Mathematik 2 für Naturwissenschaften

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1 Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Spender A B AB 0 Empfänger A B AB verträglich 0 unverträglich Modul 210 Koordinatensysteme. Matrizen Lernumgebung

2 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung ii Modul 210 für die Lehrveranstaltung Mathematik 2 für Naturwissenschaften Sommer 2007 Neubearbeitung Frühjahr 2013 Erweiterung Frühjahr 2014 Überarbeitung last modified: 4. November 2013 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel walser-h-m.ch/hans

3 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung iii Inhalt 1 Rechts- oder Linkssystem? Rechtssystem Polarwinkel Kartesische Koordinaten > Kugelkoordinaten Kugelkoordinaten > Kartesische Koordinaten Kugelkoordinaten Zylinderkoordinaten Gleichungssystem Gleichungssystem Gleichungssystem Einheitsmatrix Symmetrische Matrix Schiefsymmetrische Matrix Hexenhäuschen Hexenhäuschen Hexenhäuschen Hexenhäuschen Hexenhäuschen Matrizenmultiplikation Matrizenmultiplikation Fortlaufendes Multiplizieren Matrizenmultiplikation Potenzen einer Matrix Potenzen einer Matrix Spezielle Matrizen Spezielle Matrizen Was entsteht? Symmetrische Matrix Matrix gesucht Matrix gesucht Inverse Matrix Inverse Matrix Inverse Matrizen? Matrix gleich ihrer Inversen? Komplexe Matrixelemente Inverse Matrix... 24

4 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 1 1 Rechts- oder Linkssystem? Handelt es sich bei den folgenden Beispielen um ein Rechts- oder ein Linkssystem? a) b) c) d) e) f) Rechts- oder Linkssystem? se a) Rechtsystem b) Rechtsystem c) Linkssystem d) Rechtsystem e) Linkssystem f) Linkssystem

5 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 2 2 Rechtssystem Wie muss die Beschriftung der Achsen ergänzt werden, damit ein Rechtssystem entsteht? a) b) c) d) e) f) Ergänzung zum Rechtssystem

6 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 3 se a) b) c) d) e) f) Ergänzung zum Rechtssystem

7 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 4 3 Polarwinkel Für den Polarwinkel φ der Polarkoordinaten hatten wir die Formel mit Fallunterscheidungen arccos φ = arccos x x 2 +y 2 x x 2 +y 2 sowie die Formel ohne Fallunterscheidungen: für y 0 für y < 0 φ = ( sgn( y) + 1 sgn( y x ) )arccos x 2 +y 2 Könnte man das negative Vorzeichen für y < 0 nicht direkt mit dem Faktor sgn( y) justieren? Bearbeitung Die Tücke besteht darin, dass wir für y = 0 die beiden Fälle x > 0 und x < 0 unterscheiden müssen. Übersicht: Für y 0 gilt: sgn y ( ( ) + 1 sgn( y) ) = Nun sei y = 0. Dann ist sgn y Für x > 0 ist x = x 2 + y 2, also x +1 für y > 0 1 für y < 0 ( ( ) + 1 sgn( y) ) = +1. Weiter gilt: x 2 +y Für x < 0 ist x = x 2 + y 2, also x x 2 +y 2 = +1 und arccos +1 ( ) = 0. 2 = 1 und arccos 1 ( ) = π.

8 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 5 4 Kartesische Koordinaten > Kugelkoordinaten Welche Kugelkoordinaten P r,φ, λ ( ) haben die Punkte mit den kartesischen Koordina- ( ) (sämtliche Vorzeichenkombinationen)? ten P ±2, ±2,±2 Kartesische Koordinaten Kugelkoordinaten x y z r φ λ

9 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 6 se Kartesische Koordinaten Kugelkoordinaten x y z r φ λ arctan arctan arctan arctan arctan arctan arctan 1 2 ( ) π 4 45 ( ) π 4 45 ( ) π 4 45 ( ) π 4 45 ( ) π ( ) π ( ) π arctan ( 1 2 ) π 4 135

10 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 7 5 Kugelkoordinaten > Kartesische Koordinaten Welche kartesischen Koordinaten P x, y, z ( ) haben die Punkte mit den Kugelkoordina- ( ) (Angaben im Bogenmaß, sämtliche Vorzeichenkombinationen)? ten P 2,±1,±2 Kugelkoordinaten Kartesische Koordinaten r φ λ x y z se Kugelkoordinaten Kartesische Koordinaten r φ λ x y z

11 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 8 6 Kugelkoordinaten Für die Kugelkoordinaten wird sehr oft die Notation der folgenden Figur verwendet. Vorsicht: Nun ist φ die geografische Länge. Der Winkel ϑ wird als Poldistanz bezeichnet. Kugelkoordinaten Gesucht sind die Umrechnungsformeln zu den kartesischen Koordinaten in beiden Richtungen.

12 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 9 Bearbeitung Wir ergänzen die Figur. Es gilt: In der umgekehrten Richtung gilt: Ergänzte Figur x = r sin( ϑ )cos φ y = r sin( ϑ )sin( φ) ( ) z = r cos ϑ ( ) r = x 2 + y 2 + z 2 φ = ( sgn( y) + 1 sgn( y x ) )arccos ϑ = arccos z x 2 +y 2 +z 2 x 2 +y 2

13 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 10 7 Zylinderkoordinaten Notation gemäß Abbildung. Zylinderkoordinaten Gesucht sind die Umrechungsformeln zu kartesischen Koordinaten und zu Kugelkoordinaten in beiden Richtungen. Bearbeitung Zylinderkoordinaten > kartesische Koordinaten: ( ) ( ) x = r cos φ y = r sin φ z = z Kartesische Koordinaten > Zylinderkoordinaten: r = x 2 + y 2 φ = ( sgn( y) + 1 sgn( y x ) )arccos z = z x 2 +y 2 Zylinderkoordinaten P( r Z,φ Z,z Z ) > Kugelkoordinaten P( r K,φ K,λ K ) : r K = r Z 2 + zz 2 φ K = arctan z Z r Z λ K = φ Z ( )

14 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 11 Kugelkoordinaten P( r K,φ K,λ K ) > Zylinderkoordinaten P( r Z,φ Z,z Z ): 8 Gleichungssystem r Z = r K cos( φ K ) φ Z = λ K ( ) z Z = r K sin φ K 7x 1 3x 2 = 5 28x 1 + ax 2 = b a) Wählen Sie die Zahlen a und b so, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. b) Wählen Sie die Zahlen a und b so, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat. c) Wählen Sie die Zahlen a und b so, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung hat. a) a = 12; b = 20 b) a = 12; b 20 c) a 12; b beliebig 9 Gleichungssystem Was ist über die Lösungen des Gleichungssystems mit den drei Gleichungen zu sagen? (Begründen Sie Ihre Antwort.) Das Gleichungssystem hat keine Lösung. x 1 2x 2 = 2 x 1 + x 2 = 10 x 1 + 2x 2 = Gleichungssystem Wie muss b gewählt werden, damit das Gleichungssystem x 1 2x 2 = 2 x 1 + x 2 = 10 x 1 + 2x 2 = b genau eine Lösung hat? Welches ist dann die Lösung?

15 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 12 b = 14, Lösung = (6, 4) 11 Einheitsmatrix Wie viele Einsen und wie viele Nullen enthält die (n,n)-einheitsmatrix E n? n Einsen, n 2 n ( ) Nullen 12 Symmetrische Matrix Eine Matrix A, die gleich ihrer transponierten Matrix ist (also A t = A ) heißt symmetrisch. Wie muss die folgende Matrix ergänzt werden, damit sie symmetrisch wird? A = A = Schiefsymmetrische Matrix Eine Matrix A, die gleich dem Negativen ihrer transponierten Matrix ist (also A t = A ) heißt schiefsymmetrisch. Wie muss die folgende Matrix ergänzt werden, damit sie schiefsymmetrisch wird?

16 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 13 A = A = Hexenhäuschen Hexenhäuschen Ein Hexenhäuschen ist eine (3,3)-Matrix, bei der alle Zeilensummen und alle Spaltensummen gleich sind. Beispiele: , Wie können die folgenden Matrizen zu einem Hexenhäuschen ergänzt werden?

17 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung a) 9 1 b) 2 5 c) a) b) c) Hexenhäuschen Hexenhäuschen Ein Hexenhäuschen ist eine (3,3)-Matrix, bei der alle Zeilensummen und alle Spaltensummen gleich sind. Beispiele: , Wie können die folgenden Matrizen zu einem Hexenhäuschen ergänzt werden?

18 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung a) 9 1 b) 3 c) 3 7 d) a) b) c) geht nicht d) 3 a 4 a a 1 + a Bearbeitung a) Einfach, wir haben die Zeilen- und Spaltensumme 2 b) Wir wählen Variable gemäß Figur sowie eine Zeilen- und Spaltensumme s. 3 a 5 b 3 c 10 d 0 Aus den drei Zeilen und den ersten zwei Spalten ergeben sich die 5 Gleichungen: I II III IV V a + 8 = s b + c + 3 = s d + 10 = s b + 13 = s a + d + 3 = s Dieses Gleichungssystem hat die Lösung: a = 7, b = 2, c = 10, d = 5, s = 15 c) Überbestimmt und daher keine Lösung. Aus der ersten Zeile ergibt sich die Zeilenund Spaltensumme 7. In der zweiten Zeile ergibt sich daher für das fehlende Element 3. Dann ergibt sich aber für die letzte Spalte die Summe 3 7. Widerspruch. d) Unterbestimmt, ein Freiheitsgrad, also unendlich viele Lösungen. Wir können zum Beispiel das Element in der Mitte frei wählen. 16 Hexenhäuschen Es seien C und D zwei Hexenhäuschen. Welche der folgenden Matrizen sind dann ebenfalls Hexenhäuschen? a) E = C + D b) F = 12C c) G = λc + ηd d) H = D t Alles Hexenhäuschen.

19 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung Hexenhäuschen Ein Hexenhäuschen ist eine (3,3)-Matrix, bei der alle Zeilensummen und alle Spaltensummen gleich sind. Beispiele: A = , B = Sind dann die Matrizen C = AB, D = BA und F = AA = A 2 Alles Hexenhäuschen ebenfalls Hexenhäuschen? C = AB = , D = BA = , F = AA = A 2 = Hexenhäuschen Ein Hexenhäuschen ist eine (3,3)-Matrix, bei der alle Zeilensummen und alle Spaltensummen gleich sind. Beispiele: A = , B = Wie viele Freiheitsgrade haben die Hexenhäuschen? Bearbeitung Wir können fünf Elemente frei wählen, zum Beispiel: Die restlichen Elemente ergeben sich dann: a b c d e a b c d e a + b + c b + c d a + c e d + e c ( ) ( d + e)

20 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung Matrizenmultiplikation A = 3 4, B = Gesucht sind, sofern möglich, C = AB und D = BA C = AB nicht möglich (falsche Dimension) D = BA = Matrizenmultiplikation b 11 b 12 b 13 Es sei A = 0 5 1, B = b 21 b 22 b 23 und C = AB sowie D = BA b 31 b 32 b 33 a) Welche Elemente der Matrix C verändern sich, wenn in B das Element b 12 verdoppelt wird? (Alle übrigen Elemente von B bleiben unverändert.) b) Welche Elemente der Matrix D verändern sich, wenn in B das Element b 12 verdoppelt wird? (Alle übrigen Elemente von B bleiben unverändert.) a) c 12,c 32. Das Element c 22 bleibt unverändert wegen a 21 = 0. b) d 12,d 13. Das Element d 11 bleibt unverändert wegen a 21 = Fortlaufendes Multiplizieren A = Gesucht ist a) A 2 = AA b) A 3 = AAA c) A 4 = AAAA d) usw. e) Was fällt auf? f) Was ist A 37?

21 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 18 a) A 2 = AA = E b) A 3 = AAA = A c) A 4 = AAAA = E d) A, -E, -A, E, A, -E, -A, E, A, -E, -A, E, A, -E, -A, E, e) Periodizität mit Periodenlänge 4 f) A 37 = A 22 Matrizenmultiplikation Gesucht sind AA t und A t A. 2 3 A = AA t = , A t A = Potenzen einer Matrix A = Gesucht ist A k, k Bearbeitung A k = 1 0 k 1 Beweis induktiv: (I) A 1 = A = (II) A k+1 = A k A = k = 1 0 k + 1 1

22 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung Potenzen einer Matrix A = Gesucht ist A n, n Bearbeitung Es ist: A 1 = , A2 = , A3 = , A4 = , A5 = , A6 = ,... Offenbar entsteht die Fibonacci-Folge, welche folgendermaßen definiert ist: Es ist dann: Damit wird: Beweis induktiv: Startwerte: f 0 = 0, f 1 = 1 Rekursion: (I) A 1 = A = = f 2 f 1 f 1 f 0 (II) A n+1 = A n A = f n+1 f n f n 25 Spezielle Matrizen f n+2 = f n+1 + f n n f n f n 1 A n = f n+1 f n f n f n = fn+1 + f n f n+1 f n + f n 1 f n = fn+2 f n+1 f n+1 f n Es sei A = Berechnen Sie A2 = AA, A 3, A 4, A 5, A 6 Bearbeitung A 1 = , A2 = = E, A3 = = A, A4 = E, A 5 = A, A 6 = E Wir haben die zyklische Gruppe der Ordnung 2. Allgemein ist:

23 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 20 A n 1 nmod2 = nmod2 nmod2 1 nmod2 26 Spezielle Matrizen Es sei A = Berechnen Sie A2 = AA, A 3, A 4, A 5, A 6 Bearbeitung A 1 = , A2 = , A3 = , A4 = , A5 = 16 16, A6 = Allgemein ist: A n = 2n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 27 Was entsteht? a A = b c Gesucht sind AA t und A t A. Was fällt auf? d e f a 2 + d 2 ab + de ac + df AA t = ab + de b 2 + e 2 bc + ef, A t A = a2 + b 2 + c 2 ad + be + cf ac + df bc + ef c 2 + f 2 ad + be + cf d 2 + e 2 + f 2 Dimensionen ungleich Beides symmetrische Matrizen In der Hauptdiagonalen sind die Elemente Symmetrische Matrix Ist AA t immer eine quadratische symmetrische Matrix? Ja

24 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 21 Beweis a 1,1 a 1,2 a 1,n a 1,1 a 1,2 a 1,m a 2,1 a 2,2 a 2,n A =, A t a 2,1 a 2,2 a = 2,m a m,1 a m,2 a m,n a n,1 a n,2 a n,m Sei B = AA t. Für das Element b i,k von B gilt: b i,k = Für das Element b k,i von B gilt: n a i, j a t j,k = a i, j a k, j j=1 n j=1 n b k,i = a k, j a t j,i = a k, j a i, j j=1 Es ist also b k,i = b i,k, die Matrix ist symmetrisch. B ist eine m,m-matrix, also quadratisch. Für ein Element in der Hauptdiagonalen erhalten wir: n n j=1 b i,i = a i, j a t 2 j,i = a i, j a i, j = a i, j 0 j=1 n j=1 n j=1 29 Matrix gesucht Gesucht ist B = a b c d A = so, dass AB = E. B = A = Matrix gesucht Gesucht ist B = a c A = b so, dass AB = E. Kommentar? d

25 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 22 Geht nicht. Die Matrix A ist singulär. 31 Inverse Matrix Es gibt einen rechnerischen und einen geometrischen Weg, die inverse Matrix A 1 zu folgender Matrix zu bestimmen: A = cos α sin α ( ) sin( α ) ( ) cos( α ) A 1 = cos α sin α ( ) sin( α ) ( ) cos( α ) Erster Lösungsweg Zum Beispiel Gaußscher Algorithmus Zweiter Lösungsweg A = cos α sin α ( ) sin( α ) ( ) cos( α ) ist die Matrix der Drehung um den Ursprung um den Winkel α. Die Umkehrung davon ist das Zurückdrehen, also die Drehung um den Ursprung um den Winkel α. Dazu gehört die Matrix 32 Inverse Matrix A 1 = cos α sin α ( ) sin ( α ) ( ) cos( α ) Gesucht ist die inverse Matrix zu A = cos α sin α A 1 = cos α sin α ( ) sin( α ) ( ) cos( α ) = cos α sin α ( ) sin( α ) ( ) cos( α ) ( ) sin( α ) ( ) cos( α ). = A. Die Matrix ist zu sich selber invers.

26 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung Inverse Matrizen? Es ist (nachrechnen!): A = B = AB = E = Lässt sich daraus folgern, dass die beiden Matrizen A und B zueinander invers sind? Nein. BA = E Matrix gleich ihrer Inversen? Es ist = , das heißt, die Matrix 0 1 ist gleich ihrer Inversen. Gibt es weitere (2,2) Matrizen, die gleich ihrer Inversen 1 0 sind? Beispiele: , , , , , 0 1, die letzten vier Beispiele 1 0 cos( α ) sin( α ) sind Sonderfälle von. sin( α ) cos( α ) 35 Komplexe Matrixelemente For fans only. Es sei i 2 = 1. Berechnen Sie zur Matrix A = i 0 0 i die Matrizen AA = A 2, A 3, A 4, A 5,... a) Was fällt auf.

27 Hans Walser: Modul 210, Koordinatensysteme. Matrizen. Lernumgebung 24 b) Was ist die inverse Matrix zu A? a) A 2 = E, A 3 = A, A 4 = E,..., A k+4n = A k. Periodizität mit Periodenlänge 4. b) A 1 = A 3 = A 36 Inverse Matrix Wir suchen zur allgemeinen Matrix die inverse Matrix A 1. Bearbeitung a 1,1 a 1,2 A = a 2,1 a 2,2 A:=<<a11 a12>, <a21 a22>>; Ainv:=A^(-1); Ainv := A := a11 a21 a22 a11 a22 - a12 a21 - a21 a11 a22 - a12 a21 a12 a22 a12 - a11 a22 - a12 a21 a11 a11 a22 - a12 a21 Im gemeinsamen Nenner steht die Determinante der Matrix. Daher ist es klar, dass eine Matrix mit Determinante Null keine Inverse haben kann.