Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2011/

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1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2011/ BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN. Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienfach: Fachsemester: Name des Tutors: Unterschrift der/des Studierenden: Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 15 Seiten. Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. err. Pkt Summe 90 Note

2 Aufgabe 1.1: Vektorräume (5 Punkte) Prüfen Sie, ob es sich bei den folgenden Mengen um reelle Vektorräume handelt. a) b) x M 1 = y x, y, z R, x y < z z M 2 = 3, 21, β 1, , 5 β R 2

3 Aufgabe 1.2: Mengenlehre (5 Punkte) Skizzieren Sie die Zahlenmengen N, Z, Q, R, C in einem geeigneten Venn-Diagramm. 3

4 Aufgabe 1.3: Surjektivität und Injektivität (5 Punkte) Untersuchen Sie die folgende Abbildung auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Begründen Sie Ihre Antworten kurz. f : R + R + x f(x) = x 4

5 Aufgabe 2: Vollständige Induktion (15 Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für alle n N die Gleichung gilt. n i=1 i (1 + i 2 ) = n (n + 1) (n2 + n + 2) 4 5

6 Aufgabe 2: Vollständige Induktion (15 Punkte) 6

7 Aufgabe 3: Matrizen und Vektoren (15 Punkte) Gegeben seien die folgenden Vektoren: 2 8 a = 0, b = a) Bestimmen Sie die Länge von a, b, a + b und b + a. b) Sind a und b orthogonal und orthonormal? c) Bestimmen Sie den Winkel γ, der von a und b eingeschlossen ist. d) Berechnen Sie den Rang der Matrix A = a b T. Ist A regulär? 7

8 Aufgabe 3: Matrizen und Vektoren (15 Punkte) 8

9 Aufgabe 4: Eigenwerte und Eigenvektoren (15 Punkte) Gegeben sei die Matrix A = a) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A. b) Geben Sie zu jedem Eigenwert von A einen Eigenvektor an. c) Berechnen Sie die Determinante von A. 9

10 Aufgabe 4: Eigenwerte und Eigenvektoren (15 Punkte) 10

11 Aufgabe 5: Quadratische Formen (15 Punkte) Gegeben sei die Matrix A = a) Bestimmen Sie die zu A gehörige quadratische Form q(x) = x T A x. b) Ermitteln Sie die zugehörige symmetrische Koeffizientenmatrix B. c) Bestimmen Sie die Definitheitseigenschaft von B über ihre Hauptunterdeterminanten. d) Bestimmen Sie die Summe über alle Eigenwerte der Matrix A, d.h. berechnen Sie den Ausdruck 3 i=1 λ i. 11

12 Aufgabe 5: Quadratische Formen (15 Punkte) 12

13 Aufgabe 6.1: Komplexe Zahlen (5 Punkte) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) - e) als wahr oder falsch zu beurteilen sind. Beachten Sie dabei Folgendes: Richtig gesetztes Kreuz = 1 Punkt Kein bzw. falsch gesetztes Kreuz = 0 Punkte a) Gegeben sei die Diskriminante Disk < 0 eines Polynoms zweiten Grades P (z) mit a 2 0. Dann besitzt P (z) in C genau zwei verschiedene Nullstellen. b) Gegeben sei die quadratische Gleichung P (z) = 3z 2 + 3z + 3. Dann gilt Disk = 27. c) Der Betrag einer komplexen Zahl kann selbst eine komplexe Zahl sein. d) Bildet man das Produkt zweier zueinander konjugiert komplexer Zahlen, ist das Ergebnis stets eine reelle Zahl. e) Gegeben sei eine quadratische Gleichung P (z) mit den Koeffizienten a i C (i = 0, 1, 2) und w C sei eine Nullstelle von P (z). Dann ist die zweite Nullstelle durch die konjugiert komplexe Zahl w gegeben. Wahr Falsch a) b) c) d) e) 13

14 Aufgabe 6.2: Rang einer Matrix (5 Punkte) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) - e) als wahr oder falsch zu beurteilen sind. Beachten Sie dabei Folgendes: Richtig gesetztes Kreuz = 1 Punkt Kein bzw. falsch gesetztes Kreuz = 0 Punkte a) Für eine Matrix A R m n mit m > n gilt, dass ihr Zeilenrang größer als ihr Spaltenrang ist. b) Besitzt eine Matrix nicht den vollen Rang, sind die Eigenwerte der Matrix gleich Null. c) Die Einheitsmatrix weist immer den vollen Rang auf. d) Gegeben sei eine Matrix A R n n. Dann kann rg(a) = 0 gelten. e) Die Spalten einer Matrix A R n n mit rg(a) = n können linear abhängig sein. Wahr Falsch a) b) c) d) e) 14

15 Aufgabe 6.3: Lineares Gleichungssystem (LGS) (5 Punkte) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) - e) als wahr oder falsch zu beurteilen sind. Beachten Sie dabei Folgendes: Richtig gesetztes Kreuz = 1 Punkt Kein bzw. falsch gesetztes Kreuz = 0 Punkte a) Jede Konvexkombination zweier Lösungen eines LGS ist wieder eine Lösung dieses LGS. b) Die partikuläre Lösung eines inhomogenen LGS entspricht seinem Nullraum. c) Ein LGS der Form A x = b mit invertierbarer Koeffizientenmatrix kann stets auch über das Matrizenprodukt A 1 b gelöst werden. d) Ein homogenes LGS ist immer konsistent. e) Ein LGS der Form A x = b ist lösbar, wenn rg(a) < rg(a, b) gilt. Wahr Falsch a) b) c) d) e) 15