Minimalität des Myhill-Nerode Automaten

Transkript

1 inimlität des yhill-nerode Automten Wir wollen zeigen, dss der im Beweis zum yhill-nerode Stz konstruierte DEA für die reguläre Sprche L immer der DEA mit den wenigsten Zuständen für L ist. Sei 0 der konstruierte Automt, seine Zustndsnzhl ist genu der Index von R L. Sei ein elieiger Automt für L ohne nicht erreichre Zustände. Seine Zustndszhl ist der Index von R. Aer R verfeinert R L,undeidehenendlichenIndex. Also ist entweder die Zustndszhl von größer ls die von 0, oder R und R L sind identische Äquivlenzreltionen. Wir fssen zusmmen: Entweder ht mehr Zustände ls 0,oder und 0 sind isomorphe Automten. In nderen Worten: 0 ist der eindeutig estimmte minimle DEA für L. Einheit 15 Folie 15.1

2 inimlität ei NEAs n knn sich n geeigneten Beispielen sehr schnell klr mchen, dss es den eindeutig estimmten minimlen NEA für gegeene reguläre Sprche im llgemeinen nicht git. Betrchte etw die Sprche {w w 2{, } }.Dieyhill- Nerode Äquivlenzreltion für diese Sprche ht den Index 2. Ds heißt, es git einen DEA mit 2 Zuständen für diese Sprche. n knn sich er sehr einfch einen zweiten (nichtdeterministischen) Automten für diese Sprche üerlegen, der uch genu zwei Zustände ht. Bitte konstruieren Sie einen. D es offensichtlich keinen NEA mit weniger ls zwei Zuständen für diese Sprche git, ist die oige Behuptung dmit ewiesen. Einheit 15 Folie 15.2

3 Konstruktion des inimlutomten Wir wollen einen Algorithmus entwickeln, der direkt us einem gegeenen DEA den inimlutomt 0 erechnet. Dei gehen wir von einem DEA ohne unerreichre Zustände us. (Gegeenenflls müssen die nicht erreichren Zustände in einem Vorluf ermittelt und eliminiert werden.) Wir htten j gesehen, dss die Reltion R eine Verfeinerung von R L ist. Ds heißt, die Klssen zgl. R L enthlten unter Umständen mehrere Klssen von R.IndiesemFllkönnenwir die Zustände, die zu diesen Klssen gehören, miteinnder indentifizieren, d.h. die Zustände werden verschmolzen. Algorithmisch setzen wir ds so um, dss wir sukzessive ermitteln, welche Zustände NICHT verschmolzen werden dürfen, weil es Wörter git, die von dem einen in einen Endzustnd führen, von dem nderen er nicht. Einheit 15 Folie 15.3

4 Algorithmus inimlutomt Wir reiten mit einer Telle, in der für jedes Pr (p, q) von Zuständen eine rkierung gesetzt werden knn. Initil werden Pre (p, q) genu dnn mrkiert, wenn einer der eiden Zustände p, q in E ist, der ndere nicht. Für diese Pre genügt schon ds leere Wort, um nchzuweisen, dss sie uf keinen Fll verschmolzen werden dürfen. Nun werden in einer Schleife immer wieder lle isher unmrkierten Pre (p, q) gesucht, für die ein 2 existiert, so dss ds Pr ( (p, ), (q, )) schon mrkiert ist. Alle solchen Pre werden jetzt uch mrkiert. Der Algorithmus endet, wenn keine neuen rkierungen mehr möglich sind. Unmrkierte Zustndspre werden verschmolzen. Der entstehende Automt ist der yhill-nerode inimlutomt. Einheit 15 Folie 15.4

5 Beispiel z 0 z 1 z 2 z 3 Initil sind die Pre {z i, z 4 } mit i = 0, 1, 2, 3 mrkiert. z 4, z 1 z 2 z 3 z 4 z 0 z 1 z 2 z 3 Dnn wird (z 0, z 1 ) mrkiert. Und uch (z 0, z 3 ) wird mrkiert. Weiterhin (z 1, z 2 ) und (z 2, z 3 ). (Wrum?) Es verleien (z 0, z 2 ) und (z 1, z 3 ). Einheit 15 Folie 15.5

6 Ergenis Wie sieht der resultierende Automt us? Er ht drei Zustände p = {z 0, z 2 }, q = {z 1, z 3 } und z 4., p q z 4 Frge: Antwort: Welche Sprche kzeptiert dieser Automt? {xy x, y 2{, } } Einheit 15 Folie 15.6