Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung A =

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1 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung Aufgabe Punkte a Berechnen Sie die Eigenwerte der folgenden Matrix: A 3 b Es sei 4 A. 8 5 Bestimmen Sie P, P M, und eine Diagonalmatrix D M, so, dass A P DP. c Bestimmen Sie die Lösungsmenge von Ax b, wobei A 5, b Entscheiden Sie anhand Ihrer Lösung, ob A invertierbar ist. d Es sei T : R n R n eine lineare Abbildung, welche nicht die Nullabbildung ist und die Bedingung T T x T x erfüllt. Bestimmen Sie einen Eigenwert von T. Lösung: a Das charakteristische Polynom von A ist gegeben durch deta λe 3 [ λ3 λ ] λ [λ 5λ + 4] λ λ λ 4 λ. Damit haben wir einen doppelten Eigenwert und einen einfachen Eigenwert 4. b Zunächst bestimmen wir die Eigenwerte von A: deta λe 4 λ 5 λ + 8 λ + λ! λ 3, λ 4. Weiter bestimmen wir zugehörige Eigenvektoren: λ 3. Dann ist die Lösungsmenge von 8 8 gegeben durch span{, }. Also ist v, ein Eigenvektor zum Eigenwert 3.

2 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung λ 4. Dann ist die Lösungsmenge von gegeben durch span{, 8 }, so dass ein zugehöriger Eigenvektor gegeben ist durch v, 8. Damit haben wir 3 D, P, P c Es ist Anhand der dritten Zeile erkennen wir, dass die Lösungsmenge leer ist. Daher kann die Matrix A nicht invertierbar sein, da sonst die Lösungsmenge genau ein Element enthielte. d T ist nach Definition eine Projektion. Daher kann T nur die Eigenwerte oder besitzen. Da T nicht die Nullabbildung ist, muss T einen Eigenwert haben. Alternative: Da T nicht die Nullabbildung ist, gibt es ein x R n, so dass T x v. Damit ist aber nach Voraussetzung T v T T x T x v. Da v, ist v ein Eigenvektor von T zum Eigenwert.

3 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung Aufgabe Punkte a Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: 7 n 3n i lim ii lim n n 6 n + 4 n n 9n n+ n iii lim x ln7x + e x cosx b Entscheiden Sie, ob die nachstehenden Reihen konvergieren. Begründen Sie Ihre Entscheidung. i n n n n! ii 4n5 + 3 n 7n 4 + n + 9 n c Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung z 3 64i. Geben Sie diese sowohl in der Form re iϕ mit r [,, ϕ [, π als auch in der Form a + bi mit a, b R an. d Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von + i 3 i. e Die Funktion f : R R sei stetig differenzierbar. Weiter sei f auf, ] monoton fallend Lösung: und auf [, monoton wachsend. Bestimmen Sie f. a i Es ist ii Es ist lim n 7 n 3n lim 9n 7 + 7n+ n 7 3n 7 n 9n 7 7 n lim n 3n 7 n n n 6n + 4 n n n 6 n 6 n n n lim n 9n 7 7 n , n n 6n + 4 n n n 6 n 6 n n n n 6. Nach dem Einschnürungssatz folgt dann, dass lim n iii Wir verwenden die Regel von l Hospital. lim x ln7x + e x cosx n n 6n + 4 n 6. lim x 7 7x+ e x + sinx 7.

4 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung b i Wir schreiben a n nn n! a n+ a n n + n+ n +! n e >. und betrachten den Quotienten n! n n n + n n + n! n + n! n n n n + n [ + n ] n Daher ist die Reihe nach dem Quotientenkriterium divergent. Alternative: Wir sehen, dass a n nn n n n! n! n n n n n n n. Damit ist a n n N keine Nullfolge und die Reihe divergiert. ii Wir schreiben a n 4n n 4 +n +9 n. Es ist a n 4n5 + 3n 5 7n n 3/. Die Reihe n 7 7 n 7 7 3/ n n a n nach dem Majorantenkriterium. n 3/ ist konvergent. Daher konvergiert auch c Es ist 64i 64e 3 πi. Damit haben wir die drei Lösungen d Es ist z 4e πi 4i, z 4e 7 6 πi 3 i, z 3 4e 6 πi 3 i. + i 3 i + i3 + i i 3. Damit ist der Realteil gegeben durch 3 und der Imaginärteil durch 5 3. e Unter den gegebenen Voraussetzungen hat f in ein lokales Minimum. Da f in differenzierbar ist, muss gelten f. Alternative: Da f auf [, monoton wächst, gilt f x für x,. Analog ist f x für x,. Wegen der Stetigkeit von f ist dann Also ist f. lim n f /n f lim n f /n. Seite 4 von 5

5 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung Aufgabe 3 Punkte a Betrachten Sie die quadratische Form fx, y, z x xy 4xz + y + yz + 3z x + z. i Schreiben Sie f in der Form x Ax+b x, wobei x x, y, z, A eine reelle symmetrische Matrix ist und b ein konstanter Vektor. ii Bestimmen Sie den Punkt x, y, z, an dem fx, y, z,, gilt. b Es seien B {,,, } und B {3,,, } Basen von R. Bestimmen Sie die beiden Basiswechselmatrizen einmal für den Wechsel von B nach B und einmal für den Wechsel von B nach B. c Es sei B eine 4 4-Matrix, die einen Eigenwert λ besitzt. Bestimmen Sie die Determinante von B + E 4. d Es sei T : M, M, eine lineare Abbildung mit Bestimmen Sie den Rang von T. e Gegeben sei die Matrix Lösung: { } a b kert a b c d. c d 3/5 a C. 4/5 b Bestimmen sie a, b R so, dass C orthogonal ist und geben Sie für diesen Fall C an. a i Es ist fx, y, z x x + 3 x.

6 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung ii Es ist fx, y, z Ax + b, so dass wir zur Bestimmung der kritischen Stellen von f das folgende inhomogene LGS zu lösen haben: Damit erhalten wir z, y und durch Einsetzen in die erste Zeile x. Die eindeutige kritische Stelle ist somit,,. b Es ist 3 B M id B, B M id B B M id B. 5 3 c Da λ ein Eigenwert von B ist, gilt det B λe 4 det B E 4 det B + E 4. Alternative: Es sei v ein Eigenvektor von B zum Eigenwert. Dann gilt B + E 4 v Bv + E 4 v v + v. Daher hat B + E 4 einen Eigenwert, so dass die Determinante von B + E 4 ebenfalls gleich Null ist da die Determinante das Produkt der Eigenwerte ist. d Die Elemente des Kerns von T haben die Form a a a + c, a, c R. c c Der Kern von T ist damit ein zweidimensionaler Unterraum von M,. Da M, ein vierdimensionaler Raum ist, muss nach der Dimensionsformel gelten dim M, dim kert + rangt rangt 4.

7 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung e Mit einer der Wahlen a, b 4/5, 3/5 bzw. a, b 4/5, 3/5 ist die Matrix C orthogonal. Die Inverse einer orthogonalen Matrix ist gerade die transponierte Matrix, so dass 3/5 4/5 3/5 4/5 C bzw. C 4/5 3/5 4/5 3/5

8 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung Aufgabe 4 Punkte a Bestimmen Sie die Gerade g, die durch den Punkt,, 3 verläuft und senkrecht auf der Ebene mit der Gleichung x + 3y + 4z 6 steht. In welchem Punkt schneidet g die Ebene mit der Gleichung 3x y + z? b Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene E, die sowohl den Punkt,, als auch die Gerade mit der Parameterdarstellung { t, + 3t, 5 + 4t : t R} enthält. c Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A,, 3, B,,, C,, in R 3. d Bestimmen Sie die Schnittmenge der beiden Ebenen mit den Gleichungen x + y + z + und x + y + 3z 4. Lösung: a Es ist g {,, 3 + t, 3, 4 : t R}. Den Schnittpunkt mit der Ebene finden wir durch Einsetzen: 3 + t + 3t t! + 4t t. Dann ist der Schnittpunkt gegeben durch,, 3 +, 3, 4 5, 8,. b Da die Gerade in E liegt, haben wir bereits einen Stützvektor von E, nämlich,, 5. Der Richtungsvektor v, 3, 4 der Gerade ist auch ein Spannvektor von E. Ein zweiter Spannvektor ist gegeben durch v 5 4 Die beiden Vektoren v und v sind linear unabhängig, daher ergibt das Kreuzprodukt der beiden einen Vektor, der senkrecht auf E steht: 6 v v Die Hesse-Normalform von E ist damit { x, y, z R 3 : 8x + 4y z 5 9 }.

9 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung c Der Flächeninhalt des Dreiecks ist gegeben durch AB AC Alternative: Wir bestimmen den Lotfußpunkt S von C auf die Seite AB. Bezeichnen wir mit g die Gerade durch A und B, so ist g : {,, 3 + r 3,, 4 : r R}. Die Ebene E, die C enthält und senkrecht zu g steht, hat die Gleichung 3x x 4x 3 9. Der gesuchte Lotfußpunkt S ist der Schnittpunkt von g und E. Diesen bestimmen wir durch die Gleichung 3 3r r r! 9 6r 6 r 3 3 Die Höhe des Dreiecks auf der Seite AB ist damit gegeben durch CS S Weiter ist AB 6 3. Damit ist der Flächeninhalt des Dreiecks gegeben durch AB CS 4. d Der Schnitt der beiden Ebenen ist gerade die Lösungsmenge des unterbestimmten inhomogenen LGS Setzen wir z t, so ergibt sich y 3 t, x + t. Damit ist die Schnittmenge der beiden Ebenen gegeben durch { + t, 3 t, t : t R}.

10 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung Aufgabe 5 Punkte a Es sei f : R {} R mit fx 4x + x. i Bestimmen Sie die Nullstellen und Extremstellen von f. ii Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades von f zum Entwicklungspunkt x. b Bestimmen Sie alle x R, für die die folgende Potenzreihe konvergiert: n + n + n x 3n. c Berechnen Sie die folgenden Integrale: i e e xlnx dx ii xe 3x dx iii x x + dx Lösung: a i Nullstellen: fx! 4x 3 + x 3 4. ii Es ist Extremstellen: f x 8x x! 8x 3 x. Um zu prüfen, ob es sich bei x tatsächlich um eine Extremstelle handelt, berechnen wir f x 8 +. Da f >, hat f an dieser Stelle ein Extremum. x 3 T f,, x f + f x + f x 5 + 7x + 5x. Ausmultipliziert lautet das Polynom T f,, x 5x 3x + 3. b Wir schreiben a n +n. Zunächst bestimmen wir den Konvergenzradius der Potenzreihe: +n ϱ lim n n an. Damit konvergiert die Potenzreihe absolut für alle x 5/, 7/ und divergiert für alle x R [5/, 7/]. Es bleiben nun noch die Randpunkte zu überprüfen: x 5/. Dann ist n + n + n n n + n. } {{ + n } :b n n Da die Nullfolge b n n N monoton fallend ist Zähler fällt monoton, Nenner wächst monoton, konvergiert die Folge nach dem Leibnizkriterium.

11 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung x 7/. Dann ist Da und die Reihe n Minorantenkriterium. 3n n + n + n n n + n + n 3n + n + n. divergiert, divergiert auch die Potenzreihe für x 7/ nach dem Insgesamt finden wir also, dass die Potenzeihe konvergiert genau dann, wenn x [5/, 7/. c dy i Mit der Substitution y lnx erhalten wir formal dx xdy. Die untere dx x Integralgrenze wird zu lne und die obere zu lne. Damit ist e e [ xlnx dx y dy ] y +. ii Hier verwenden wir partielle Integration. Es ist [ xe 3x dx lim b [ lim b lim b 3 xe 3x 3 be 3b ] b b ] [ [ 9 e 3b 9 9 e 3x ] 9. 3 e 3x dx iii Wir führen zunächst eine Partialbruchzerlegung für den Integranden durch. Es soll gelten x! A x + x + + B x Ax + + B. x + Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich sofort A und damit B. Daher ist [ x x + dx x + dx ln x + + ]. x + x + Bemerkung: Zulässig sind auch die folgenden Darstellungen der Lösung: ln x + + [ x + + c, ln x + + ] [ x + + c, ln x + + ] + c, x + Alternative: Die Partialbruchzerlegung lässt sich auch durch geschicktes Erweitern des Zählers finden: x x + x + x + x + x + x + x + x +. Die restliche Rechnung verläuft wie oben. ] b

12 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung Alternative: Die Aufgabe lässt sich auch mit partieller Integration lösen: [ ] x x + dx x x + dx x x + x + dx [ x ] + ln x + x + Man beachte, dass diese Lösung nicht im Widerspruch zur oben gefundenen Lösung steht. Denn es ist ln x + + x + x x + + ln x + x + x +. Damit unterscheiden sich die beiden Ausdrücke nur durch eine Konstante, nämlich, und sind damit Repräsentanten derselben Äquivalenzklasse von Stammfunktionen.

13 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung Aufgabe 6 Punkte a Bestimmen Sie diejenige Lösung der Differentialgleichung für die gilt x. b Es sei f : R R gegeben durch ẋ sintx, fx, y 4 3 x3 x + y. i Bestimmen Sie die kritischen Stellen von f und klassifizieren Sie diese. ii Bestimmen Sie den größten und den kleinsten Wert, den f auf der Menge annimmt. M { x, y R } x + y 4 c Bestimmen Sie die Länge der Kurve γ : [, ] R mit γt 3 t t + 3/. d Es sei g : R 3 R 3 mit Berechnen Sie div g. 3x y gx, y, z e z x z Lösung: a Hierbei handelt es sich um eine separierbare Differentialgleichung. Es ist ẋt sintxt ẋ sint xt xt cost + c xt cost + c.... dt

14 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung Nun ist noch die Konstante c zu bestimmen:! x + c c 5. Damit ist xt cost 5. b i Um die kritischen Stellen von f zu bestimmen setzen wir grad fx, y 4x, y!, y x x. Dies ergibt die kritischen Stellen, und,. Zur Klassifikation betrachten wir die Hesse-Matrix von f. Es ist 8x H fx, y. Damit ist 4 H f/, positiv definit besitzt die beiden positiven Eigenwerte und 4. Daher liegt in /, ein lokales Minimum vor. Weiter ist H f /, 4 indefinit die Matrix besitzt den positiven Eigenwert und den negativen Eigenwert 4. Daher liegt in /, ein Sattelpunkt vor. ii Wir schreiben gx, y x + y. Es ist leicht zu sehen, dass gx, y, 4 für alle x, y M. Nach der Methode von Lagrange muss an den jeweiligen Extremalstellen gelten fx, y + λ gx, y, gx, y. für ein λ R. Daher lösen wir das nichtlineare Gleichungssystem 4x + λ x, y + λy, x + y. 4

15 Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung Aus der zweiten Zeile ergibt sich, dass gelten muss y oder λ. Falls y, ergibt sich aus der Nebenbedingung dritte Zeile, dass x oder x. In beiden Fällen ist die erste Gleichung dann für ein λ R erfüllbar. Falls λ ist, so wird die erste Gleichung zu 4x x+ 4x x x x x x. Im Fall x ergibt sich dann mit der Nebenbedingung y. Im Fall x sich y oder y. ergibt Um das Maximum bzw. das Minimum von f auf M zu bestimmen, müssen wir nun die Funktionswerte an den vier gefundenen Stellen vergleichen: f,, f, 3, f/, / f/, /. Damit ist max x,y M fx, y 3 und min x,y M fx, y. Alternative: Wir können die Nebenbedingung auflösen, so dass y 4 x. Die Bedingung, dass y sein soll, führt dazu, dass x [, ]. Wir haben nun also die Aufgabe, das Minimum von F x 4 3 x3 x+ 4 x 4 3 x3 x auf dem Intervall [, ] zu finden. Es ist F x 4x x! x {, }. Durch Vergleichen mit dem zweiten Randwert x erhalten wir F, F, F, 3 so dass schließlich das Maximum Minimum von f auf M gegeben ist durch 3 c Die Kurve ist stetig differenzierbar, daher kann die Länge L γ berechnet werden durch L γ γt dt t + dt t + t + dt t + dt [ t + t ] d Es ist div gx, y, z x 3x y + y e z + z x z 6x. Seite 5 von 5