θ für alle n n 0, 0, dann divergiert a n. θ n, also die mit a n0 θ n 0

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1 6 REIHEN 6. Konvergenzkriterien Wenn man im Majorantenkriterium die geometrische Reihe als Majorante nimmt, erhält man das (6..18) Quotientenkriterium : Sei (a n ) n N0 eine Folge in C. Es gebe ein n 0 N 0, so dass a n 0 für alle n n 0 ist, und a) es gebe ein θ R mit 0 < θ < 1 und a n+1 a n θ für alle n n 0, dann konvergiert a n absolut. b) a n+1 a n 1 für alle n n 0, dann divergiert a n. Beweis : a) Aus a n+1 θ a n für n n 0 folgt mit Induktion für k N 0 : und damit ist a n0 θ n 0 θ n, also die mit a n0 θ n 0 multiplizierte geometrische Reihe a n. a n0 +k θ k a n0, also a n θ n n 0 a n0 für n n 0, θ n mit 0 < θ < 1, eine konvergente Majorante von b) Mit Induktion folgt für n n 0 : a n a n0 > 0, also gilt nicht lim n = 0, die Reihe divergiert. (6..19) Beachten Sie : Zum Nachweis der Konvergenz muss man ein θ finden mit 0 < θ < 1 und a n+1 a n θ für fast alle n. Es reicht nicht : a n+1 1 < 1 für fast alle n. Ein Gegenbeispiel ist : Es ist n an n=1 n n + 1 aber die Reihe divergiert. 6.3 Summen und Produkte von Reihen (6.3.3) Umordnungssatz: Sei a n eine absolut konvergente Reihe von komplexen Zahlen a n mit Wert A. Dann konvergiert jede Umordnung der Reihe, also jede Reihe a n

2 - 0 - a τ(n) für jede bijektive Abbildung τ : N 0 N 0 ebenfalls gegen A. Beweis : Sei τ : N 0 N 0 bijektiv, wir müssen zeigen: lim m m a τ(k) = A. Sei nun ε > 0 beliebig vorgegeben. Da ein n 0 N 0, so dass a k < ε k=n 0 n0 1 A a k = k=n 0 a k a k konvergiert, gibt es zu ε ist. Daraus folgt Da τ bijektiv ist, können wir ein N N 0 k=n 0 a k < ε so groß wählen, dass {0, 1,..., n 0 1} {τ(0), τ(1),..., τ(n)} ist. Dann gilt für alle m N : m a τ(k) A m a τ(k) n 0 1 a k n 0 1 a k A a k + ε < ε. k=n 0 - Für nicht absolut konvergente Reihen ist der Satz falsch. Man kann sogar noch mehr zeigen: (6.3.4) Riemannscher Umordnungssatz : Sei. a n eine nicht absolut konvergente Reihe reeller Zahlen a n und S eine beliebig vorgegebene reelle Zahl. Dann gib es eine bijektive Abbildung τ : N 0 N 0 mit a τ(n) = S, d.h. durch Umordnung kann man jede beliebige reelle Zahl als Wert erhalten. Beweis : Wir setzen für k N 0 : a + k := 1 ( a k + a k ) = a k := 1 ( a k a k ) = { ak für a k 0 0 für a k < 0 { 0 für ak 0 a k für a k < 0,.

3 - 1 - Die Zahlen a + k, a k sind alle 0, und für jedes k gilt Wäre eine der Reihen konvergent, so würde aus den Gleichungen a k = a + k a k und a k = a + k + a k. a + k, a k a + k = a k + a k, a k = a+ k a k folgen, dass auch die andere konvergiert. Dann wäre wegen a k = a + k + a k aber auch a k konvergent, im Widerspruch dazu, dass nicht absolut konvergiert. Also sind beide Reihen a + k, a k a k divergent. Streichen wir aus der Folge (a + k ) alle Glieder, bei denen a k < 0 ist (also nur Nullen, aber nicht alle), so erhalten wir die Teilfolge aller nichtnegativen Glieder von (a k ), die wir (p k ) nennen. Aus der Folge (a k ) streichen wir alle Nullen, so entsteht eine Folge (q k ), und ( q k ) ist die Teilfolge aller negativen Glieder von (a k ). Jedes Glied von (a k ) tritt also in genau einer der Teilfolgen (p k ) bzw. (q k ) auf. Dann sind auch die Reihen q k divergent, also p k und lim n p k =, lim n q k = und damit lim n ( q k ) =. Infolgedessen gibt es zunächst einen kleinsten Index n 0 mit n 0 p k > S, dann einen kleinsten Index n 1 mit n 0 p k + n 1 ( q k ) < S und nun wieder einen kleinsten Index n mit n 0 p k + n 1 ( q k ) + n k=n 0 +1 p k > S. Man kann das Verfahren fortsetzen, und die so entstehende Reihe ( ) p p n0 + ( q 0 ) ( q n1 ) + p n p n +... ist eine Umordnung der Ausgangsreihe a k.

4 - - Wegen der Minimaleigenschaft der Indizes n 1, n,... sieht man, dass der Betrag der Differenz zwischen S und den Teilsummen von ( ) spätestens ab der Teilsumme p p n0 + ( q 0 ) ( q n1 ) durch die Zahlen q n1, p n, q n3, p n4,... nach oben abgeschätzt werden kann. Da nun aber die Folgen (q n1, q n4,... ) und (p n, p n4,...) gegen 0 konvergieren, folgt, dass die Umordnung ( ) von a k gegen S konvergiert. Bemerkung : Hat man zwei endliche Summen komplexer Zahlen n a j und so ist klar, wie man sie multipliziert : ( n ) ( m ) a j b k = m b k, n m a j b k, d.h. man muss jeden Summanden der ersten mit jedem Summanden der zweiten Summe multiplizieren und die Produkte addieren. Wie ist das nun für Reihen? Mit ( ) a j b k hat man die Schwierigkeit, dass man zunächst unendlich viele Grenzwerte ausrechnen und dann wieder eine Reihe bilden müsste. Bildet man aber ( a j b k = n ) a j b n j, (j,k) N 0 N 0 mit k+j=n so hat man nur einmal eine unendliche Summe, aber trotzdem kommen alle Produkte a j b k genau einmal vor. Diese Reihe heißt das Cauchy-Produkt der Reihen a n und b n : (6.3.6) Satz vom Cauchy-Produkt : Seien a j und a k absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen. Dann konvergiert auch ihr Cauchy- Produkt n d n mit d n := a j b n j = a j b k (j,k) N 0 N 0 mit j+k=n absolut, und für den Wert des Cauchy-Produkts gilt ( n ) ( ) ( ) a j b n j = a j b k.

5 - 3 - Beweis : 1.) Sei A := a j, B := b k, C n := n k a j b k j = dann zeigen wir zunächst (j,k) N 0 N 0 mit k+j n lim C n = A B. Beweis: Wir bilden zunächst ( n ) ( n ) Cn := a j b k = a j b k für n N 0, (j,k) N 0 N 0 mit j n k n a j b k, dann gilt nach der Grenzwertregel 5..1: lim C n = A B, wir müssen also nur noch zeigen, dass Sei nun lim (C n C n ) = 0 C n C n = (j,k) D(n) gilt: Nun ist a j b k mit D(n) := { (j, k) N 0 N 0 j n k n j + k > n }. ( n ) ( n ) P n := a j b k = dann konvergiert (P n ) n N0 nach Regel 5..1, da (j,k) N 0 N 0 mit j n k n a j b k, a j und b k absolut konvergieren. (P n ) ist also eine Cauchyfolge; zu beliebigem ε > 0 gibt es deshalb ein n 0 N 0, so dass P n P n0 < ε für alle n n 0 gilt. Nun ist P n P n0 = a j b k mit (j,k) E(n) E(n) := { (j, k) N 0 N 0 j n k n (j n 0 k n 0 ) } Für n > n 0 gilt nun D(n) E(n) (am besten macht man dazu eine Zeichnung). Also folgt für alle n > n 0 : Cn C n a j b k P n P n0 < ε. (j,k) D(n) Damit haben wir bewiesen: lim (Cn C n ) = 0..) Wir müssen noch zeigen, dass das Cauchy-Produkt absolut konvergiert. Dazu setzen wir n a n := a n, b n := b n, c n := a n kb k.

6 Nach Voraussetzung konvergieren absolut, also konvergieren a n und a n und b n, sogar absolut wegen a n = a n, b n = b n. Nach Teil 1.) des Beweises konvergiert die Reihe n N 0 : also konvergiert c n = Achtung : Wenn n a n k b k b n n a n k b k = c n, c n. Nun gilt für alle c n absolut nach dem Majorantenkriterium (6..5). a n und b n nicht absolut konvergieren, kann es sein, dass ihr Cauchy-Produkt divergiert. Ein Beispiel finden Sie in (K74 oben). 7 STETIGE FUNKTIONEN. GRENZWERTE 7. Rechnen mit stetigen Funktionen Definition 7..3 : Sei D C, D. Sind f, g : D C stetig und ist λ C, so sind nach Regel 7.. auch f + g und λf : D C stetig. Da auch die Abbildung O : D C, O(x) := 0 stetig ist, bilden die stetigen Funktionen einen Untervektorraum des Vektorraums aller Funktionen von D in C, also einen C Vektorraum, den wir mit C(D) bezeichnen. (C wie stetig - auf Englisch.) Ist die Menge D nicht endlich (etwa wenn D ein reelles Intervall ist), so ist dim C C(D) =. Regel 7..9 : Sei I R ein Intervall und f : I R streng monoton, dann ist g := f 1 : f(i) I stetig. Bemerkung: Wenn f nicht stetig ist, ist f(i) i.a. kein Intervall. Machen Sie sich Zeichnungen! Beweis : Œ sei f streng monoton wachsend. Dann ist f injektiv, also ist f 1 : f(i) I definiert, und f 1 ist auch streng monoton wachsend. Sei y 0 f(i), dann gibt es ein x 0 I mit y 0 = f(x 0 ). Sei a) Wir behandeln zunächst den Fall Sei ε > 0 gegeben, dann ist a := inf I, b := sup I ( R ). a < x 0 < b.

7 - 5 - ε := min{ε, 1 (x 0 a), 1 (b x 0)} > 0, also a < x 0 ε < x 0 < x 0 + ε < b, und wegen (a; b) I können wir f(x o ± ε ) bilden: f(x 0 ε ) < f(x 0 ) < f(x 0 + ε ). Sei δ := 1 min{y 0 f(x 0 ε ), f(x 0 + ε ) y 0 }, dann ist δ > 0, f(x 0 ε ) < y 0 δ < y 0 < y 0 + δ < f(x 0 + ε ). Für alle y f(i) mit y y 0 < δ gilt dann f(x 0 ε ) < y < f(x 0 + ε ), also x 0 ε < f 1 (y) < x 0 + ε, also f 1 (y) f 1 (y 0 ) = f 1 (y) x 0 < ε ε. b) Ist x 0 = a, so wird der Beweis sogar einfacher: Zu ε > 0 nehme man ε := min{ε, 1 (b x 0)} und δ := 1 (f(x 0 + ε ) y 0 ). c) Analog beweist man die Stetigkeit in f(b), falls b I ist. Bemerkung : Die Stetigkeit von f : I R ist hier gar nicht vorausgesetzt. Folgerung : Für jedes n N sind die Wurzelfunktionen g n : [0; ) R, g n (x) := n x, g n+1 : R R, g n+1 (x) := n+1 x stetig, wobei man für x ( ; 0) setzt: n+1 x := n+1 x. Das folgt mit 7..9 daraus, dass diese Funktionen die Umkehrfunktionen der streng monoton wachsenden Funktionen f n : [0; ) [0; ), f n (y) := y n bzw. f n+1 : R R, f n+1 (y) := y n+1 sind. 7.3 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen (7.3.1) Zur Motivation : Wir wissen, dass Polynomfunktionen f : C C, f(z) = k a n z n stetig sind. Folgt daraus auch die Stetigkeit einer Potenzreihe k a n z n = lim a n z n, jedenfalls dort, wo sie konvergiert, also von k f : K R (0) C, f(z) = a n z n,

8 - 6 - wobei R der Konvergenzradius ist? Wir fragen allgemeiner: Kann man aus der Stetigkeit von Funktionen f k : D C und der Existenz von f(z) := lim k f k (z) für z D schließen, dass auch f stetig ist? Wohl nicht, ein Gegenbeispiel ist leicht zu finden: 1 f n : R R, f n (x) := (1 + x ) : n { 0 für x 0 f(x) := lim f n (x) = 1 für x = 0 existiert, ist aber nicht stetig, obwohl die f n es sind. Weierstraß-Kriterium : Für k N 0 seien f k : D C, D C. Wenn die Reihe der Normen der f k bezüglich D, also f k D konvergiert, dann konvergiert Beweis : Für n N 0 sei s n := n f k auf D gleichmäßig gegen eine Funktion f : D C. f k. a) Nach dem Cauchy-Kriterium für Reihen (6..1) gibt es zu jedem ε > 0 ein N R, so dass für n > m N gilt n m n f k D f k D < ε, also f k D < ε, k=m+1 also für jedes x D : s n (x) s m (x) = n k=m+1 f k (x) n k=m+1 f k D < ε, also ist (s n (x)) n N0 b) Für x D gilt für jedes x D eine Cauchyfolge in C ; es existiert f(x) := lim s n (x) = f k (x). f(x) s m (x) = f(x) s n (x) + s n (x) s m (x)

9 - 7 - für alle m, n N 0. Nun gibt es, da f k D k=m+1 eine Cauchyfolge ist, zu jedem ε > 0 ein N 1 R, so dass für n > m N 1 gilt n n x D : s n (x) s m (x) = f k (x) f k D < ε k=m+1 und zu festem m N 1 und festem x D nach a) ein n (x) N 0, n (x) m, so dass für n n (x) : f(x) s n (x) < ε ist, also für m N 1 : f(x) s m (x) < ε. (s m ) m N0 konvergiert also gleichmäßig auf D gegen f. Folgerung : Aus dem Weierstraß-Kriterium folgt also: = = f k normal konvergent f k gleichmäßig konvergent auf D f k punktweise konvergent in D. 7.4 Der Zwischenwertsatz (7.4.1) Der Zwischenwertsatz (ZWS) : Seien a, b R, a < b. Eine stetige Funktion f : [a; b] R nimmt jeden Wert γ zwischen f(a) und f(b) an mindestens einer Stelle c an: c [a; b] : γ = f(c). Beweis : Œist f(a) < γ < f(b). Dann ist M := { t [a; b] f(t) γ } nichtleer wegen a M und nach oben beschränkt (durch b ). Nach Satz.3.1 existiert also c := sup M. Da c die kleinste obere Schranke von M ist, gibt es eine Folge (t n ) n N aus M mit lim t n = c. Wegen f(t n ) γ gilt f(c) (7.1.3) = lim f(t n ) 5..3 γ. Insbesondere ist damit c b, also c < b. Es gibt also eine Folge (x n ) n N in (c; b] mit lim x n = c. Wegen x n > c = sup M ist f(x n ) > γ, also,

10 - 8 - f(c) (7.1.3) = lim f(x n ) γ, insgesamt also: f(c) = γ. Häufige Anwendungen des ZWS sind: Beweis der Existenz von Nullstellen, z.b.: (7.4.) Behauptung : Jede Polynomfunktion P : R R, P (x) := n a k x k mit a n 0, ungeradem n und a 0,..., a n R besitzt eine Nullstelle: Wegen P (x) = a n (x n + genügt es, zu zeigen, dass n 1 b k x k ) mit b k := a k a n f(x) = x n + p(x) mit p(x) := n 1 b k x k eine Nullstelle besitzt. Wir setzen dazu p(±r) r := 1 + n 1 also, da n ungerade ist, n 1 b k r k b k, dann gilt n 1 b k r n 1 = (r 1)r n 1 < r n, f(r) r n p(r) > 0, f( r) r n + p( r) < 0. Nach Folgerung 7..6 ist f stetig, also hat f nach dem ZWS eine Nullstelle in [ r; r]. 7.5 Der Satz vom Maximum und Minimum Wir formulieren hier eine Version des Satzes, die gegenüber Königsberger etwas vereinfacht ist. Die allgemeine Version kommt im nächsten Semester: (7.5.1) Satz vom Maximum und Minimum : Seien a, b R, a < b und f : [a; b] R sei stetig. Dann gibt es ξ 1, ξ [a; b], so dass x [a; b] : f(ξ 1 ) f(x) f(ξ ) ist. Bemerkung : Der Satz sagt nicht nur, dass die Bildmenge f([a; b]) = { f(x) x [a; b] }

11 - 9 - beschränkt ist, also dass sup f([a; b]) und inf f([a; b]) existieren, sondern mehr noch, nämlich dass max f([a; b]) = f(ξ ) und min f([a; b]) = f(ξ 1 ) existieren. Beweis von Satz : Wir zeigen nur die Existenz des Maximums. Dazu setzen wir { sup f([a; b]), falls f([a; b]) nach oben beschränkt ist, s := sonst, und zeigen dann, dass s = unmöglich ist. Auf jeden Fall gibt es zu jedem n N ein x n [a; b] mit s 1 n f(x n) s, falls s <, n f(x n ), falls s = ist, also gilt lim f(x n ) = s. (x n ) n N ist eine Folge in [a; b], also beschränkt, also gibt es nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß,.Fas- sung (5.5.8) eine konvergente Teilfolge (x nk ) k N von (x n ) n N. Sei ξ := lim k x nk, dann ist a ξ b und nach dem Folgenkriterium für Stetigkeit (7.1.3) : f(ξ ) = lim k f(x nk ) = lim f(x n ) = s, insbesondere s f([a; b]), also nicht s =, und für alle x [a; b] gilt f(x) s = f(ξ ). 7.7 Grenzwerte von Funktionen Definition : Sei D R und a R [ oder D C und a C ]. a heißt ein Häufungspunkt von D, wenn es eine Folge (a n ) n N gibt mit n N : a n D lim a n = a, d.h. wenn a (eigentlicher oder uneigentlicher) Grenzwert einer Folge von Elementen aus D ist. (7.7.) Beispiele : 1) Jedes a D ist Häufungspunkt von D, denn a = lim a. ) Sei D = (a; b), a < b, dann ist b ein Häufungspunkt von D, denn b = lim ( b b a n 3) ist Häufungspunkt von R +, denn ), und n N : b b a n D. = lim n und n N : n R +.

12 Definition : a) Sei D R und f : D R. Sei a R ein Häufungspunkt von D. Sei c R, und für jede Folge (x n ) n N mit x n D für alle n N und lim x n = a gelte lim f(x n ) = c, dann schreiben wir: x a lim f(x) = c, und nennen c den x D Grenzwert der Funktion f für x gegen a. b) Man kann hier auch D C und f : D C zulassen, dann muss a C und c C sein. Folgerungen : a) Das Folgenkriterium (7.1.3) für Stetigkeit kann man dann so formulieren: Sei D C, f : D C und x 0 D. Dann gilt f stetig in x 0 x x0 lim f(x) = f(x 0 ). x D In diesem Fall braucht man das Symbol x x0 lim f(x) also nicht. x D b) Ist aber D C, f : D C, x 0 C ein Häufungspunkt von D, der nicht in D enthalten ist, und c C, so bedeutet dass die im Punkt x 0 lim x x 0 f(x) = c, x D durch c ergänzte Funktion f : D {x 0 } C, f(x) := { f(x) für x D c für x = x 0 in x 0 stetig ist, dass man also die Funktion f in x 0 stetig ergänzen kann. Beispiel : lim x 0 x 0 exp(x) 1 x = 1 für die durch exp : C C, exp(x) := definierte Exponentialfunktion. Beweis : exp(x) 1 ist für x 0 nicht definiert, aber in x D := { x C x 0 }, und 0 ist ein Häufungspunkt von D. Sei (x n ) n N eine Folge in D mit lim x n = 0. Nach Lemma (Restabschätzung) gibt es ein c R, so dass R (x) c x x n für R (x) := und x < 1 n! gilt, also exp(x) 1 x c x, n= exp(x) 1 x x n n! 1 c x,

13 und aus lim x n = 0, x n 0, folgt lim ( exp(xn ) 1 x n 1 ) = 0. Beispiel : lim exp(x) =. x Beweis : exp : R R ist definiert, ist ein Häufungspunkt von R, und sei (x n ) n N eine Folge in R mit lim x n =, dann gibt es ein N R mit x n > 0 für n > N, also für n > N : exp(x n ) = x k n k! > x n, also auch lim exp(x n ) =. - Gelegentlich braucht man auch links- bzw. rechtsseitige Grenzwerte von Funktionen : Definition : Sei D R, x 0 R und f : D C. Ein c C heißt linksseitiger Grenzwert von f in x 0, geschrieben Entsprechend nennt man c =: lim x x0 f(x) =: f(x 0 ), wenn lim x x 0 x D ( ;x 0 ) f(x) = c existiert. lim f(x) := f(x 0 +) := lim x x 0 x x0 x D (x 0 ; ) f(x) den rechtsseitigen Grenzwert von f in x 0. 9 DIFFERENTIALRECHNUNG 9.3 Maxima und Minima Hilfssatz : Sei f : [a; b] C stetig und auf (a; b) differenzierbar. Dann gibt es ein ξ (a; b) mit Beweis : Es gibt ein c C mit nämlich Wir setzen f(b) f(a) (b a) f (ξ). f(b) f(a) = c (f(b) f(a)) und c = 1, c := f(b) f(a) für f(b) f(a) 0 f(b) f(a) 1 für f(b) f(a) = 0. ϕ(x) := Re (c f(x)) für x [a; b]. ϕ ist in (a; b) differenzierbar, es gilt ϕ (x) = Re (c f (x)), und nach dem Mittelwertsatz gibt es ein ξ (a; b) mit ϕ(b) ϕ(a) = (b a) ϕ (ξ), also

14 - 3 - f(b) f(a) = c (f(b) f(a)) = ϕ(b) ϕ(a) = (b a)ϕ (ξ) = (b a) Re (c f (ξ)) (b a) f (ξ). f(b) f(a) = c (f(b) f(a)) = ϕ(b) ϕ(a) = (b a)ϕ (ξ) = (b a) Re (c f (ξ)) (b a) f (ξ). (9.3.1) Schrankensatz : Sei f : [a; b] C stetig differenzierbar, dann gilt für alle x 1, x [a; b] : f(x 1 ) f(x ) x 1 x f [a;b], wobei wir f [a;b] in als f [a;b] = sup { f (x) x [a; b] } definiert hatten. Beweis : Da f auf [a; b] stetig differenzierbar ist, ist f auf [a; b] beschränkt, also existiert f [a;b]. Der Rest folgt aus dem Hilfssatz. 9.4 Tangens und die Arcusfunktionen Wir können mit Differentialrechnung einiges recht kurz beweisen, was wir in 8 ausgelassen hatten. Folgerung 9.4. : Sei { D := R \ (k + 1) π k Z }, dann gilt für x D : 1) tan( x) = tan x l Z : tan(x + lπ) = tan x. ) tan (x) = 1 + tan x = 1 cos x 3) tan ( π ; π ) : ( π; π ) R ist stetig, streng monoton wachsend und bijektiv. Beweis : 1) tan( x) = sin( x) 8.6.4() sin x = cos( x) cos x = tan x, sin(x + π) tan(x + π) = = sin x cos(x + π) cos x = tan x, und da sin und cos die Periode π haben, folgt tan(x + lπ) = tan x für alle l Z. ) Nach der Quotientenregel (9..1)c) ist tan (x) 9..3 = cos x cos x sin x ( sin x) cos x = cos x + sin x cos x = 1 cos x bzw. = 1 + tan x. 3) Wegen tan (x) = 1 + tan x 1 > 0 ist tan nach dem Monotonie- Kriterium 9.39 streng monoton wachsend auf jedem Intervall, auf dem er definiert ist, insbesondere auf ( π ; π ). tan ist auf ( π ; π ) differenzierbar, also stetig. Es ist

15 (1) lim x π denn sei (x n ) n N tan x =, eine Folge mit lim x n = π, x n (0; π ), dann ist lim sin x n = 1, lim cos x n = 0 und cos x n > 0, also nach Aufgabe 5 b) : lim lim sin x n cos x n () lim x π 1 cos x n =, und nach Aufgabe 5 c) : =. Aus tan( x) = tan x für x ( π; π ) folgt damit tan x =. Sei y R beliebig, dann gibt es nach (1) und () also x 1, x ( π ; π ) mit tan x 1 < y < tan x, und zwar x 1 < x, denn tan wächst streng monoton in ( π; π ), und nach dem Zwischenwertsatz ein x [x 1 ; x ] ( π; π) mit Also ist tan monoton ist. ( π tan x = y. ; π ) : ( π; π ) R surjektiv, und injektiv, da er streng (9.4.4) Definition und Ableitungen von Arcussinus und Arcuscosinus : sin : R R und cos : R R sind nicht injektiv, da sie π periodisch sind, und nicht surjektiv wegen sin x + cos x = 1, also sin x, cos x 1. Aber sin [ π ; π ] : [ π ; π ] [ 1; 1] ist bijektiv, denn es gilt cos x > 0 für x [0; π ) nach Def. von π und cos x > 0 für x ( π ; 0) wegen cos x = cos( x), wegen sin = cos ist nach dem Monotonie-Kriterium also sin in [ π; π] streng monoton wachsend, also injektiv, und sin π = 1, sin( π ) = sin π = 1, also gibt es nach dem Zwischenwertsatz zu jedem y [ 1; 1] ein x [ π; π] mit sin x = y, also ist sin [ π ; π ] : [ π ; π ] [ 1; 1] auch surjektiv. Wir haben also die Umkehrfunktion Arcussinus,

16 ( ) 1 π arcsin := sin [ π ; π ] : [ 1; 1] [ ; π ], deren Ableitung man mit der Umkehrregel (9..5) berechnen kann : Für y = sin x ist arcsin (y) = 1 sin (x) = 1 cos x, sofern cos x 0 ist, also für x ± π, d.h. y ±1. Wegen x ( π ; π ) ist dann cos x > 0, also cos x = + 1 sin x = 1 y, arcsin (y) = 1 1 y. Nun zu cos : Wegen sin x > 0 für x (0; π) und cos = sin ist cos [0;π] : [0; π] [ 1; 1] streng monoton fallend und bijektiv, man hat also die Umkehrfunktion arccos := ( cos ) 1 [0;π] : [ 1; 1] [0; π], für deren Ableitung man arccos 1 (x) = 1 x für x ( 1; 1) zeigt. (9.4.6) Veranschaulichung der Multiplikation komplexer Zahlen : Hat man zwei komplexe Zahlen und ihre Polarkoordinaten z 1 = r 1 e iϕ 1 und z = r e iϕ, so ist z 1 z = r 1 r e i(ϕ 1+ϕ ) d.h. man multipliziert zwei komplexe Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert. Man sieht hier auch, dass es nichts bringt, wenn man krampfhaft versucht, das Argument von z = r e iϕ etwa dadurch eindeutig zu machen, dass man fordert : ϕ [0; π) :, Für ϕ 1, ϕ [0; π) kann durchaus ϕ 1 + ϕ π sein!