Motivation der Dierenzial- und Integralrechnung

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1 Moivaion der Dierenzial- und Inegralrechnung Fakulä Grundlagen HS Esslingen SS 2016 Fakulä Grundlagen (HS Esslingen) SS / 12

2 Übersich 1 Vorberachungen zur Dierenzial- und Inegralrechnung Ableiungsbegri Physikalische Geseze Rechenregeln fürs Dierenzieren Inegral bei Bewegungsvorgängen Inegralbegri Fakulä Grundlagen (HS Esslingen) SS / 12

3 Vorberachungen zur Dierenzial- und Inegralrechnung Ableiungsbegri Dierenzialquoien; geomerisch y y = f (x) y y = f (x) Grenzprozess y x x 0 x x x 0 x 0 + x x 0 Sekanenseigung: m(x 0, x) = f (x0+ x) f (x0) x = y x Tangenenseigung: f (x m(x 0, 0) = lim 0+ x) f (x 0) }{{} x 0 x = f (x 0 ) Fakulä Grundlagen (HS Esslingen) SS / 12

4 Vorberachungen zur Dierenzial- und Inegralrechnung Physikalische Geseze Dierenzialquoien; Weg - Geschwindigkei - Beschleunigung Bewegung auf einer Geraden wird durch Weg-Zei-Funkion s() beschrieben. s 0 s( 0 ); v( 0 ) s( 0 + ); v( 0 + ) Zum Zeipunk 0 bende sich der Massenpunk bei s( 0 ) und besiz dor die Geschwindigkei v( 0 ); ewas späer, zum Zeipunk 0 +, is der Massenpunk in s( 0 + ) und besiz die Geschwindigkei v( 0 + ). Milere Geschwindigkei im Zeiinervall [ 0, 0 + ] 0 ṽ( 0, ) = s( 0 + ) s( 0 ) Milere Beschleunigung im Zeiinervall [ 0, 0 + ] ã( 0, ) = v( 0 + ) v( 0 ) 0 s() ds d ( 0) = ṡ( 0 ) = v( 0 ) dv d ( 0) = v( 0 ) = a( 0 ) Beispiel: s() = 2 ; ṡ() = v() = 2; s() = v() = a() = 2 Fakulä Grundlagen (HS Esslingen) SS / 12

5 Vorberachungen zur Dierenzial- und Inegralrechnung Physikalische Geseze Dierenzialquoien am Beispiel Ladung Sromsärke Ladung Q: Elekriziäsmenge; häug Elekronen Ladungen erzeugen Kraffeld speziell: Q(): im Zeibereich [0, ] geossene Ladungsmenge Spannung U: zwischen zwei Punken: benöige Energie um eine Ladungseinhei von einem zum anderen Punk zu bringen. ransporiere Ladung Bei konsanem Gleichsrom: Sromsärke I : I = = Q benöige Zei Bei zeiabhängigen Srömen gil für die milere Sromsärke in [ 0, 0 + ] : Ĩ ( 0, ) = Q( 0 + ) Q( 0 ) 0 dq d ( 0) = Q( 0 ) = I ( 0 ) Analogie: Rohrleiungsnez Vol() v q: Querschni v Sromsärke I () Srömungsgeschwindigkei v() Vol( + ) Vol() q ṽ( 0, ) ; q = 1 ṽ( 0, ) = Vol(0+ ) Vol(0) 0 dvol d ( 0 ) = v( 0 ) Spannungsdierenz U() Druckdierenz p() Fakulä Grundlagen (HS Esslingen) SS / 12

6 Vorberachungen zur Dierenzial- und Inegralrechnung Physikalische Geseze Ausblick: RC -Glied oder die erse Dierenzialgleichung an der Hochschule Kapaziä: Ladung proporional Spannung Q() = C U C () Ohmscher Widersand: Ladungsranspor proporional Spannung U Ω () = R I () RC-Glied U C Kapaziä C Maschenregel: Summe der Spannungsabfälle ergib Null! U Ω () + U C () = 0 bzw. R I () + Q() C = 0 I () = Q() = 1 RC Q() Der Kondensaor sei für = 0 mi Q 0 aufgeladen. Im weieren Verlauf enläd er sich über den Ohmschen Widersand. U R R Ω Q 0 Q() Theorie der DGL: Q() = Q 0 e 1 RC Nachrechnen!! Die Seigung is ses negaiv; sie wird beragsmäÿig immer kleiner. Seigung bei = 0: m = 1 RC Fakulä Grundlagen (HS Esslingen) SS / 12

7 Vorberachungen zur Dierenzial- und Inegralrechnung Rechenregeln fürs Dierenzieren Formales Dierenzieren Regeln: ( αf (x) + βg(x) ) = αf (x) + βg (x) ( f (x) g(x) ) = f (x) g(x) + f (x) g (x) ( ) f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) ( ) g(x) 2 g(x) ( f (g(x)) ) = f (g(x)) g (x) bzw. d [ ] df f (g(x)) = dx dg dg dx Beispiele: f (x) = x 3 2x f (x) = 3x 3 4x s() = sin(2) ṡ() = 1 sin(2) + ( cos(2) 2 ) f (x) = sin x cos x f (x) = f (x) = cos ( x 2) f (x) = sin ( x 2) 2x.. cos x cos x sin x ( sin x) cos 2 x = 1 cos 2 x Fakulä Grundlagen (HS Esslingen) SS / 12

8 Vorberachungen zur Dierenzial- und Inegralrechnung Inegral bei Bewegungsvorgängen konsane Geschwindigkei v 0 v() 0 Geschwindigkei Weg Zei s( 0 ) Der zurückgelege Weg wächs linear (proporional) mi der Zei! linear wachsende Geschwindigkei c 0 2 v() s( 0 ) v = c Weg s() is deubar als grüne Fläche. Durchschnisgeschwindigkei in [0, 0]: ṽ = c 0 2 Der zurückgelege Weg s( 0) = ṽ 0 = c wächs quadraisch mi! Weg s() is deubar als grüne Fläche. s 0 s() s() s = v 0 0 s = c 2 2 Phsyik: Wodurch änder sich Geschwindigkei? Kräfe F verändern Geschwindigkei. Beschleunigung a: Veränderung der Geschwindigkei pro Zeieinhei F = m a Fakulä Grundlagen (HS Esslingen) SS / 12 s 0 0

9 Vorberachungen zur Dierenzial- und Inegralrechnung Inegral bei Bewegungsvorgängen Bewegung mi konsaner Beschleunigung s() : Weg in Abhängigkei von v() : Geschwindigkei: Veränderung Weg bzgl. a() : Beschleunigung: Veränderung Geschwindigkei bzgl. Newon: m a() = F (, s) speziell für a() = a 0, d. h. konsane Beschleunigung a() v( 0 ) v() s( 0 ) v = a 0 s() a 0 s = a Mahemaischer Formalismus: ds d = d d [ a0 2 2] = a 0 s() = dv d = d d [ a0 ] = a 0 v() = 0 0 a 0τ dτ = a 0 a 0 dτ 2 2 = a dτ : Flächeninhalsfunkion 0... dτ : Umkehrung der Dierenziaion Fakulä Grundlagen (HS Esslingen) SS / 12

10 Vorberachungen zur Dierenzial- und Inegralrechnung Inegral bei Bewegungsvorgängen Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkei, Weg a() d d v() s( 1 ) a( 2 ) d d s() Is die Weg-Zei-Funkion bekann, so ergib sich daraus durch Dierenzieren eindeuig die Geschwindigkei v() und Beschleunigung a(). Is nur a() bekann, so muss noch die Sargeschwindigkei bekann sein, d. h. die Geschwindigkei läss sich aus a() nur bis auf eine addiive Konsane besimmen. Analog is bei bekanner Geschwindigkei v() die Weg-Zei-Funkion s() nur bis auf eine addiive Konsane - der Sarpunk besimm. Man läss beide Inegraionsgrenzen weg:... d unbesimmes Inegral s() = v() = a() = 10 6 a() = v() = (1 + 2)d = v 0 a() = ( v 0)d = v0 + s0 2 3 Fakulä Grundlagen (HS Esslingen) SS / 12

11 Vorberachungen zur Dierenzial- und Inegralrechnung Inegralbegri eche Mahemaik: Inegral als Grenzprozess y y = f (x) Approximaion durch Rechecke, Trapeze, ec. 1 Recheckhöhe am rechen Inervallrand a b a f f (x)dx i ) i k=1 Anzahl Unereilungen Ar ,1250 4,0373 3,9896 3, ,7123 3,8310 3,8865 3, ,9496 3,9419 3,9400 3, ,9186 3,9341 3,9380 3, b x 2 Recheckhöhe am linken Inervallrand 3 Recheckhöhe an Inervallmie 4 Trapeze n f (x i ) i = k=1 b f (x)dx a Bei guarigen Funkionen führ dieser Grenzprozess unabhängig von der Ar der Approximaion zum gleichen Grenzwer. Is die Flächeninhalsfunkion F (x) bekann, so muss dieser Grenzprozess nich durchgeführ werden. b f (x)dx = F (b) F (a) a Fakulä Grundlagen (HS Esslingen) SS / 12

12 Vorberachungen zur Dierenzial- und Inegralrechnung Inegralbegri eche Mahemaik: Haupsaz Ableiung der Flächeninhalsfunkion an einer Selle mi posiiver Seigung von f (x) Die Dierenzäche kann durch ein Rechecke angenäher und eingegrenz werden. y f (x) Dierenzäche: F (x 0 +h) F (x 0) = F (x 0, h) F (x 0, h) f (x 0) h F (x 0, h) f (x 0 + h) h x 0 x 0 + h x F (x 0, h) = f (x 0 + δ h) h 0 δ 1 f (x 0) h F (x 0 + h) F (x 0) f (x 0 + h) h F (x 0 + h) F (x 0) = f (x 0 + δ h) h F (x0 + h) F (x0) F (x 0 + h) F (x 0) f (x 0) f (x 0 + h) = f (x 0 + δ h) h h df f (x 0) = dx (x0) = f (x0) df (x0) = f (x0) dx Fakulä Grundlagen (HS Esslingen) SS / 12

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