Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE

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1 Physik-Department LS für Funktionelle Materialien WS 2017/18 Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Volker Körstgens, Dr. Neelima Paul, Sebastian Grott, Lucas Kreuzer, Simon Schaper, Tobias Widmann Vorlesung , Übungen und Blatt 2 1. Dimensionsanalyse Die Geschwindigkeit v eines Körpers hänge von der Zeit t in der Form v = At 2 Bt ab. a) Bestimmen Sie die korrekte SI-Einheit für [A]. b) Bestimmen Sie die korrekte SI-Einheit für [B]. v = At 2 Bt [v] = [At 2 ] = [Bt] = m s [A][t 2 ] = m s [A] = m s 1 s 2 = m s 3 [B][t] = m s [B] = m s 2 c) Die Kraft zwischen zwei Massen M und m hängt vom Abstand R nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz in der folgenden Weise ab: F = γ Mm mit γ als Gravitationskonstante und R 2 F als Gravitationskraft. Welche Dimension hat γ, wenn die Kraft F die Dimension kg m hat? s 2 kg m s 2 F = γ Mm R 2 = [γ] [F] = [γ] [M][m] [R] 2 kg kg m 2 [γ] = kg m3 kg 2 s 2 [γ] = m3 kg s 2

2 2. Differenzieren a) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f (x) = x 3 an der Stelle x 0 = 1,5 und fertigen Sie eine Zeichnung mit der Steigungs-Tangente an! f (x) = x 3 f (x) = 3 x 2 f (x 0 ) = 3 1,5 2 = 6,75 b) Berechnen Sie dy dx für y(x) = x e2x + sin x 2. y(x) = x e 2x + sin( x 2 ) dy dx = y (x) = e 2x + 2x e 2x cos( x 2 ) c) Berechnen Sie die erste und die zweite Ableitung von l(t) = A sin(ωt + ϕ) + B cos(ωt + ϕ) nach t. l(t) = A sin(ωt + ϕ) + B cos(ωt + ϕ) dl(t) dt = Aω cos(ωt + ϕ) Bω sin(ωt + ϕ) d 2 l(t) dt 2 = Aω 2 sin(ωt + ϕ) Bω 2 cos(ωt + ϕ) 2

3 d2 l dt 2 = ω2 l(t) 3

4 3. Zugfahrt Ein Zug fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von v z = 90 km/h. Zunächst fährt er 40 Minuten lang genau nach Osten. Dann biegt er in einem Winkel von 50 nach links ab und fährt für 20 Minuten geradlinig weiter. Schließlich fährt der Zug 50 Minuten lang genau nach Westen. a) Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit v m des Zuges, bezogen auf Start- und Endpunkt, in der Einheit km/h! Wir verwenden das Koordinatensystem mit y Richtung Norden und x Richtung Osten. Der Ursprung des Koordinatensystems sei gleich dem Startpunkt des Zugs. r = r 1 + r 2 + r 3 = 90 km/h 40 min = x+ 60 min/h 90 km/h 20 min + cos(50 ) x + 60 min/h 90 km/h 50 min x 60 min/h 90 km/h 20 min 60 min/h r = 4,28 km x + 23,0 km ŷ sin(50 ) ŷ Die Gesamtzeit für die Fahrt beträgt t = ( ) min = 110 min = 1,83 h. Damit ergibt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit Der Betrag hiervon ist v m = 2,34 km/h x + 12,57 km/h ŷ v m = 2, km/h = 13 km/h b) Bestimmen Sie den Winkel ϕ, den die Verbindung von Start und Ziel zur Nordrichtung bildet (Nord = 0, Ost = 90, etc.)! Die Richtung von v m ist ϕ = arctan ( ) 4,28 = 11 23,0 4

5 4. Frauenkirche Wir lassen einen Stein von einem der Türme der Frauenkirche fallen. Nach τ = 4,3 s schlägt er unten auf. Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit v end, die mittlere Geschwindigkeit v mit und die Fallhöhe h. x(t) = x 0 + v 0 t a t2 ; v(t) = dx(t) dt = v 0 + a t; a(t) = dv(t) dt x 0 = 0 m; v 0 = 0 m/s; a = g (x-achse zum Boden!) = a = const h = x(t = τ) = 1 2 aτ2 = 0,5 9,81 m/s 2 (4,3 s) 2 = 91 m v end = v(t = τ) = a τ = 9,81 m/s 2 4,3 s = 42 m/s v mit = x(t 2) x(t 1 ) t 2 t 1 = x(τ) x(0 s) τ 0 s = 91 m 4,3 s = 21 m/s Alternativ durch explizite Berechnung des Mittelwertes (funktioniert auch, wenn x(t) = h unbekannt): v mit = v = 1 τ τ 0 v(t)dt = 1 τ τ 0 g t dt = g [ t 2 ] τ 2 τ 0 = g ( τ 2 0 ) 2 τ v mit = g τ2 τ 2 = 1/2 g τ = 0,5 9,81 m/s2 4,3 s = 21 m/s 5

6 5. Kugelkoordinaten Das Garchinger Atomei befindet sich geographisch bei den Koordinaten ,03 N, ,62 O. Die Koordinatensysteme haben ihren Ursprung im Mittelpunkt der Erde, die z-achse weist zum Nordpol, der Nullmeridian liegt bei y = 0. Der Radius der Erde ist r E = 6371 km. a) Geben Sie die Lage vom Atomei in Kugelkoordinaten an, wie sie in der Vorlesung eingeführt wurden und verwenden Sie die Einheiten [r] = km und rad für die Winkel. Genauigkeiten: r E ist mit der Genauigkeit von 1 km gegeben. Daher hier auch für Winkel nur die Genauigkeit sinnvoll, die 1 km entspricht. l = r E α = α = l r E = 1 km = 0, rad 0,0002 rad 6371 km Wir verwenden also im Bogenmaß 4 Stellen hinter dem Komma. 1 Geographische Koordinaten Breitengrad: Längengrad: β = ,03 = ( / ,03/3600) = 48, = = 48, π = 0,8424 rad 180 λ = ,62 = ( / ,62/3600) = 11, = = 11, π = 0,2038 rad Einheit rad ist Pseudo-Einheit, kann (in der Physik) auch weggelassen werden: entweder 2 (mit Einheit) oder 2 rad = 2 (mit oder ohne Einheit). 6

7 Kugelkoordinaten (s. Abb.) φ = λ = 0,2038, ϑ = π/2 β = 0,7284 r(r, ϑ, φ) = (6371 km, 0,7284, 0,2038) b) Bestimmen Sie die Lage vom Atomei in kartesischen Koordinaten. Nach Vorlesung und Abbildung: r = r sin(ϑ) cos(φ) e x + r sin(ϑ) sin(φ) e y + r cos(ϑ) e z r = 6371 km sin(0,7284) cos(0,2038) e x km sin(0,7284) sin(0,2038) e y km cos(0,7284) e z 4153 km r = 4153 km e x km e y km e z = 858 km 4754 km c) Die Golden Gate Bridge befindet sich bei den geographischen Koordinaten N, W. Bestimmen Sie die direkte Entfernung vom Garchinger Atomei zur Golden Gate Bridge. Gesucht ist nicht die Entfernung Luftlinie, sondern die direkte Entfernung durch die Erde hindurch. Der Abstand zwischen zwei Punkten ist der Betrag des Vektors zwischen den beiden Punkten: r ab = r a + r b Hier ist r a der Vektor vom Erdmittelpunkt zum Atomei, r b der vom Erdmittelpunkt zur Golden Gate Bridge und r ab der Vektor vom Atomei zur Brücke (Zeichnung!). In kartesischen Koordinaten ist die Länge eines Vektors gegeben durch r ab = xab 2 + y2 ab + z2 ab Wir bestimmen also den Entfernungsvektor in kartesischen Koordinaten und nehmen den Betrag hiervon. Geographische Koordinaten Breitengrad: β = N ; Längengrad: λ = W Kugelkoordinaten (s. Abb.) Also: r ab = r a + r b = r E φ a = λ a 0,2038 ϑ a 0,7284 φ b = ,1377 ϑ b = π/ ,9107 sin ϑ a cos φ a sin ϑ a sin φ a cos ϑ a + r E sin ϑ b cos φ b sin ϑ b sin φ b cos ϑ b 7

8 r ab = r E sin ϑ b cos φ b sin ϑ a cos φ a sin ϑ b sin φ b sin ϑ a sin φ a cos ϑ b cos ϑ a r ab = r E (sin ϑ b cos φ b sin ϑ a cos φ a ) 2 + (sin ϑ b sin φ b sin ϑ a sin φ a ) 2 + (cos ϑ b cos ϑ a ) 2 = r E 1,34813 = 8588,93 km 8589 km Die direkte Entfernung vom Atomei zur Golden Gate Bridge beträgt 8589 km. Anmerkung: Alternativ kann man auch erst die kartesischen Koordinaten für die Golden Gate Bridge ausrechnen und dann mit r ab = (x b x a ) 2 + (y b y a ) 2 + (z b z a ) 2 den Abstand zum Garchinger Atomei berechnen. 8