k=0 3k 2 k+2 24) Im Quotientenkriterium (wie lautet es?) kommt ein Wert q vor Zeige am Beispiel der harmonischen Reihe, warum für dieses q verlangt wird q < 1 25 ) Für welche x R ist a) k=1 xk k 2 b) k=0 k2 3 k x k konvergent? 26) Für welche x R ist k=0 k2 3 k (x 1) k konvergent? (Beachte 25) b)) 27) Wahr oder falsch? a) Wenn eine Reihe a i x i für x = 1 konvergent ist, dann auch für x = 1 b) Wenn eine Reihe a i x i für x = 1 konvergent ist, dann auch für x = 1 2 c) Es gibt Potenzreihen, die für keine reelle Zahl konvergent sind d) Es gibt Potenzreihen, die für keine reelle Zahl divergent sind

8 Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium aus dem dritten Semester 28) Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen [ 3, 3] R a) f : x 1 für x 1 x 1 für x > 1 [ π, π] R b) g : sin x für x Q x cos x sonst 29) Wahr oder falsch? Die Funktion f aus 28 a) hat an der Stelle x 0 = 1 keinen Grenzwert 30) An welchen Stellen hat die Funktion g aus 28 b) einen Grenzwert? (Ohne Beweis) 31) Sei f : R R definiert durch f(x) = 2x 3 Zeige die Stetigkeit für ein beliebiges x 0 a) mit Hilfe der Definition, die den Folgenbegriff benötigt b ) mit Hilfe von ε und δ 32) Beweise die Unstetigkeit der Funktion f aus 28 a) an der Stelle x 0 = 1 a) mit Hilfe der Definition, die den Folgenbegriff benötigt b ) mit Hilfe von ε und δ 2x für x 1 33) Sei f : R R definiert durch f(x) := Für welches b R ist f überall x + b für x > 1 stetig (mit Beweis)? 0 für x = 0 34) Wahr oder falsch? Die Unstetigkeit der Funktion f : R R mit f(x) := sin 1 x für x 0 an der Stelle x 0 = 0 kann mit der Folge ( ) 2 nπ nachgewiesen werden 35) Gesucht ist ein Beispiel für eine reelle Funktion, die an den Stellen 1 und 1 a) unstetig und sonst überall stetig ist b) stetig und sonst überall unstetig ist 36) Wahr oder falsch? Sei f : R R in x 0 stetig und f(x 0 ) 0 Dann gibt es eine Umgebung U(x 0 ) mit f(x) 0 x U 37) Warum muss beim Nullstellensatz der Definitionsbereich ein Intervall sein? 38) Wie lautet der Fixpunktsatz? Skizziere den Beweis (Typische Frage bei mündlichen Prüfungen) 39) Bekanntlich sind sin und cos stetige Funktionen Beweise durch Anwendung des Nullstellensatzes: x 0 [0, π] : sin x 0 = cos x 0 40) Wahr oder falsch? Eine bijektive Funktion f : [a, b] [a, b] nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an 41) Die Funktion x 1 x nimmt bekanntlich nicht jeden Wert zwischen 1 und 1 an Warum ist diese Funktion trotzdem nicht als Gegenbeispiel für den Zwischenwertsatz geeignet? 42) Warum kann der Graph einer reellen Funktion R R kein Kreis sein? 43) Untersuche auf Differenzierbarkeit: a) f : R R, f(x) := 3x an der Stelle x 0 = 1 x für x 0 b) f : R R, f(x) := x 2 für x > 0 an den Stellen x 0 = 0 und x 1 = 1 44 ) Sei f : R R definiert durch f(x) := differenzierbar (mit Beweis)? ax 2 für x < 1 x + b für x 1 Für welches a, b R ist f überall

9 Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium aus dem dritten Semester 45) Wie 44) für f(x) := x für x < 0 ax + b für x 0 46) Gesucht ist eine auf R überall stetige Funktion, die an genau zwei Stellen nicht differenzierbar ist (mit Zeichnung, ohne Beweis) 47) Gesucht sind Beispiele für überall differenzierbare Funktionen f : R R mit a) f (x) = 2, b) f (x) = 1 2 x, c ) f (x) = x 48) Man differenziere folgende Funktionen (Angaben zum Definitionsbereich sind nicht verlangt) a) e 2x b) sin x cos x c) sin(x 2 ) d) sin x e ) 2 x f ) x 2x 49) Bekanntlich ist y = y für y = e x g) ln x x h) 3 x x i) xe x j) sin 2 (3x) + cos 2 (3x) a) Gesucht ist eine Funktion y mit der Eigenschaft y = 2y b ) Gesucht ist eine Funktion y mit der Eigenschaft y = xy c ) Gibt es eine Funktion y mit der Eigenschaft y = 2y und außerdem y(0) = 3? 50) Gesucht sind a) lim x 1 x 2 1, b) lim x 3 +x 2 2 x 0 2x sin x, c ) lim x 0 ( 1 sin x 1 x) 51) Gesucht sind a ) lim x 0 x ln x, b) lim x x ln x, c ) lim x x ex 52) Gesucht sind alle lokalen Extrema von f : R R für a) f(x) := x 3 + 3x 1, b) f(x) := x 3 3x + 1, c) f(x) := x 7 + x 3, d) f(x) := x 2 e x 53) Warum hat f : R R, f(x) := x n, im Fall n = 5 eine Wendestelle, nicht aber im Fall n = 6? 54) Für die Funktionen von 52) sind alle Wendestellen gesucht (mit Skizze bei d)) 55) Beweise oder widerlege: Von allen Rechtecken mit gleichem Umfang hat das Quadrat den größten Flächeninhalt 56) Für die Funktion f : [0, 2] R, f(x) := x 2 2x + 5, soll ein x 0 mit den Eigenschaften des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung bestimmt werden 57) Sei f : R R gegeben durch 0 falls z 2Z mit z x < z + 1 f(x) = 1 sonst a) Skizzieren Sie die Funktion im Intervall ] 3, 3[ Hinweis: Maßstab geeignet wählen! b) Geben Sie ein möglichst großes Intervall an, auf dem die Funktion monoton fallend ist Ist sie dort auch streng monoton? (Mit Beweis!) c) Beweisen Sie: f ist stetig an der Stelle x 0 = 1 2 d) Beweisen Sie: f ist nicht stetig an der Stelle x 0 = 1 e) Geben Sie alle Unstetigkeitsstellen der Funktion f an

10 Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium aus dem dritten Semester 58) Führen Sie für die folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch Skizzieren Sie den Graphen Sind die Funktionen überall stetig / differenzierbar? a) f : [ 1, 4 ] R; x x 3 6x 2 + 9x x 3 x falls x 0 b) f : [ 2, 5 [ R; x e x 1 falls x > 0 c) f : [ 2, 5 [ R; x d) f : ] 0, 1 ] R; x x 3 3x falls x 0 e x 1 falls x > 0 sin(πx) falls x < 1 2 x 2 x falls x 1 2

11 Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium (Lehramt GM/So) A Blunck, H Kiechle, S Koch Aus dem vierten Semester: 1) Welche Axiome einer affinen Ebene gelten nicht a) auf der Zahlengeraden R b) im Anschauungsraum R 3 c) in der Gitterpunktebene Z Z d ) in der rationalen Zahlenebene Q Q? 2) Beweise oder widerlege: In jeder affinen Ebene liegt jeder Punkt auf mindestens drei verschiedenen Geraden 3) Gesucht sind alle Punkte, die im Sphärenmodell auf der Geraden durch (1, 0, 0) und ( 1, 0, 0) liegen 4) Wahr oder falsch im Sphärenmodell? a) Die Punkte ( 1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) liegen kollinear b) Die Geraden g durch (1, 0, 0), ( 1, 0, 0) und h durch (0, 1, 0) (0, 1, 0) sind parallel 5) In der Moultonebene seien A := ( 1, 0), B := (0, 1) E := (1, 1) Gesucht ist a) der Punkt C = (1,?) auf der Geraden AB b) der Punkt D = ( 1,?) auf der Geraden durch E parallel zu AB 6) Bestimme die Gerade durch A := ( 1, 1) und B := (1, 1) a) in der Anschauungsebene b) in der Moultonebene 7) Welche der folgenden Abbildungen der Anschauungsebene sind Kollineationen? a) (x, y) (x + 1, y + 1) b) (x, y) (x + 1, y 3) c) (x, y) (x, 0) d) (x, y) (y, x) e) (x, y) (x, y 3 ) f) (x, y) (2 x, 2 y) 8) Beweise oder widerlege in der Anschauungsebene: Seien g, h, k paarweise verschiedene parallele Geraden mit G i g, H i h, K i k (alle Punkte seien ebenfalls verschieden) Dann folgt aus G 1 H 1 G 2 H 2 G 1 K 1 G 2 K 2 G 3 K 1 G 4 K 2 die Behauptung G 3 H 1 G 4 H 2 9) (Wie) kann man die Sätze von Desargues in der Anschauungsebene auf n Trägergeraden erweitern (mit Beweisidee)? 10) a) Zeige mit einer Zeichnung die Ungültigkeit des Scherensatzes in der Moultonebene b) Mit welchen Trägergeraden ist der Scherensatz in der Moultonebene immer gültig? 11) Begründe mit Hilfe einer Zeichnung, dass es in der Moultonebene keine Translation geben kann, die ( 1, 0) auf (1, 0) abbildet (Hinweis: kleiner Satz von Desargues)

12 Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium aus dem vierten Semester Ab jetzt beziehen sich alle Fragen auf die Anschauungsebene mit der üblichen Abstandsmessung! 12) Welche der Abbildungen von Frage 7) sind Dilatationen? 13) Kann man durch intensives Hinsehen auf die Abbildungsvorschrift erkennen, dass in der Anschauungsebene die Abbildung (x, y) (2 x, y) keine Dilatation sein kann? 14) Im Gegensatz zur Abbildung (x, y) (2 x, y) handelt es sich bei (x, y) (2 x, y) um eine Dilatation der Anschauungsebene Ist es eine Translation oder eine Streckung? 15) Gesucht sind alle Fixpunkte und Fixgeraden der Abbildung f : (x, y) (10 x, 2y) 16) Wahr oder falsch? In der Anschauungsebene gibt es Kollineationen a) mit mindestens einer Fixgeraden, aber ohne Fixpunkt b) ohne Fixgerade, aber mit mindestens einem Fixpunkt 17) Gesucht ist in der Anschauungsebene eine Dilatation δ : (x, y)?? mit Fixpunkt (2, 0) und δ((0, 2)) = (1, 1) 18) Wahr oder falsch? In der Anschauungsebene gibt es eine Dilatation, die (0, 0) auf (1, 0) und a) (2, 2) auf (1, 3) abbildet b) (2, 2) auf (2, 1) abbildet c) (2, 2) auf (2, 2) abbildet d) (2, 0) auf (2, 0) abbildet 19) Wahr oder falsch? In der Anschauungsebene gibt es genau es eine Dilatation α mit α((0, 0)) = (2, 2) und α((1, 0)) = (1, 0) 20) Zeige mit Hilfe der Streckungen (x, y) (2 x, y) und (x, y) ( x, y), dass die Menge der Streckungen bzgl der Verkettung in der Anschauungsebene keine Gruppe bildet 21) Gesucht sind in der Anschauungsebene das Bild von (0, 0) unter a) der Translation, die (3, 7) auf ( 1, 2) abbildet b) der Streckung mit Fixpunkt (2, 3) und Streckungsfaktor 2 22) Wahr oder falsch? a) Jede Kollineation ist längentreu b) Die Symmetrie der Kongruenzrelation bedeutet A, B} B, A} für alle Strecken A, B} 23) Für A = ( 1, 3) und B = (5, 1) sind gesucht (Lösung jeweils ohne Zeichnung) a) m A,B b) m A,B AB c) k A (B) 24) Welche Art von Abbildung ist f((x, y)) = (4 x, 6 y)? 25) Gesucht ist das Bild von (x, y) unter der Punktspiegelung ϕ (1,2) 26 ) Sei A = (0, 0), B = (4, 1), C = (2, 1) Gesucht sind ϕ A ϕ B, ϕ A ϕ B ϕ C, die Translation τ : B C und eine Darstellung dieser Translation durch Punktspiegelungen

13 Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium aus dem vierten Semester 27) Wahr oder falsch? a) Jede Dilatation ist eine Drehung oder Streckung b) Zu jeder Strecke A, B} gibt es einen Punkt X mit ϕ A ϕ B ϕ X = id c) ϕ ϕb (A) = ϕ ϕa (B) 28) Wahr oder falsch? Sei (A, B, C, D) ein Parallelogramm Dann ist ϕ A ϕ B ϕ C ϕ D = id 29) Sei α : (x, y) (x, x+y) Beweise oder widerlege: a) α besitzt mindestens einen Fixpunkt b) α besitzt mindestens eine Fixgerade c) α ist eine Bewegung 30) Welche der folgenden Kollineationen erhalten die Orthogonalität? a) α : (x, y) (x, x + y) b) β : (x, y) (y + 1, x 2) 31) Wahr oder falsch? Für m, m 0 gilt g m,b g m,b mm = 1 32) Gesucht ist durch Rechnung das Lot durch P = (1, 2) zur Geraden g 2,0 33) Gesucht sind Umkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt des Dreiecks A = (0, 0), B = (3, 0), C = (2, 4) a) durch Zeichnung b) durch Rechnung 34) Für P = (1, 2) und a) g = g 0,0, b) g 2, c) g 1,0 und d ) g 3,1 sind jeweils Lotfußpunkt und g(p ) gesucht 35) Erkläre für eine Bewegung ϕ die Bedeutung von g = ϕ 1 ϕ(g) ϕ 36) Gesucht sind a) g 1 und b) für τ : (x, y) (x + 1, y 1) die Abbildung τ g 1 τ 1 Um welche Art von Abbildung handelt es sich hierbei? 37) Gesucht sind a ) g 0,0 g 1,0 g 1,0 und b) g 2 g 4 (Jeweils Abbildungsvorschrift und Abbildungsart) 38) Worin unterscheiden sich Translation, Drehung, Geradenspiegelung, Gleitspiegelung? Gibt es Gemeinsamkeiten? Welche dieser Abbildungen ist α : (x, y) (y + 1, x)? 39) Gesucht ist eine Darstellung der Drehung um (0, 0) mit Winkel 90 durch Geradenspiegelungen 40 ) Man finde die Gerade l mit A = (0, 2) l und (g 0,0, g 1,0 ) (g 1, l), indem man den Beweis über die Abtragbarkeit von Winkel für diesen Fall durchführt 41) Gibt es winkeltreue Abbildungen, die keine Bewegungen sind (mit Begründung)? 42) Wahr oder falsch? Bei der Abbildung α : (x, y) (x + y, y) gilt für alle Geraden (g, h) (α(g), α(h)) 43 ) Sei α : (x, y) (2x, 2y) Welche Bewegung überführt den Winkel (g 1,1, g 2,2 ) in den hierzu konformen Winkel (α(g 1,1 ), α(g 2,2 ))? 44) Erkläre an einer selbstgewählten Skizze einige Aussagen des Schenkelaustauschsatzes 45) Wahr oder falsch? g m 2,0 ist die Winkelhalbierende von (g 0,0, g m,0 )

14 Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium aus dem vierten Semester 46) Warum wird der Feuerbachkreis auch 9 Punkte Kreis genannt? Um welche neun Punkte handelt es sich? 47) Erkläre die Punkte in folgender Zeichnung: A B C 48) Welche Gestalt hat ein Dreieck, in dem möglichst viele der markanten Punkte a) des Feuerbachkreises b) der Eulergeraden zusammenfallen? 49) Gesucht ist die Eulergerade g m,b oder g k zum Dreieck A = (0, 0), B = (6, 4), C = (0, 4) 50 ) Wahr oder falsch? Der Radius des Feuerbachkreises eines Dreiecks ABC mit A = ( 2, 0), Höhenschnittpunkt H = (0, 2) und Mittelsenkrechtenschnittpunkt M = (0, 4) muss 5 sein 51 ) Wahr oder falsch? Sei H A, B, C der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks ABC Dann besitzen die Dreiecke ABH, ACH, BCH den gleichen Feuerbachkreis wie ABC