Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 1 von /2018

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1 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 1 von /2018 Die nachfolgenden prozessbezogenen Kompetenzen sind nicht an bestimmte Inhalte geknüpft und werden ständig im Mathematikunterricht der Qualifikationsstufe geschult: Mathematisch argumentieren erläutern in inner- und außermathematischen Situationen Strukturen und Zusammenhänge und stellen darüber Vermutungen auf, begründen oder widerlegen Aussagen in angemessener Fachsprache mit mathematischen Mitteln, reflektieren und bewerten Argumentationen und Begründungen auf Schlüssigkeit und Angemessenheit, vertreten eigene Problemlösungen und Modellierungen, vergleichen und bewerten verschiedene Begründungen für einen mathematischen Sachverhalt (nur ea), variieren Situationen, stellen Vermutungen auf und untersuchen diese (nur ea). Probleme mathematisch lösen finden in inner- und außermathematischen Situationen Probleme, formulieren diese mit eigenen Worten und in mathematischer Fachsprache, überprüfen die Plausibilität der Ergebnisse, beschreiben, vergleichen und bewerten Lösungswege, Mathematisch modellieren beschreiben Realsituationen und Realprobleme durch mathematische Modelle wie z. B. durch Funktionen, Zufallsversuche, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Matrizen, Koordinaten und Vektoren, interpretieren Ergebnisse aus Modellrechnungen in der Realsituation und modifizieren ggf. das Modell, reflektieren die Grenzen von Modellen und der mathematischen Beschreibung von Realsituationen, verwenden Regressionen zur Ermittlung eines mathematischen Modells,

2 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 2 von /2018 ordnen einem mathematischen Modell verschiedene passende Realsituationen zu und reflektieren so die Universalität von Modellen, führen mit den Verfahren der Infinitesimalrechnung, mit denen der Koordinaten- und Vektorgeometrie und/oder der Matrizenrechnung sowie mit denen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Berechnungen im Modell durch und interpretieren das Verfahren ggf. hinsichtlich der Realsituation, vereinfachen durch Abstrahieren und Idealisieren Realsituationen, um sie einer mathematischen Beschreibung zugänglich zu machen (nur ga). vereinfachen durch Abstrahieren und Idealisieren Realsituationen, um sie einer mathematischen Beschreibung zugänglich zu machen, und reflektieren die Vereinfachungsschritte (nur ea) Mathematische Darstellungen verwenden, begründen ihre Auswahl von Darstellungen (nur ga). begründen ihre Auswahl von Darstellungen und reflektieren allgemeine Vor- und Nachteile sowie die Grenzen unterschiedlicher Darstellungsweisen (nur ea). Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen verwenden mathematische Symbole zum Strukturieren von Informationen, zum Modellieren und zum Problemlösen, reflektieren deren Verwendung und übersetzen zwischen symbolischer und natürlicher Sprache, arbeiten mit Funktionstermen, mit Gleichungssystemen sowie mit Vektoren und/oder Matrizen, setzen die eingeführte Technologie in allen Themenfeldern als sinnvolles Werkzeug zum Lösen mathematischer Probleme ein, belegen ihr Grundverständnis für elementare algorithmische Verfahren, indem sie diese auch ohne die eingeführte Technologie in überschaubaren Situationen ausführen.

3 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 3 von /2018 Kommunizieren erfassen, interpretieren und reflektieren mathematikhaltige authentische Texte, erläutern eigene Problembearbeitungen und Einsichten sowie mathematische Zusammenhänge mit eigenen Worten und unter Verwendung geeigneter Fachsprache, dokumentieren Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse auch im Hinblick auf die verwendete Technologie und stellen diese verständlich dar, präsentieren Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse unter Verwendung geeigneter Medien, verwenden Fachtexte bei der selbstständigen Arbeit an Problemen (nur ea) Hinweis: Aufgrund eines Schreibens des Nds. Kultusministeriums müssen folgende in blau gedruckten Inhalte aufgrund der Inhalte der Bundesbildungsstandards zusätzlich aufgenommen bzw. können gestrichen werden. Lernbereich: Kurvenanpassung - Interpolation kennen den GAUSS-Algorithmus als ein Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme, lösen lineare Gleichungssysteme mit der eingeführten Technologie, II. Lineare Gleichungssysteme 2.1 Das Gauß-Verfahren 2.2 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme Lernbereich: Raumanschauung und Koordinatisierung Analytische Geometrie / Lineare Strukturen nutzen ihre sichere mathematische Orientierung im Anschauungsraum zur Beschreibung und Lö- VII. Schlüsselkonzept: Vektoren 7.1 Punkte im Raum 7.2 Vektoren 7.3 Rechnen mit Vektoren Mathematische Darstellungen verwenden wechseln zwischen verschiedenen Darstellungsformen, z. B. zwischen geometrischer und vektorieller Darstellung und/oder zwischen Matrizen und Verflechtungs- bzw. Prozessdiagrammen,

4 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 4 von /2018 sung von inner- und außermathematischen Problemen in Ebene und Raum, sowohl bildlich als auch mithilfe von Koordinaten, wenden die Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Vektoren an und veranschaulichen sie geometrisch, erkennen die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren, 7.4 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren 7.5 Geraden 7.6 Gegenseitige Lage von Geraden 7.7 Längen messen Einheitsvektoren Exkursion: Vektoren in anderen Zusammenhängen beschreiben Geraden durch Gleichungen in Parameterform, erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Geraden und lösen Schnittprobleme, bestimmen Streckenlängen im Raum, beschreiben Geraden durch Gleichungen in Parameterform, wenden Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig begrenzten geometrischen Objekten an, Lernbereich: Kurvenanpassung - Interpolation geben die maximale Definitionsmenge von Funktionen, auch in Sachsituationen an, kennen abschnittsweise definierte Funktionen, nutzen die Stetigkeit, Differenzierbarkeit und das Krümmungsverhalten zur Synthese von abschnittsweise definierten Funktionen, Teilweise Wiederholung aus Jahrgang 10 I. Schlüsselkonzept: Ableitung 1.1 Wiederholung: Ableitung und Ableitungsfunktion 1.2 Wiederholung: Ableitungsregeln und höhere Ableitungen 1.3 Die Bedeutung der zweiten Ableitung 1.4 Kriterien für Extremstellen 1.5 Kriterien für Wendestellen Probleme mathematisch lösen wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese auch unter Nutzung der eingeführten Technologie an, reflektieren und bewerten die benutzten Strategien,

5 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 5 von /2018 erkennen Symmetrien von Graphen und weisen vorhandene Punktsymmetrie zum Ursprung bzw. Achsensymmetrie zur y-achse nach, erkennen Monotonie- und Krümmungsverhalten von Graphen und nutzen dies zur Begründung der Existenz von Extrem- und Wendepunkten, 1.6 Probleme lösen im Umfeld der Tangente 1.7 Mathematische Fachbegriffe in Sachzusammenhängen 1.8 Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen 1.9 Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen variieren vorgegebene Probleme und untersuchen die Auswirkungen auf die Problemlösung (nur ea). nutzen notwendige Bedingungen sowie inhaltliche Begründungen zur Bestimmung von lokalen Extrem- und Wendestellen, verwenden ln, um einfache Exponentialgleichungen aufzulösen bestimmen die Ableitung von x x wenden Verfahren zur Lösung linearer und quadratischer Gleichungen mit einfachen Koeffizienten sowie einfacher linearer Gleichungssysteme an nutzen bei Funktionen und Scharen ganzrationaler Funktionen charakteristische Merkmale wie Extremstellen, Wendestellen und Krümmungsverhalten zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme II. Trassierungen 2.3 Trassierungen 2.4 Exkursion: Kubische Splines 2.5 Funktionenscharen (ausschließlich ganzrationale Funktionen Probleme mathematisch lösen wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese auch unter Nutzung der eingeführten Technologie an, reflektieren und bewerten die benutzten Strategien, variieren vorgegebene Probleme und untersuchen die Auswirkungen auf die Problemlösung (nur ea). Mathematische Darstellungen verwenden

6 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 6 von /2018 verwenden verschiedene Darstellungsformen von Funktionen und wechseln zwischen diesen Lernbereich: Wachstumsmodelle - Exponentialfunktionen kennen Verknüpfungen und Verkettungen der e- Funktion mit ganzrationalen Funktionen zur Beschreibung von inner- und außermathematischen Problemen und verwenden Ableitungsregeln Produkt- und Quotientenregel, Kettenregel beim Lösen dieser Probleme, untersuchen das Grenzverhalten von Funktionen unter Berücksichtigung von Polstellen und waagerechten Asymptoten der zugehörigen Graphen, führen Parametervariationen zur Anpassung von Funktionen an Daten durch, nutzen bei Scharen von Funktionen, die durch Verknüpfungen und Verkettungen der e-funktion mit ganzrationalen Funktionen entstehen, charakteristische Merkmale zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme, III. Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen 3.1 Neue Funktionen aus alten Funktionen: Produkte, Quotient, Verkettung 3.2 Kettenregel 3.3 Produktregel 3.4 Quotientenregel 3.5 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung 3.6 Exponentialgleichungen und natürlicher Logarithmus 3.7 Funktionenscharen (nur ea) Exkursion: Parameterdarstellung von Kurven Exkursion in die Theorie: Logarithmusfunktion und Umkehrfunktion Probleme mathematisch lösen wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese auch unter Nutzung der eingeführten Technologie an, reflektieren und bewerten die benutzten Strategien, variieren vorgegebene Probleme und untersuchen die Auswirkungen auf die Problemlösung (nur ea).

7 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 7 von /2018 Lernbereich: Daten darstellen und auswerten Beschreibende Statistik X. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung verwenden die Grundbegriffe Ergebnis, Ereignis, 10.1 Wiederholung: Wahrscheinlichkeiten Ergebnismenge zur Beschreibung von Zufallsexperimenten, 10.2 Daten darstellen und auswerten stellen Häufigkeits- und Wahrscheinlichkeitsverteilungen in Histogrammen dar, interpretieren und nutzen diese Darstellungen, charakterisieren und interpretieren Datenmaterial mithilfe der Kenngrößen arithmetisches Mittel, Standardabweichung sn und Stichprobenumfang und setzen die eingeführte Technologie sinnvoll ein, kennen und bestimmen das arithmetische Mittel als Lagemaß und die empirische Standardabweichung sn als Streumaß einer Stichprobe Lernbereich: Mit dem Zufall rechnen Wahrscheinlichkeitsrechnung beschreiben die Zufallsgröße als Funktion und stellen diese tabellarisch und grafisch dar, nutzen Zufallsgrößen zur sachgerechten Strukturierung der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments, charakterisieren Wahrscheinlichkeitsverteilungen anhand der Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung, berechnen diese auch unter Verwendung der eingeführten Technologie und nutzen sie für Interpretationen, X. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 10.3 Erwartungswert und Standardabweichung bei Zufallsgrößen 10.4 Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung 10.5 Praxis der Binomialverteilung 10.6 Problemlösen mit der Binomialverteilung 10.7 Binomialverteilung Erwartungswert und Standardabweichung 10.8 Wahrscheinlichkeiten schätzen Vertrauensintervalle (nur für gn) Mathematische Darstellungen verwenden stellen Zufallsexperimente auf verschiedene Weise dar und berechnen damit Wahrscheinlichkeiten,

8 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 8 von /2018 stellen Binomialverteilungen auch unter Verwendung der eingeführten Technologie grafisch dar, kennen das Modell der BERNOULLI-Kette, können in diesem Modell rechnen und es zum Modellieren sachgerecht anwenden, Wahlthema: Testen berechnen Erwartungswert und Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße, nutzen den Erwartungswert und die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße für Interpretationen, untersuchen Sachverhalte mithilfe von Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln und lösen Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten untersuchen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente anhand einfacher Beispiele auf stochastische Unabhängigkeit mit Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln. Lernbereich: Von der Änderung zum Bestand Integralrechnung sollen... berechnen Bestände aus Änderungsraten, deuten das bestimmte Integral als aus Änderungen rekonstruierter Bestand und als Flächeninhalt, kennen den Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren, IV. Schlüsselkonzept: Integral 4.1 Rekonstruieren einer Größe 4.2 Das Integral 4.3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 4.4 Bestimmung von Stammfunktionen 4.5 Integralfunktionen Integral und Flächeninhalt

9 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 9 von /2018 begründen geometrisch anschaulich den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (nur ea), 4.6 Unbegrenzte Flächen (nur ea) 4.7 Integral und Rauminhalt (nur ea) 4.8 kennen Stammfunktionen für die Funktionen x x e x sin(x),, x x und, darunter auch 1 x x, n x x ; n nutzen den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral zur Bestätigung von Stammfunktionen, bestimmen Flächeninhalte begrenzter Flächen, wenden Rechengesetze für bestimmte Integrale an, berechnen unbestimmte Integrale mithilfe der Summen- und Faktorregel, bestimmen Flächeninhalte unbegrenzter Flächen (nur ea). interpretieren uneigentliche Integrale als Grenzwerte sowohl von Beständen als auch von Flächeninhalten (nur ea) begründen die Volumenformel für Körper, die durch Rotation um die x-achse entstehen (nur ea),

10 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 10 von /2018 Lernbereich: Wachstumsmodelle - Exponentialfunktionen untersuchen das Grenzverhalten von Funktionen unter Berücksichtigung von Polstellen und waagerechten Asymptoten der zugehörigen Graphen, nutzen bei Funktionen und Scharen ganzrationaler Funktionen charakteristische Merkmale wie Extremstellen, Wendestellen und Krümmungsverhalten zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme, führen Parametervariationen zur Anpassung von Funktionen an Daten durch, nutzen bei Scharen von Funktionen, die durch Verknüpfungen und Verkettungen der e-funktion mit ganzrationalen Funktionen entstehen, charakteristische Merkmale zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme, V. Graphen und Funktionen analysieren 5.1 Achsen- und Punktsymmetrie bei Graphen 5.2 Polstellen Senkrechte Asymptoten 5.3 Verhalten für x - Waagerechte Asymptote 5.4 Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen 5.5 Funktionsanalyse: Nachweis von Eigenschaften 5.6 Funktionen mit Parametern (nur ea) 5.7 Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen (nur ea) 5.8 Funktionsanpassung bei trigonometrischen Funktionen (nur ea) Exkursion: Geschichte der Analysis Lernbereich: Raumanschauung und Koordinatisierung Analytische Geometrie / Lineare Strukturen beschreiben Geraden und Ebenen durch Gleichungen in Parameterform, beschreiben einfache Sachverhalte mit Tupeln o- der Matrizen bestimmen Normalenvektoren beschreiben Ebenen durch Gleichungen in Parameterform, in Normalenform und in allgemeiner Koordinatenform VIII. Geometrische Probleme lösen 8.1 Ebenen im Raum 8.2 Lagen von Ebenen erkennen und Ebenen zeichnen 8.3 Zueinander orthogonale Vektoren Skalarprodukt 8.4 Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden 8.5 Winkel zwischen Vektoren - Skalarprodukt

11 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 11 von /2018 erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Ebenen und lösen Schnittprobleme (nur ea) nutzen das Skalarprodukt zur Bestimmung der Winkelgröße zwischen Vektoren, deuten das Skalarprodukt geometrisch, erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Geraden sowie von Gerade und Ebene und lösen Schnittprobleme, 8.6 Schnittwinkel 8.7 Gegenseitige Lage von Ebenen (nur ea) 8.8 Abstand eines Punktes von einer Gerade bzw. einer Ebene (nur ea) Wahlthema: Normalengleichung und Koordinatengleichung einer Ebene Exkursion in die Theorie: Abstand windschiefer Geraden Exkursion: Vektoris 3D bestimmen Winkel zwischen zwei Geraden, zwischen Gerade und Ebene und zwischen zwei Ebenen bestimmen Abstände zwischen Punkten, zwischen Punkt und Ebene, zwischen Gerade und Ebene sowie zwischen Ebenen bestimmen Abstände zwischen Punkt und Gerade sowie zwischen Geraden (nur ea) erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Ebenen und lösen Schnittprobleme (nur ea) wenden Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig begrenzten geometrischen Objekten an,

12 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 12 von /2018 Lernbereich: Mehrstufige Prozesse Matrizenrechnung beherrschen die Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Matrizen sowie die Rechengesetze für Matrizen, nutzen die Matrizenmultiplikation zur Lösung von Fragen aus dem Bereich der Materialverflechtung, kennen Bedingungen für die Existenz von inversen Matrizen, wenden Potenzen von Matrizen im Bereich stochastischer Prozesse im Zusammenhang mit Käufer- und Wahlverhalten an und interpretieren die Grenzmatrix sowie den Fixvektor, wenden Potenzen von Matrizen im Bereich von Populationsentwicklungen an und interpretieren zyklisches Verhalten (nur ea) IX. Matrizen Lernbereich: Wachstumsmodelle - Exponentialfunktionen untersuchen das Grenzverhalten von Funktionen unter Berücksichtigung von Polstellen und waagerechten Asymptoten der zugehörigen Graphen, nutzen bei Funktionen und Scharen ganzrationaler Funktionen charakteristische Merkmale wie Extremstellen, Wendestellen und Krümmungsverhalten zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme, 9.1 Beschreibung von einstufigen Prozessen durch Matrizen 9.2 Rechnen mit Matrizen 9.3 Zweistufige Prozesse - Matrizenmultiplikation 9.4 Inverse Matrizen 9.5 Stochastische Prozesse 9.6 Populationsentwicklungen Zyklisches Verhalten (nur ea) Wahlthema: Das Leontief-Modell VI. Wachstum modellieren 6.1 Exponentielles Wachstum modellieren 6.2 Begrenztes Wachstum 6.3 Differenzialgleichung bei Wachstum (nur ea) 6.4 Logistisches Wachstum 6.5 Datensätze modellieren Regression Wahlthema: Veränderungen mit Folgen beschreiben Exkursion in der Theorie: Differentialgleichungen Probleme mathematisch lösen wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese auch unter Nutzung der eingeführten Technologie an, reflektieren und bewerten die benutzten Strategien, variieren vorgegebene Probleme und untersuchen die Auswirkungen auf die Problemlösung (nur ea). Mathematische Darstellungen verwenden verwenden verschiedene Darstellungsformen von Funktionen und wechseln zwischen diesen Probleme mathematisch lösen wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese auch unter Nutzung der eingeführten Technologie an, reflektieren und bewerten die benutzten Strategien, variieren vorgegebene Probleme und untersuchen die Auswirkungen auf die Problemlösung (nur ea).

13 Arbeitsplan für den Mathematikunterricht am Niedersächsischen Internatsgymnasium Seite 13 von /2018 führen Parametervariationen zur Anpassung von Funktionen an Daten durch, nutzen bei Scharen von Funktionen, die durch Verknüpfungen und Verkettungen der e-funktion mit ganzrationalen Funktionen entstehen, charakteristische Merkmale zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme, erkennen den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion und deuten die resultierende Differentialgleichung im Sachkontext der Wachstumsmodelle, Lernbereich: Mit dem Zufall rechnen Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen (nur ea) grenzen diskrete von stetigen Zufallsgrößen ab (nur ea), verwenden die Normalverteilung als spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung (nur ea).können für große n auf der Grundlage der -Umgebungen um den Erwartungswert für binomialverteilte Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen, - Vertrauensintervalle zu beliebigen Vertrauenswahrscheinlichkeiten schätzen (nur ea) XI. Stetige Zufallsgrößen 11.1 Stetige Zufallsgröße: Integrale besuchen die Stochastik (nur ea) 11.2 Die Analysis der Gauß schen Glockenfunktion (nur ea) 11.3 Die Normalverteilung (nur ea) 11.4 Wahrscheinlichkeiten schätzen (nur ea)