Mathematik I für MB/ME

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1 Mathematik I für MB/ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 25/26 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden Systeme von Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind: a a = (2; 4; 7 T, b = ( 6; 2; 2 T, b a = (5; ; T, b = (; ; T, c = ( ; 2; 4 T, c a = (; ; T, b = (2; ; 4 T, c = ( 2; 2; T, d a = (; ; 2 T, b = (2; ; T, c = (5; ; 4 T, e a = (; 5; T, b = ( 4; ; T, c = (; 2; 7 T, d = (2; 5; T 2 Für welche k R sind die Vektoren a = (; ; k T, b = (k; ; T und c = (; k; T linear unabhängig? Für die Matrizen ( 2, B = ( 2 ( 5, C = 4 ist zu berechnen: DA + 5B T und D T C T, D = 4 4 Lösen Sie die Matrizengleichung AX B = C für die (2, 2-Matrix X mit ( ( ( 4, B =, C = ( a b 5 Es sei M die Menge aller Matrizen der Form mit a, b R Zeigen Sie, daÿ b a sowohl die Summe als auch das Produkt von zwei beliebigen Matrizen aus M eine Matrix ergibt, die wiederum in M liegt 6 Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen A = 2 4 2, A 2 = ( 2 6 9, A = Bestimmen Sie den Wert folgender Determinanten 2 D = 7 8 2, D 2 = 2 4 Welchen Rang hat die Matrix, deren Determinante D 2 oben berechnet wurde?

2 8 Für welche λ R ist die Determinante 4 λ 5 4 λ λ gleich Null? 9 Berechnen Sie zu folgenden Matrizen jeweils die inverse Matrix: (, B = 2 5 Untersuchen Sie die Lösbarkeit der folgenden linearen Gleichungssysteme und geben Sie jeweils alle Lösungen an: a x + 2y + 2z = b 2x 4z = x + 6y z = x + 5y + z = 4x + y + 5z = 6 2x 5y + z = c 6x + 4x 2 + 8x + 7x 4 = 2 x + 2x 2 + 5x + 8x 4 = 8 x + 2x 2 + 7x + 7x 4 = 4 2x x 4 = 4 Lösen Sie das LGS aus Aufgabe a mit Hilfe der Cramerschen Regel Es seien die folgenden drei Ebenengleichungen gegeben: E : x y z = 2, E 2 : x + y z = b, E : ax + 8y + 2z = 7 Bestimmen Sie a, b R so, daÿ die drei Ebenen sich a nicht schneiden, b in einem Punkt schneiden, c in einer Geraden schneiden Geben Sie eine Parameterdarstellung dieser Schnittgeraden an 2 Um welchen Winkel muÿ man ein ebenes kartesisches Koordinatensystem drehen, damit die x-achse des gedrehten Systems durch den Punkt P = (2; 4 geht? Welche Koordinaten hat der Punkt P bezüglich des gedrehten Koordinatensystems? Ein Dreieck mit den Eckpunkten (2;, B = (5; 2 und C = (4; soll um den Punkt A um den Winkel ϕ = π gedreht werden Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte A, B, C des gedrehten Dreiecks an 4 Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen: ( B = 4 2 C = 5 4 2

3 Zusätzliche Aufgaben zum Selbststudium: Prüfen Sie, ob die folgenden Systeme von Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind: a a = (2; 4; T, b = (5; ; T, b a = (2; 4; T, b = (5; ; T, c = ( 4; 8; 2 T, c a = (2; 4; T, b = (5; ; T, c = (; ; T 2 Berechnen Sie λ R derart, daÿ die drei Vektoren a = (; λ; 2 T, b = ( ; 4; 2 T, c = (2; 5; 4 T linear abhängig sind Die drei Vektoren a, b, c seien linear unabhängig Überprüfen Sie, ob die Vektoren x = a + 2 b, y = b a und z = c ebenfalls linear unabhängig sind 4 Für die Matrizen ( 2 ist zu berechnen:, B = ( 2 ( 5, C = 4 2C + D T, CB T, AB, DA und CD 5 Bestimmen Sie den Rang der Matrix Bestimmen Sie den Wert folgender Determinanten D = 2 2 2, D 2 = 5, D = Sind die Matrizen X = 2 und Y = 2, D = zueinander invers? 8 Bestimmen Sie die Lösung der homogenen linearen Gleichungssysteme (siehe Aufgabe a,b: a x + 2y + 2z = b 2x 4z = x + 6y z = x + 5y + z = 4x + y + 5z = 2x 5y + z = 9 Für welche α, β R hat das lineare Gleichungssystem Ax = b keine, genau eine bzw mehrere Lösungen: 2 4 2, b = 2 α 2 β

4 Ein ebenes kartesisches Koordinatensystem wird um den Koordinatenursprung um den Winkel ϕ gedreht Geben Sie die Koordinaten des Punktes P bezüglich des gedrehten Koordinatensystems an für: a ϕ = und P = (;, b ϕ = 45 und P = (2; 4 (a Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix: (b Die Matrix B = hat einen doppelten Eigenwert λ = λ 2 = 2 Bestimmen Sie den dritten Eigenwert der Matrix B und die zugehörigen Eigenvektoren zu allen Eigenwerten 4

5 Schriftliche Aufgaben: Abgabe in den Übungen der Semesterwoche: Gegeben seien der Punkt P = (, 2, und die Gerade g : r(t = + t (a Welchen Abstand hat der Punkt P von der y, z-ebene? (b Geben Sie für die Ebene E, die den Punkt P und die Gerade g enthält, die Gleichung in parameterfreier Form an 4 (c Die Gerade g 2 : r(s = + s 2 schneidet g im Punkt (,, a Bestimmen Sie den reellen Parameter a so, daÿ die Geraden senkrecht aufeinander stehen Abgabe in den Übungen der Semesterwoche: Es sei A eine reellwertige (2, 2-Matrix (a Zeigen Sie, daÿ A A T eine symmetrische Matrix ist (b Zeigen Sie, daÿ es keine solche Matrix A gibt, für die gilt ( A A T = 2 Gegeben sei die Matrix mit dem reellen Parameter a a 8 2a 4 a (a Bestimmen Sie die Determinante von A (b Für welche a R gilt Det(A >? Abgabe in den Übungen der 4 Semesterwoche: 4 Es seien die folgenden drei Ebenen gegeben: E : x 2y + z = 4 E 2 : 2x + y z = 2 E : 2x + 2y + az = b Ermitteln Sie die Werte für a, b R, so daÿ sich die drei Ebenen in einer Geraden schneiden Geben Sie diese Schnittgerade in Parameterdarstellung an 2 42 (a Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix (b Geben Sie für einen der Eigenwerte einen zugehörigen Eigenvektor (verschieden vom Nullvektor an 5