Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Mi SG26 D Gruppe A NAME: c) Überprüfen Sie das Ergebnis von a) mit dem Wurzelsatz von Vieta.

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1 R. Brinkmann Seite Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Mi SG6 D Gruppe A NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner. Alle Ergebnisse sind soweit möglich durch Rechnung zu begründen.. Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen: 3 a) x x = 0 b) x x = c) Überprüfen Sie das Ergebnis von a) mit dem Wurzelsatz von Vieta. E: a) x x = 0 : x x = 0 p = q = D = q= + = + = D = = 3 x = + = = p x / = ± D 3 x = = = b) c) 3 x x 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt. + = x = 0 + x = x = x = x + = 0 x = : x = : = x = 3 3 x = und x = p = und q = x + x = + = = = p p = x x = = = q q= Erstellt von R. Brinkmann sg6d_06_07_ka_0_e :3 von 0

2 R. Brinkmann Seite f x = x + x+ 5 a) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte. b) Berechnen Sie den Scheitelpunkt und stellen Sie die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform dar. c) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. d) Beschreiben Sie schrittweise, wie f(x) aus der Normalparabel entsteht. e) Schreiben Sie die Funktionsgleichung als Produkt aus Linearfaktoren.. Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel: E: a) 5 5 f ( x) = x + x + Py 0 5 f ( x) = 0 x + x + = 0 ( ) x x 5 = 0 p = q = 5 9 D = q= + 5 = 9 = D = 9 = 3 p x = + 3 = 5 x = ± D P 5 0 P 0 / x x x = 3 = b) 5+ ( ) x + x 5 = = = = = ys = f( xs) = f = + + = + + = + = + = xs 9 Scheitelpunktkoordinaten: S 9 Scheitelpunktform: f x = x + c) f( x) = x + x Erstellt von R. Brinkmann sg6d_06_07_ka_0_e :3 von 0

3 R. Brinkmann Seite d) Normalparabel gestaucht mit dem Formfaktor a =, nach unten geöffnet. Verschiebung in x- Richtung nach rechts um Einheiten. Verschiebung in y- Richtung um 9 Einheiten nach oben. e) Funktionsgleichung als Produkt aus Linearfaktoren. Mit x = 5 x = und a = wird f x = x 5 x + Erstellt von R. Brinkmann sg6d_06_07_ka_0_e :3 3 von 0

4 R. Brinkmann Seite Der Benzinverbrauch eines PKW in Liter/00 km in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v in km/h lässt sich durch folgende Funktion beschreiben: b(v) = 0,0005v 0,05v + 8 für v > 0 a) Berechnen Sie den Verbrauch bei einer Geschwindigkeit von 0 km/h. b) Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Verbrauch genau 8 Liter auf 00 km? c) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Kraftstoffverbrauch am geringsten? Wie hoch ist er genau? (Hinweis: Die Funktionsgleichung b(v) ist die Gleichung einer Parabel mit dem Scheitelpunkt S( 50 6,5 ). Nutzen Sie diesen Hinweis.) Schreiben Sie zu jedem Ergebnis einen Antwortsatz.. E3: a) b v = 0,0005v 0,05v + 8 für v > 0 b 0 = 0, , = 0,8 Bei einer Geschwindigkeit von 0 km/h beträgt der Benzinverbrauch 0,8 Liter auf 00 km. b) b v = 8 0,0005v 0,05v + 8 = 8 8 0,0005v 0,05v = 0 v 0,0005v 0,05 = 0 v = 0 < 0 scheidet aus 0,05 0,0005v 0,05 = 0 + 0,05 0,0005v = 0,05 : 0,0005 v = = 00 0,0005 Bei einer Geschwindigkeit von 00 km/h beträgt der Benzinverbrauch 8 Liter auf 00 km. c) Beim Graphen von b(v) handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt S( 50 6,75 ). Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt der Parabel. Das entspricht dem niedrigsten Kraftstoffverbrauch. Bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h ist der Kraftstoffverbrauch am geringsten. Er beträgt 6,75 Liter auf 00 km. Erstellt von R. Brinkmann sg6d_06_07_ka_0_e :3 von 0

5 R. Brinkmann Seite Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel: f(x) = ax x + Für welche Werte von a hat f(x) eine doppelte Nullstelle? Begründen Sie jedes Ergebnis durch eine entsprechende Rechnung. Ansatz: ax x + = 0 x x + = 0 ist die Normalform der quadratischen Gleichung. a a Berechnen Sie die Diskriminante und bestimmen Sie a so, dass D = 0 ist. E: f( x) = ax x+ f( x) = 0 ax x+ = 0 :a x x+ = 0 a a p p = q = und = a a a D = q = = a a a a Doppelte Nullstelle bedeutet D = 0 a D = 0 = 0 a = 0 a a 8a = 0 a a a a 8a = 0 a = 0 ( ) / Lösung scheidet aus, da mit a 8a = 0 + 8a = 8a :8 = a a = 8 8 Für a = hat f ( x ) eine doppelte Nullstelle. 8 = 0 f x keine quadratische Gleichung mehr ist. Viel Erfolg! Erstellt von R. Brinkmann sg6d_06_07_ka_0_e :3 5 von 0

6 R. Brinkmann Seite Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Mi SG6 D Gruppe B NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner. Alle Ergebnisse sind soweit möglich durch Rechnung zu begründen.. Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen: 3 a) x + x = 0 b) x x = c) Überprüfen Sie das Ergebnis von a) mit dem Wurzelsatz von Vieta. E: a) x + x = 0 : x + x = 0 p = q = D = q= + = + = D = = 3 x = + = = p x / = ± D 3 x = = = b) c) 3 x + x 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt. = x + = 0 x = : x = : = x = 3 3 x = 0 + x = : x = : = x = x = und x = p = und q = x + x = + = = = p p = x x = = = q q= Erstellt von R. Brinkmann sg6d_06_07_ka_0_e :3 6 von 0

7 R. Brinkmann Seite Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel: f(x) = x x a) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte. b) Berechnen Sie den Scheitelpunkt und stellen Sie die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform dar. c) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. d) Beschreiben Sie schrittweise, wie f(x) aus der Normalparabel entsteht. e) Schreiben Sie die Funktionsgleichung als Produkt aus Linearfaktoren. E: a) 5 5 f ( x) = x x Py 0 5 f ( x) = 0 x x = 0 x x 5 = 0 p = q = 5 9 D = q 5 9 D 9 3 = + = = = = p x = + 3 = 5 x = ± D P 5 0 P 0 / x x x = 3 = b) 5+ ( ) x+ x 5 xs = = = = = ys = f( xs) = f = = = = = 9 Scheitelpunktkoordinaten: S 9 Scheitelpunktform: f x = x c) f( x) f( x) = x x x 6 Erstellt von R. Brinkmann sg6d_06_07_ka_0_e :3 7 von 0

8 R. Brinkmann Seite d) Normalparabel gestaucht mit dem Formfaktor a =, nach oben geöffnet. Verschiebung in x- Richtung nach rechts um Einheiten. Verschiebung in y- Richtung um 9 Einheiten nach unten. e) Funktionsgleichung als Produkt aus Linearfaktoren. Mit x = 5 x = und a = wird f x = x 5 x + Erstellt von R. Brinkmann sg6d_06_07_ka_0_e :3 8 von 0

9 R. Brinkmann Seite Der Benzinverbrauch eines PKW in Liter/00 km in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v in km/h lässt sich durch folgende Funktion beschreiben: b(v) = 0,0005v 0,05v + 6 für v > 0 a) Berechnen Sie den Verbrauch bei einer Geschwindigkeit von 0 km/h. b) Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Verbrauch genau 6 Liter auf 00 km? c) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Kraftstoffverbrauch am geringsten? Wie hoch ist er genau? (Hinweis: Die Funktionsgleichung b(v) ist die Gleichung einer Parabel mit dem Scheitelpunkt S( 50,75 ). Nutzen Sie diesen Hinweis.) Schreiben Sie zu jedem Ergebnis einen Antwortsatz.. E3: a) b v = 0,0005v 0,05v + 6 für v > 0 b 0 = 0, , = 7, Bei einer Geschwindigkeit von 0 km/h beträgt der Benzinverbrauch 7, Liter auf 00 km. b) b v = 6 0,0005v 0,05v + 6 = 6 6 0,0005v 0,05v = 0 v 0,0005v 0,05 = 0 v = 0 < 0 scheidet aus 0,05 0,0005v 0,05 = 0 + 0,05 0,0005v = 0,05 : 0,0005 v = = 00 0,0005 Bei einer Geschwindigkeit von 00 km/h beträgt der Benzinverbrauch 6 Liter auf 00 km. c) Beim Graphen von b(v) handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt S( 50,75 ). Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt der Parabel. Das entspricht dem niedrigsten Kraftstoffverbrauch. Bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h ist der Kraftstoffverbrauch am geringsten. Er beträgt,75 Liter auf 00 km. Erstellt von R. Brinkmann sg6d_06_07_ka_0_e :3 9 von 0

10 R. Brinkmann Seite Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel: f(x) = ax x + Für welche Werte von a hat f(x) eine doppelte Nullstelle? f(x) eine (doppelte) Nullstelle? Begründen Sie jedes Ergebnis durch eine entsprechende Rechnung. Ansatz: ax x + = 0 x x + = 0 ist die Normalform der quadratischen Gleichung. a a Berechnen Sie die Diskriminante und bestimmen Sie a so, dass D = 0 ist. E: f( x) = ax x+ f( x) = 0 ax x+ = 0 :a x x+ = 0 a a p p = q = und = a a a D = q = = a a a a Doppelte Nullstelle bedeutet D = 0 a D = 0 = 0 a = 0 a a 8a = 0 a a a a 8a = 0 a = 0 ( ) / Lösung scheidet aus, da mit a 8a = 0 + 8a = 8a :8 = a a = 8 8 Für a = hat f ( x ) eine doppelte Nullstelle. 8 = 0 f x keine quadratische Gleichung mehr ist. Viel Erfolg! Erstellt von R. Brinkmann sg6d_06_07_ka_0_e :3 0 von 0