StudiumPlus- SS 2017 Torsten Schreiber

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Richard Esser
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2 Dis Fran solltn Si auch ohn Skript bantwortn könnn: Wlch bid Artn ins Intrals knnn Si? Was sind di wichtistn Rln dr Intration? Wi bstimmn Si di Flächn inr Funktion bi bnn Grnzn? Was vrsthn Si untr dr Aulitun inr Potnzunktion? Wi brchnt man di Fläch zwischn Funktion und -Achs? Wi bstimmn Si di Stammunktion inr höhrn Funktion? Was ist in Dirnzunktion? Wi könnn Si di Fläch zwischn zwi Funktionn brchnn? StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 57

3 Thmn, di Si nach disr Vranstaltun knnn solltn: Auabn und Anwndunn dr Intralrchnun. Wann sprchn wir von inm unndlichn Intral? Was ist in rduzirnd/ altrnirnd Funktion Wi unktionirt di partill Intration? Wi unktionirt di Substitution dr Intration? Wann kann man sich di Rsubstitution sparn? Allminülti Mthodik zur Intralbrchnun Auabn und Übunn zu dn bnanntn Thmn. StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 58

4 Lösn Si di olndn Intrallichunn. a z 3 3 d 4 Bstimmn Si von dn olndn Funktionn di zuhöri Stammunktion. a h 3 sin5 4 b 3 k 0, 5 3 Bstimmn Si dn Flächninhalt zwischn dn bnn Funktionn. a 3 5 b StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 59

5 Um di Fläch zwischn zwi Funktionn zu brchnn, bstimmt man das Intral dr Dirnzunktion innrhalb dr istirndn Nullstlln.. Nullstllnbrchnun:. Intration dr Dirnzunktion: α β α β d Bispil: 0 9. Nullstlln: Intration: F4 F d ,5 6,5 4 StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 60

6 Abhäni von dn zuhörin Intrandunktionn wird im Brich dr Flächninhaltsbrchnun zwischn unndlichn und ndlichn Intraln untrschidn. Um di ntsprchnd Einschat klassiizirnzu könnn, wird zurst di Stammunktion an dr bnn Stll brchnt und anschlißnd mittls Grnzwrtbtrachtun n Unndlich odr Konstant dr Wrt ds Intrals bstimmt. unndlich Intral: Dm Intral kann kin aktr Wrt zuwisn wrdn bzw. strbt dr sucht Flächninhalt n unndlich. Dis schiht z.b. an dn snkrchtn AsymtotnDinitionslückn inr Funktion. lim 3 0 d 0 lim Man rknnt, dass durch di Grnzwrtbtrachtun unndlich als Rsultat hrauskommt, was kinm aktn Flächninhalt ntsprchn kann. StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 6

7 Endlich Intral: Es handlt sich um inn stn Wrt, dr dm Intral zuwisn wrdn kann. Disr lit z.b. dann vor, wnn sich di Fläch innrhalb zwir Nullstlln bindt odr auch bi dr Bstimmun ds Inhalts zwischn zwi bnn Funktionn. Wird allrdins dr Flächninhalt bis ins Unndlichsucht, so muss dr Grnzwrt dr Intrandunktion im Undndlichn Null sin. lim 0 d lim 0 Auch hir wird mittls Grnzwrtbtrachtun dr Stammunktion di Fläch sucht. Da di Stammunktion allrdins im Unndlichn Null ist, ällt si anz w und man rhält inn konstantn Wrt ür di sucht Fläch. StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 6

8 Für di Brchnun komplizirtr Stammunktionn ist s wichti, di Artn dr mölichn Intrandunktion nähr zu bschribn. Di Untrschidun bziht sich im Wsntlichn au di Art dr Ablitunn: Rduzirnd Funktion: Ein solch Funktion lit dann vor, wnn sich bim Ablitn ins Ausdrucks dr Eponnt rduzirt und ltztlich zu inr Konstantn wird Polynom vom Grad n. 3 6 Nach n Ablitunn vrschwindt di Funktion kompltt wird Null. Altrnirnd Funktion: Ein solch Funktion lit dann vor, wnn sich bim Ablitn ins Ausdrucks di ntsthnd Funktionsklass nicht vrändrt Trionomtri, Eponntial. 4 8 Nach n Ablitunn ist di Funktion immr noch di lich altrnirnd.... StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 63

9 3 Gbn Si dn Wrt ds olndn Intrals an und klassiizirn Si disn. a 5 d Bstimmn di Grnz ds Intrals, so dass di bn Fläch rricht wird. α d b 6 Bstimmn Si di rstn 5 Ablitunn dr Funktion und klassiizirn Si dis. 4 a 0,5 3 b sin 4 c h 3 d 0 StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 64

10 StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 65 Trit hintr dm Intralzichn in Funktionau drn Ablitun, kann dis ntwdr in Form ins Produkts odr als Quotint schhn. Aurund dr Kttnrldinition rbn sich dadurch olnd Zusammnhän: Produkt: Quotint: [ ] [ ] 0 C [ ] C d C d ln [ ] 0 ln C Bwis Bwis

11 StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 66 Bstht di Intrandunktion aus inm Produktvon zwi untrschidlichn Funktionn, so muss partill intrirt wrdn. Das anzuwndnd Vrahrn ribt sich aus dr bkanntn Produktrl dr Ablitunn: Durch di Bildun dr Aulitun au bidn Sitn ribt sich automatisch di Produktrl dr Intration sprich di partill Intration: Fall : Trit in rduzirndau in altrnirndfunktion, sollt als rduzirnd und als altrnirnd Funktion wählt wrdn, da nach n Intrationn di rduzirnd Funktion vrschwindt. Fall : Sind di bidn Faktorn ds Produkt altrnirnd Funktionn, so muss ma. zwimal partill intrirt wrdn, da nach dm. Schritt automatisch das Ausansintral ntstht. [ ] [ ]

12 StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 67 Bispil zu Fall : C F d. Schritt: F d C F d. Schritt: F d C C d 4 rduzirnd; altrnirnd

13 sin d F C. Schritt: Bispil zu Fall : sin cos F sin cos d cos d F C. Schritt: F cos sin d cos sin 4 sin d sin cos sin sin d sin cos sin StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 68 altrnirnd; altrnirnd sin d sin cos sin d sin cos d d

14 Wi man u.a. auch bi dn Biquadratischn Glichunn das Vrahrn dr RSubstitution nutzt, um dn Ausdruck zu vrinachn und di Lösun zu bstimmn, so kann dis Mthod auch bi dr Bstimmun dr Stammunktion nutzt wrdn. Bi dr Intralrchnun ist nbn dr Variabln slbst auch zu brücksichtin. Intration via Substitution:. Substitutionslichun: ;. Intralsubstitution: 3. Stammunktion: 4. Rsubstitution: Bi dr Wahl dr Substitutionslichun sollt stts darau achtt wrdn, dass drn Ablitun kürzt wrdn kann. StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 69

15 Bispil: Im rstn Momnt ma man an das Vrahrn dr partilln Intration dnkn, allrdins stört bi dr Stammunktionsindun von das Arumnt. Intration via Substitution:. Substitutionslichun: ;. Intralsubstitution: 3. Stammunktion: 4. Rsubstitution: Bi dr Wahl dr Substitutionslichun sollt stts darau achtt wrdn, dass drn Ablitun kürzt wrdn kann. StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 70

16 Bishr habn wir nur unbstimmt Intral sprich di Bstimmun inr Stammunktion btrachtt. Handlt s sich um in bstimmts Intral, so kann man Schritt 4 durch di Anpassun dr Grnzn rstzn und dirkt dn Wrt ds Intrals brchnn. Intration via Substitution:!. Substitutionslichun: ;. Intralsubstitution:!! 3. Stammunktion Grnzn:! # $ 3& 0,3 #! $ StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 7

17 StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 7 Aurund dr Vilzahl dr Mölichkitn in Stammunktion zu ntwickln, sollt olnd Vorhnsmthodik anwandt wrdn:. Einach Aulitun:. Produkt : 3. Quotint : 4. Altrnirnd : 5. Sollt kin Vrahrn dirkt anwndbar sin, muss schlau substituirt wrdn. n n n a F a [ ] C d C d ln rduzirnd altrnirnd

18 Brchnn Si zu dn bnn Funktionn drn Stammunktion. 3 ln 8 6 a b tan c h 4 Bstimmn di olndn bidn unbstimmtn Intral. b 3 cos a cos d d 3 Brchnn Si dn Wrt dr olndn Intral a ln d b d 3 0 StudiumPlus- SS 07 Torstn Schribr 73

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