Lineare Gleichungssysteme

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1 Kapitel 6 Lineare Gleichungssysteme 6. Gaußalgorithmus Aufgabe 6. : Untersuchen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme mit dem Gaußalgorithmus auf Lösbarkeit und bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge. a) 2x z = 2x + 4y z = x + 8y + z = 2 b) z 2z 2 + z = 2z + z 2 + z = z + z 2 = z z 2 + 2z = c) u + u 2 u + u 4 = 2u u 2 u u 4 = u + 2u 2 + u + 2u 4 = 2u + 2u 2 u + 2u 4 = d) x + x x 4 + 4x 5 = 2 x x 2 + x 8x 4 + 9x 5 = 8 x + 2x 2 + x + 8x 4 + x 5 = 2x + x 2 + x + x 4 x 5 = 5 Aufgabe 6.2 : Es sei a R eine beliebige, fest vorgegebene reelle Zahl. Bestimmen Sie die Lösung der folgenden linearen Gleichungssysteme in Abhängigkeit vom Parameter a. Führen Sie gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch und geben Sie an, was die jeweilige Lösungsmenge geometrisch darstellt. a) x x 2 + x + x 4 = a 2x + x 2 x + 2x 4 = 2a x + 2x 2 + x = a + b) ax + 2x 2 + x = x 2x = a 2x + 6x 2 + ax = a

2 KAPITEL 6. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 6-2 c) x + x x + 2x 4 = 2x + x x + x 4 = x + 2x 2 + (a + 4)x + (6a + )x 4 = 4x + 5x 2 + x + x 4 = 2 Aufgabe 6. : Es seien A = 4 2 und 2 b =. Untersuchen Sie, 2 a) ob das LGS A x = lösbar ist und bestimmen Sie ggf. die Lösungsmenge, b) ob das LGS A x = b lösbar ist und bestimmen Sie ggf. die Lösungsmenge. 6.2 Struktur von Lösungen linearer Gleichungssysteme Aufgabe 6.4 : Gegeben seien die von den Parametern α, β R abhängigen linearen Gleichungssysteme A x = b mit α a) A = 2 α α, b = α α β b) A = α 2 2, b = β 2 α β c) A = α α, b = β Diskutieren Sie mit dem Gaußalgorithmus die Frage, für welche Werte von α und β die LGS genau eine Lösung, mehrere Lösungen bzw. keine Lösung besitzen. Aufgabe 6.5 : Für welche Werte von t schneiden sich die folgenden vier Ebenen im R in mindestens einem Punkt? E : y + z = E 2 : 2x y + z = E : x + y = 2t E 4 : 2(x y) + t(z ) = Aufgabe 6.6 : Untersuchen Sie, für welche c R die Menge U c = { (x, x 2, x ) R x + x 2 + x = c } ein Untervektorraum des R ist.

3 KAPITEL 6. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 6 - Aufgabe 6. : Es sei x R n. Ermitteln Sie, welche der folgenden Mengen Untervektorräume des R n sind. a) U a = { x R n x } b) U b = { x R n 2x + x = } c) U c = { x R n x = } Aufgabe 6.8 : (vorlesungsübergreifende Aufgabe) Das Prinzip der Vektorräume lässt sich nicht nur auf die klassischen Vektoren (Elemente des R n ) anwenden, sondern auch auf diverse mathematische Strukturen. So bildet der Raum aller Funktionen f : R R einen Vektorraum. D.h. die Eigenschaft aus Definition 6. (allgemeine Hinweise zu diesem Kapitel) sind erfüllt. I) Formulieren Sie zunächst den Satz 6. (allgemeine Hinweise zu diesem Kapitel) um, so dass sich dieser auf den Raum aller Funktionen f : R R anwenden lässt. Benutzen Sie diesen dann, um die nachfolgende Aufgabenstellung zu bearbeiten. II) Welche der folgenden Teilmengen bilden jeweils einen Untervektorraum des Vektorraumes aller Funktionen f : R R? a) A = {f : R R f(x) = f( x)} b) B = {f : R R f(x) < f(x + ) für alle x R} c) C = {f : R R f(x) 5 für alle x R} Aufgabe 6.9 : Die Vektoren a = (, 2, 5, ) T, b = (2,,, 4) T, c = (, 8,, 5) T erzeugen einen Untervektorraum W des R 4. Bestimmen Sie die Dimension von W und geben Sie eine Basis von W an. Aufgabe 6. : Der Kern einer Matrix A R m n ist definiert durch { } ker A := x R n A x =. a) Zeigen Sie: ker A ist ein Untervektorraum des R n. 2 b) Bestimmen Sie ker A für A = Aufgabe 6. : Welche der Abbildungen f i : R R sind linear? a) f (x, x 2, x ) = (sin(x ), x 2 + x, ) b) f 2 (x, x 2, x ) = (2x + x 2, x 2, x + x 2 2 ) c) f (x, x 2, x ) = (x + 2x 2, x + x, x 2 5x ) d) f 4 (x, x 2, x ) = (x, x 2 +, x ) e) f 5 (x, x 2, x ) = (x x 2, x, x + x 2 + x )

4 KAPITEL 6. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 6-4 Schreiben Sie alle linearen Abbildungen in der Form f i (x, x 2, x ) = A x mit A R. Aufgabe 6.2 : a) Untersuchen Sie mit Hilfe des Gaußalgorithmus, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind. 2 5 a =, a 2 =, a = 2 2 b) Bestimmen Sie alle Werte α R für die die folgenden Vektoren linear unabhängig sind. b =, 2 b 2 = α, b = 2 α Aufgabe 6. : Ermitteln Sie ein λ R, für das die folgenden linearen Gleichungssysteme eine nicht triviale Lösung besitzen und berechnen Sie eine solche. ( ) ( ) ( ) 2 λ x a) = 4 λ x 2 2 x b) 2 λ + x 2 = 2 x

5 KAPITEL 6. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 6-5 Allgemeine Hinweise zu Kapitel 6 Vektorräume In Abschnitt 6. haben wir bei der Betrachtung homogener linearer Gleichungssysteme A x = gesehen, dass mit den Lösungen x und x 2 auch deren Summe x + x 2 sowie skalare Vielfache α x Lösungen des Systems sind. Mengen, die genau diese Eigenschaften erfüllen, nennt man Vektorräume. Sie sind in der Mathematik von fundamentaler Bedeutung. Definition 6. : Die Menge V mit den Operationen + und heißt (reeller) Vektorraum, falls gilt: a) Die Addition + ist kommutativ und assoziativ, d.h. für alle v, v 2, v V gilt v + v 2 = v 2 + v und (v + v 2 ) + v = v + (v 2 + v ). b) Es gibt ein eindeutig bestimmtes Element V (das Nullelement), so dass für alle v V gilt v + = v. c) Zu jedem v V gibt es ein mit v bezeichnetes Element in V, so dass v + ( v) =. d) Für die skalare Multiplikation gilt mit α, β R und v, w V v = v, α(β v) = (αβ) v, sowie (α + β) v = α v + β v und α (v + w) = α v + α w. Die verlangten Recheneigenschaften ermöglichen es uns, mit Vektoren genau so zu rechnen, wie wir es mit Zahlen gewohnt sind. Vektorräume sind zum Beispiel R,R 2,...,R n, aber auch die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems. Diese Lösungsmenge weist eine weitere Eigenschaft auf: Sie stellt selbst einen Vektorraum dar und ist als Teilmenge des R m in einem größeren Vektorraum enthalten. Objekte mit dieser Eigenschaft heißen Untervektorräume: Definition 6.2 : Sei V ein Vektorraum. Eine nicht leere Teilmenge U V heißt Untervektorraum von V, falls U gemäß Definition 6. selber wieder ein Vektorraum ist. Satz 6. : Eine Teilmenge U R n ist genau dann ein Untervektorraum, falls gilt: a) U, d.h. U enthält den Nullvektor und ist somit insbesondere nicht leer. b) Für alle u, u 2 U ist auch die Summe u + u 2 U, d.h. U ist bzgl. der Addition abgeschlossen. c) U ist auch bzgl. der skalaren Multiplikation abgeschlossen: Sind α R und u U so gilt, stets α u U. Meyberg&Vachenauer, Band, Springer Verlag

6 KAPITEL 6. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 6-6 Hinweise zu den Aufgaben aus dem Kapitel 6 Hinweis zu 6.2 : b) Es kann sinnvoll sein, die Anordnung der Spalten anzupassen, so dass der Parameter a möglichst selten als Teil eines Pivotelementes vorkommt. Dabei muss die Zuordnung zwischen den Spalten und den Variablen im weiteren Verlauf berücksichtigt werden. Außerdem müssen die Rechenoperationen auf Durchführbarkeit geprüft werden. Gegebenenfalls muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden. Es ist zum Beispiel vorteilhaft in dieser Aufgabe die ersten beiden Spalten zu vertauschen. (Generell sollte auf das Tauschen von Spalten aber besser verzichtet werden, da es sehr fehleranfällig ist) c) Es ist auch möglich die Reihenfolge der Zeilen zu vertauschen. Hinweis zu 6. : zu a) : Homogene Gleichungssysteme sind stets lösbar (warum?) Hinweis zu 6.6 : Nutzen Sie Satz 6. aus den allgemeinen Hinweisen zu diesem Kapitel. Hinweis zu 6. : Benutzen Sie Satz 6. aus den allgemeinen Hinweisen zu diesem Kapitel. Um zu zeigen, dass es sich um einen Untervektorraum handelt, müssen alle Eigenschaften nachgewiesen werden. Dies bedeutet aber im Umkehrschluss, dass eine nicht erfüllte Eigenschaft ausreicht, um zu beweisen, dass es sich um keinen Untervektorraum handelt. Hinweis zu 6. : Zu überprüfen ist, ob die Funktionen f i die folgenden zwei Bedingungen erfüllen ( x, y R, λ R): f i ( x + y) = f i ( x) + f i ( y), f i (λ x) = λ f i ( x). Hinweis zu 6. : Die triviale Lösung eines homogenen Gleichungssytems ist der Nullvektor, hier also x = x 2 =. Für welchen Fall kann es also bei einem homogenen Glechungssystem überhaupt eine nicht triviale Lösung geben?

7 KAPITEL 6. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 6 - Ergebnisse zu den Aufgaben aus dem Kapitel 6 Ergebnis von 6. : a) L = 5 b) L = t c) L = {} d) L = , t R t, t R 5 Ergebnis von 6.2 : a t a) L = + t + t, t R t (Gerade) b) Es muss eine Fallunterscheidung für a = und a gemacht werden. x 2 L a= = x R x 2 = 2 + t 2, t R (Gerade) x (a ) L a = 4 (a2 + 2a + 4) (Punkt) (a ) c) Es muss eine Fallunterscheidung für a = und a gemacht werden. L a= = x R 4 L a = Ergebnis von 6. : x x 2 x x 4 = t , t R (Gerade durch Ursprung) (Punkt)

8 KAPITEL 6. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 6-8 a) L = x R x = s b) L = {} Ergebnis von 6.4 : t 2, s, t R (Ebene) a) Für α = oder α = 2 gibt es unendlich viele Lösungen. Für α und α 2 gibt es nur eine Lösung. b) Fallunterscheidungen: I) α = 2 i) Für α = 2 und β = : mehrere Lösungen. ii) Für α = 2 und β : keine Lösung II) α = i) Für α = und β = 4 : mehrere Lösungen ii) Für α = und β 4 : keine Lösung III) α R\{, 2} eindeutige Lösung des LGS für alle β R c) Fallunterscheidungen: i) mehrere Lösungen: (α, β) = (, ) oder (α, β) = (2, ) ii) keine Lösung: α = 2, β oder α =, β iii) genau eine Lösung: α und α 2 Ergebnis von 6.5 : t = oder t = Ergebnis von 6.6 : c = Ergebnis von 6. : a) U a ist kein Untervektorraum des R n. b) U b ist ein Untervektorraum des R n. c) U c ist kein Untervektorraum des R n. Ergebnis von 6.8 : II) a) A ist Untervektorraum. b) B ist kein Untervektorraum. c) C ist kein Untervektorraum.

9 KAPITEL 6. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 6-9 Ergebnis von 6.9 : dim(w ) = 2, 2 5, 9 2 Ergebnis von 6. : zu b) : ker(a) = x R x = t 2, t R = 2 Ergebnis von 6. : a) Die Abbildung ist nicht linear. b) Die Abbildung ist nicht linear. 2 x c) Die Abbildung ist linear. f ( x) = x 2 5 x d) Die Abbildung ist nicht linear. x e) Die Abbildung ist linear. f 5 ( x) = x 2 x Ergebnis von 6.2 : a) Nur jeweils 2 Vektoren sind linear unabhängig, der jeweils dritte Vektor kann als Linearkombination der beiden Anderen ausgedrückt werden. ( a = a + a 2, a = a 2 + a, a 2 = a + a ) b) Die Vektoren sind linear unabhängig für α R\{ 5, 2}. Ergebnis von 6. : Die nachfolgenden Lösungsmengen sind allgemein, für die Berechnung einer speziellen Lösung muss man spezielle s, t Werte einsetzen. a) für λ = : ( ) } L = { x R 2 + x = t, t R für λ 2 = + : ( ) } L 2 = { x R 2 x = t, t R. b) für λ = ergibt sich L = x R x = t 5, t R. Meyberg&Vachenauer, Band, Springer Verlag vgl. auch W. Queck, Fakultät für Mathematik und Informatik, TU Bergakademie Freiberg