Prof. Dr. Holger Dette Musterlösung Statistik I Sommersemester 2009 Dr. Melanie Birke Blatt 9

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Cathrin Bruhn
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1 Prof r Holger ette Muterlöung Statitik I Sommeremeter 009 r Melanie Birke Blatt 9 Aufgabe : 4 Punkte E eien X,, X n unabhängig identich N µ, -verteilt a Man berechne die Fiher-Information I µ für µ b E ei Man zeige, da gilt ˆµ a = Xn für X n a X n für X n <, a > 0 nˆµa µ mit vµ = für µ 0 und vµ = a für µ = 0 N 0, vµ c Für welche a it ˆµ a effizient? Man zeige auch, da e Fälle gibt, wo gilt Löung: a E it vµ I µ log L X µ = logπ X µ µ log L X µ = X µ [ ] I µ = E µ log L X µ = E[X µ ] = VX = b E it nˆµa µ = n X n µi X n + na n X /4 n µi X n < Für µ = 0 ergibt ich nˆµa µ = n X n µ I n N 0, Für µ = 0 gilt außerdem wegen P 0 I X n 0 P 0 I + a n X n µ N 0,a X n > ε ε V 0 I X n = 4Φ Φ n 0 I X n < = P 0 n Xn + P 0 n Xn = Φ + Φ = Φ und I X n n Bin, Φ Alo gilt I X /4 n I X n < P n und mit dem Lemma von Slutky folgt für µ = 0 /4 nˆµa µ N 0, a P 0 Genauo zeigt man

2 Für µ 0 gilt nˆµa µ = n X n µ I n N 0, + a n X n µ N 0,a I X n < + nµa I n X /4 n < Wir zeigen zuert die Konvergenz in Wahrcheinlichkeit de letzten Audruck gegen 0 azu ei ε > 0 ε und e exitiert ein n 0 IN o da für alle n n 0 gilt n µa < n µa P µ I X n < > ε = P µ I X n < = P µ X n < ε > n µa = P µ n / µ < n / X n µ < n / µ = Φ n / µ Φ n / µ für µ<0 0 für µ>0 n für µ<0 0 für µ>0 a bedeutet n µa I X n < P 0 Genauo zeigt man I Xn < I X n P n Mit dem Lemma von Slutky erhält man hier /4 nˆµa µ N 0,, n 0 P 0 und alo die Behauptung c Für a = gilt ˆµ = X n und omit it ˆµ effizient für µ Für allgemeine a < und µ = 0 it die aymptotiche Varianz von nˆµ a µ mit a < = I µ Solche Schätzer, für die die aymptotiche Varianz zumindet für einige wenige Parameterwerte kleiner al die Invere der Fiher-Information it heißen auch upereffizient! Aufgabe : 4 Punkte E eien X,, X n unabhängig identich N µ, σ-verteilt und Y,, Y m unabhängig identich N µ, σ- verteilt und X i n i= und Y j m j= eien unabhängig Man finde ein α-konfidenzintervall für σ σ a µ und µ bekannt b µ und µ unbekannt c einer der beiden Erwartungwerte unbekannt it? Löung: a Wenn µ und µ bekannt ind, ind = n n i= X i µ und = m m i= Y i µ unabhängige Schätzer für σ und σ und e gilt n σ α = P σ,σ = P σ,σ χ n, m σ F m,n,α/ σ σ F m,n,α/ σ σ amit it [ ] F m,n,α/, F m,n, α/ ein α-konfidenzintervall für σ Ein Anatz mit σ σ n,m führt zunächt zu α P σ,σ σ F n,m, α/ σ σ wenn χ m ehalb gilt σ σ m,n und F m,n, α/ F m,n, α/ F n,m,α/

3 a ergibt jedoch daelbe Konfidenzintervall wie oben da gilt F j,k,β = F k,j, β für j, k IN, β 0, b Sind µ und µ beide unbekannt, o ind = n n i= X i X n und = m m i= Y i X n unabhängige Schätzer für σ und σ und e gilt n σ F m,n und α = P σ,σ = P σ,σ F m,n,α/ σ χ n, m σ σ F m,n,α/ σ σ F m,n, α/ amit it [ ] F m,n,α/, F m,n, α/ F m,n, α/ χ m ehalb gilt σ σ ein α-konfidenzintervall für σ σ c Ohne Einchränkung ei µ bekannt ann ind = n n i= X i µ und = m m i= Y i X n unabhängige Schätzer für σ und σ und e gilt n χ σ n, m χ σ m ehalb gilt σ σ m,n und α = P σ,σ F m,n,α/ σ σ F m,n, α/ = P σ,σ F m,n,α/ σ σ F m,n, α/ amit it [ ] F m,n,α/, F m,n, α/ ein α-konfidenzintervall für σ Analog erhält man für µ σ bekannt da α-konfidenzintervall [ ] F m,n,α/, F m,n, α/ Aufgabe 3: 4 Punkte E ei θ = θ,, θ k T IR k und für j =,, k ei C j θ = c j X, c j X α j -Konfidenzintervall für θ j Weiter ei Cθ = C θ C k θ a Man zeige, da Cθ ein Konfidenzbereich für θ zum Niveau k j= α j it b C θ,, C k θ ind tochatich unabhängig fall die Zufallvariablen c X, c X,, c k X, c k X tochatich unabhängig ind Man zeige, da in dieem Fall Cθ ein Konfidenzbereich zum Niveau k j= α j it Man vergleiche diee Niveau mit dem in a betimmten c E eien nun α = = α k = α Wie mu man in a bzw b α wählen, damit man ein Konfidenzbereich für θ zum vorgegebenen Niveau α erhält? Löung: a Mit der Bonferroni-Ungleichung erhalten wir P θ θ Cθ = P θ θ / Cθ = P θ θ / C θ,, θ k / C k θ P θ θ j / C j θ = α j j= amit it Cθ ein k j= α j -Konfidenzbereich für θ b Sind C θ,, C k θ tochatich unabhängig, o gilt j= P θ θ Cθ = P θ θ C θ,, θ k C k θ = α j j= P θ θ j C j θ j=

4 k und Cθ it damit ein j= α j -Konfidenzbereich für θ Wegen der allgemeinen Bernoulli-Ungleichung gilt α j j= Bewei zb mit Induktion über k und im Fall der Unabhängigkeit der einzelnen Konfidenzintervalle erhält man einen beeren Konfidenzbereich für θ c Im Fall a oll alo gelten k α = α und damit ollte man α = k α wählen Im Fall b oll gelten α k = α und hier wählt man alo α = α /k j= α j Aufgabe 4: E eien X,, X n unabhängig identich Poion-verteilt mit Parameter λ > 0 4 Punkte a Man betimme den Maximum-Likelihood-Schätzer ˆλ für λ und zeige, da dieer aymptotich effizient it b Man finde eine varianztabiliierende Tranformation für ˆλ und betimme darau ein aymptotiche α-konfidenzintervall der Form [0, c] für λ c Man finde eine geeignete Standardiierung, o da c n ˆλ λ N 0, gilt und betimme darau ein aymptotiche α-konfidenzintervall der Form [0, c] für λ d Gegeben ei die Stichprobe 6, 3,, 4, 3, 4,, 5,, 4 von Poion-verteilten Zufallvariablen Man berechne Konfidenzintervalle mit den Methoden au b und c zum Niveau 095 und vergleiche die Reultate Löung: a Wir erhalten mit X = X,, X n log L X λ = nλ + lognλ λ log L Xλ = n + λ i= X i X i i= logx i! Al Nulltelle der zweiten Gleichung erhalten wir den Maximum-Likelihood-Schätzer ˆλ = n n i= X i ie Fiher-Information it [ I λ = E λ + ] λ X = λ E λ[x λ ] = λ V λx = λ λ = λ Mit dem Zentralen Grenzwertatz gilt nˆλ λ N 0, λ λ =I amit it ˆλ aymptotich effizient im Übrigen it ˆλ ogar effizient! b Wir müen eine Funktion g finden mit g λ = λ ann gilt nämlich mit der elta-methode i= ngˆλ gλ N 0, g λλg λ = ie Funktion gλ = λ erfüllt die obige ifferentialgleichung und wir erhalten n λ N 0, arau können wir ein aymptotiche α-konfidenzintervall kontruieren: P λ 0 λ c 0 λ c n c n λ n n c n λ

5 [ Für c = + u α n = ˆλ + u n α + u α n it cv λ 0, ˆλ ] + u α n + u α ein aymptotiche Konfidenzintervall zum Niveau α n c E gilt mit dem Zentralen Grenzwertatz und dem Lemma von Slutky ˆλ it konitent für λ n ˆλ λ N 0, arau kontruieren wir da Konfidenzintervall: P λ 0 λ c n ˆλ c n ˆλ c n ˆλ λ n ˆλ λ n ˆλ Für c = ˆλ + ˆλ + u α n it c λ[0, ˆλ + u α n ] ein aymptotiche Konfidenzintervall zum Niveau α Wir ehen direkt, da da hier kontruierte Konfidenzintervall beer it al da au b, da eine Länge kleiner it! d Für die Konfidenzintervalle au b und c erhält man mit u 095 = 645 ˆλ = 33 c v λ = [0, 433] c λ = [0, 445] Wie wir alo chon in c fetgetellt haben, it c v λ beer al c λ

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