Die natürlichen Zahlen

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1 Die natürlichen Zahlen Damit kann man, beginnend mit der leeren Menge, eine unendliche Folge von Mengen bilden: Mathematik I für Informatiker Zahlen p.1/12

2 Kürzt man ab so erhält man,,,..., allgemeiner also Auf diese Weise erhält man die Menge der natürlichen Zahlen plus Null. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.2/12

3 Peano-Axiome Man kann diese Menge durch fünf Eigenschaften charakterisieren, die oft als die Peano-Axiome bezeichnet werden: Wenn 3. Wenn dann 4. Wenn 5., dann auch,. für alle, dann und mit Auf diese Weise erhält man die Menge die Rechenstruktur.... auch immer, also noch nicht, Mathematik I für Informatiker Zahlen p.3/12

4 Arithmetik Die arithmetischen Operationen definiert man nun induktiv. Zunächst die Addition: Für eine beliebige Zahl sei und Man muss dann beweisen, dass diese Addition den vertrauten Regeln genügt. Dann definiert man die Multiplikation durch und Erneut kann man mit etwas Mühe nachweisen, dass die erwarteten Regeln gelten. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.4/12

5 Halbring (1) Die natürlichen Zahlen mit Null bilden mit den so definierten Operationen einen kommutativen Halbring: Man kann addieren und multiplizieren, und dabei gelten die vertrauten Regeln (für alle ): Für die Addition gilt Assoziativgesetz Kommutativgesetz ist neutrales Element Mathematik I für Informatiker Zahlen p.5/12

6 Halbring (2) Für die Multiplikation gilt: Assoziativgesetz Kommutativgesetz ist neutrales Element Gemeinsam gilt: Distributivgesetz Mathematik I für Informatiker Zahlen p.6/12

7 : Die ganzen Zahlen Man erweitert die natürlichen Zahlen mit Null zum Ring der ganzen Zahlen, indem man zu jeder natürlichen Zahl noch eine negative Zahl hinzunimmt. Die Operationen werden auf natürliche (und bekannte) Weise auf diese Zahlen ausgedehnt. Man erhält dadurch einen kommutativen Ring mit Eins, d.h., man kann addieren, subtrahieren und multiplizieren. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.7/12

8 :Die rationalen Zahlen Ein weiterer Erweiterungsschritt führt zur Menge rationalen Zahlen. der Man bildet zunächst die Menge und nennt deren Elemente Brüche. Statt schreibt man Auf der Menge der Brüche definiert man eine Äquivalenzrelation durch. Die Äquivalenzklassen nennt man rationale Zahlen. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.8/12

9 Der Körper der rationalen Zahlen Man definiert (auf die allgemein bekannte Weise), wie Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Man zeigt dann, dass diese Definitionen mit der Äquivalenzrelation verträglich sind. Sie definieren deshalb auch Rechenoperationen für die rationalen Zahlen. Die Menge aller rationalen Zahlen wird dadurch zum einem kommutativen Körper, das heißt, zu einer algebraischen Struktur, in der man mit den vertrauten Regeln addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.9/12

10 Die Ordnung der rationalen Zahlen Die rationalen Zahlen bilden sogar einen angeordneten Körper. Durch wird eine lineare Ordnung auf Operationen verträglich ist. erklärt, die mit den Diese Ordnung ist dicht: zwischen je zwei rationalen Zahlen liegt eine weitere. Diese Ordnung ist aber nicht vollständig: Die Länge der Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge 1 ist keine rationale Zahl. Nicht jede beschränkte Teilmenge von Supremum und ein Infimum. hat ein Mathematik I für Informatiker Zahlen p.10/12

11 Dedekindsche Schnitte Man kann den Körper der rationalen Zahlen durch Hinzunahme (sehr vieler) Elemente zur Menge der reellen Zahlen erweitern. Dazu bildet man den Begriffverband des formalen Kontextes. Man erhält auf diese Weise Die Begriffe von, für alle sind genau die Paare und alle Man nennt sie Dedekindsche Schnitte.. mit Mathematik I für Informatiker Zahlen p.11/12

12 Der Körper der reellen Zahlen Die für definierten Rechenoperationen lassen sich problemlos auf erweitern. Man erhält so den Körper der reellen Zahlen. Vorteile: Die reellen Zahlen lassen sich bequem als Dezimalzahlen (mit möglicherweise unendlich vielen Nachkommastellen) schreiben. Cauchy-Folgen konvergieren. Suprema und Infima beschränkter Teilmengen existieren. Aus nichtnegativen reellen Zahlen können beliebig Wurzeln gezogen werden. Mathematik I für Informatiker Zahlen p.12/12