eine reelle oder komplexe Folge ist, kann man daraus eine neue Folge {s n } n=0 konstruieren durch s n = a 0 + a a n, s n = a k.

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1 Analysis, Woche 7 Reihen I A 7. Folgen aus Folgen Wenn a n eine reelle oder komplexe Folge ist, kann man daraus eine neue Folge s n konstruieren durch s n = a 0 + a + + a n, oder netter geschrieben s n = a k. Die Folge n a k nennt man eine Reihe, die Zahlen a n sind die Glieder dieser Reihe und s n die Partialsummen. Die Hauptfrage, die man bei eine Reihe stellt, ist: Konvergiert sie? Anders gesagt, existiert a k? Die zweite Frage ist meistens viel schwieriger zu beantworten: Wenn sie konvergiert; gegen welche Zahl konvergiert sie? Anders gesagt, kann man a k berechnen? Bemerkung 7. Es gibt in manchen Bücher eine etwas irreführende Schreibweise für Reihen, denn oft benutzt man für n a k auch kurzerhand a k. Weil man aber auch n a k abkürzt durch a k, muss oft aus dem Kontext deutlich werden, ob Folge oder Limes gemeint ist. Beispiel 7.. Die harmonische Reihe ist definiert als n k= k : n= s n := k= k = n. 75

2 76 6. Januar 207 Woche 7, Reihen I Sie ist nicht konvergent: s n = n m (7.) Hier ist 2 m die kleinste Zweierpotenz größer gleich n. Man findet, dass s n n= unbeschränkt ist. Möchte man dies präzise zeigen, dann bemerkt man, dass wegen (7.) für die Teilfolge s 2 k k= gilt, dass s 2 k k für alle k N. 2 Dann ist diese Teilfolge unbeschränkt, und daher auch die Folge s n n= Folge s n n= monoton ist, kann man sogar sagen, dass s n =. selbst. Weil die Beispiel 7.2. Die geometrische Reihe für z C ist definiert als n zk. Sie konvergiert genau dann, wenn z <. Das sieht man wie folgt. Für z gilt z k = + z + z z n = = ( + z + z2 + + z n ) ( z) ( z) = zn+ z, und man bekommt z k = z n+ z = z n+ z wenn z <, = z divergent wenn z. Wenn z = hat man z k = und es folgt auch hier Divergenz. = n +, Lemma 7.2. Wenn a k existiert, dann gilt a n = a n = 0 ist nicht ausreichend für die Konvergenz der Reihe n a k. Beweis.. Es gilt b n = b genau dann, wenn b n+ = b. Setzt man s = n a k, dann sieht man sofort, dass a n = a n+ = ( n+ a k ) n+ a k = a k a k = s s = 0.

3 7.2 Konvergenz für Reihen mit positiven Gliedern 6. Januar Die harmonische Reihe ist ein Beispiel, das besagt, dass a n = 0 keine ausreichende Bedingung ist für die Konvergenz von n a k. Also a n = 0 a k existiert. Bemerkung 7.2. Die erste Aussage dieses Lemmas, nämlich a k existiert a n = 0, ist äquivalent zu der logischen Umkehrung a n konvergiert nicht nach 0 a k divergiert. Und nochmals, aus a n = 0 folgt nicht die Summierbarkeit, obwohl dies bei Hausaufgaben und Klausuren immer wieder behauptet wird. 7.2 Konvergenz für Reihen mit positiven Gliedern Lemma 7.3 Sei q Q +. Die Reihe n= konvergiert genau dann, wenn q >. nq Bemerkung 7.3. Anders gesagt: die Folge n k= konvergiert genau dann, wenn k q n= q >. Oder nochmals anders gesagt: n k= existiert genau dann, wenn q >. Dies k q gilt sogar für q R aus (, ). Beweis. Für q > gilt s n = + 2 q + 3 q + 4 q + 5 q + 6 q + 7 q + 8 q + + n q + 2 q + 2 q + 4 q + 4 q + 4 q + 4 q + 8 q kq Wenn A und B zwei Aussagen sind, dann ist die Behauptung A B gleichwertig zu B A. Wenn es ein normales Fahrrad ist, dann hat es zwei Räder ist gleichwertig zu Wenn es keine zwei Räder hat, ist es kein normales Fahrrad. Wenn es zwei Räder hat, ist es ein normales Fahrrad ist eine ganz andere Aussage.

4 78 6. Januar 207 Woche 7, Reihen I wiederum mit k N die kleinste Zahl so, dass 2 k n. Man findet s n q k q 2 = kq = q = k l=0 ( 2 q (q ) 2 = k(q ) ) l 2 q weil < für q >. Also ist s 2 q n n= deshalb konvergent. Für q gilt eine monotone und beschränkte Folge und und s n für n. s n = + 2 q + 3 q + 4 q + 5 q + + n q Bemerkung Die Funktion ( ) q : (, ) R n q n= heißt die Riemann-Zeta-Funktion. Sie wird oft mit ζ notiert. Man kann zeigen, dass: ζ(2) = n= ζ(4) = n= ζ(6) = n= ζ(8) = n= = n 2 6 π2, n 4 = 90 π4, n 6 = 945 π6, = n π Skizze der Riemann-Zeta-Funktion Die Riemann-Zeta-Funktion ist hier definiert auf dem Intervall (, ). Später werden wir sehen, dass die Riemann-Zeta-Funktion sogar auf C\ definiert ist und für Rz > mit der obigen Summe übereinstimmt. Ein wichtiges Werkzeug haben wir im Beweis soeben gesehen, nämlich ein Vergleichskriterium. Lemma 7.4 (Majorantenkriterium) Seien a n und b n reelle Folgen mit k. Wenn die Reihe k 2. Wenn die Reihe b n a n 0 a n b n für alle n N. k konvergiert, dann konvergiert die Reihe a n. k divergiert, dann divergiert die Reihe b n.

5 7.3 Konvergenz für Reihen mit beliebigen Gliedern 6. Januar Beweis. Weil die zweite Aussage die logische Umkehrung der ersten Aussage ist, brauchen wir nur eine zu beweisen. k Wir nehmen an, die Folge ist konvergent, dass heißt, k k b n = b n s R. Weil a n b n findet man, dass die Folge k durch s. Weil a n 0 gilt für alle n N, folgt es, dass a n k a n ist. Eine beschränkte monoton wachsende Folge hat einen Limes. nach oben beschränkt ist monoton wachsend 7.3 Konvergenz für Reihen mit beliebigen Gliedern Intermezzo. Betrachten wir zunächst als Beispiel die Reihe n ( ) k k+, das heißt, die Folge der Partialsummen mit den Gliedern, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... und Wenn wir wie folgt verfahren, ( ) k k + = = = = dann sieht man, dass so jedes positive Glied sich kürzt mit dem korrespondierenden negativen Glied und man so als Limes 0 bekommt. Andererseits hat man auch = = ( ) ( ) ( ) ( ) + = 8 Damit haben wir bewiesen, dass Oder doch nicht? = = ( ) n n + 2. In dem komischen Beweis haben wir umgeordnet beim Addieren und das ist im Allgemeinen nur gültig bei endlich vielen Änderungen. Die Kommutativität besagt, dass a + b = b + a und wenn man diese Regel (und die Assoziativität) 4 mal benutzt, hat man auch a + b + c + d + e = e + d + c + b + a. Dass man diese Regel auch bei unendlich vielen Termen benutzen darf, ist nie gesagt worden und ist im Allgemeinen auch nicht gültig.

6 80 6. Januar 207 Woche 7, Reihen I Definition 7.5 Die Folge b n heißt eine Umordnung von a n, wenn es eine bijektive Abbildung σ : N N gibt, so dass b n = a σ(n). Im Allgemeinen kann sich der Limes einer Reihe ändern nach Umordnen. Für Reihen mit positiven Gliedern gibt es eine Ausnahme. Lemma 7.6 Sei a n eine reelle Folge mit a n 0 und derart, dass n a k = l existiert. Dann gilt auch für jede Umordnung σ, dass n a σ(k) = l. Beweis. Setze N σ (n) = max σ (k) ; 0 k n und weil a k 0 folgt, dass s n := a σ(k) N σ(n) a k l. Weil s n wachsend und beschränkt ist, ist die Folge konvergent, sagen wir s := s n. Also gilt s l. Ebenso ist die Inverse σ invers von σ eine Umordnung und dies liefert l s. Für Reihen mit sowohl negativen als auch positiven Gliedern hat man im Intermezzo gesehen, dass eine Umordnung zu einem anderen Ergebnis führen kann. Auch für Reihen in C gibt es dieses Phänomen. Dies passiert jedoch nicht bei jeder solchen Folge. Solche Reihen haben einen Namen. Definition 7.7 Sei a n C für alle n N. Die Reihe n a k heißt unbedingt konvergent, wenn die Reihe n a σ(k) für jede Umordnung σ konvergiert. Bemerkung 7.7. Wenn eine Reihe konvergent, aber nicht unbedingt konvergent ist, heißt sie bedingt konvergent. Beispiel 7.3. Die Reihe n ( ) k k+ ist bedingt konvergent. Man kann eine Umordnung finden, so dass die umgeordnete Reihe divergiert. Beispiel 7.4. Die Reihe n ( ) k (k+) 2 ist unbedingt konvergent. Für jede Umordnung konvergiert die zugehörige Reihe und zwar zum gleichen Limes: Diese Zahl können wir erst später berechnen. ( ) k (k + ) 2 = π2 2. Wenn a n eine Folge reeller Zahlen ist, dann findet man durch a + n := an wenn a n 0, 0 wenn a n < 0. und a n := 0 wenn an 0, a n wenn a n < 0. zwei Folgen mit nicht-negativen Zahlen a + n und a n. Bemerke, dass a+ n, a n 0 und a n = a + n a n gilt.

7 7.3 Konvergenz für Reihen mit beliebigen Gliedern 6. Januar Proposition 7.8 Sei a n eine Folge reeller Zahlen. Nehme an, n a k existiert. Dann gelten die folgende Aussagen: = l. Die Reihe n a k ist unbedingt konvergent genau dann, wenn n a+ k und n a k beide konvergieren. 2. Wenn die Reihe n a k unbedingt konvergent ist, dann gilt für jede Umordnung, dass a σ(k) = a k. Beweis.. = : (durch Widerspruch) Nehmen wir an n a+ k ist divergent. Wir schreiben b n = a + n. Wenn n b k nicht konvergiert, dann folgt, weil b n 0 ist, dass n b k =. Denn nach oben beschränkte wachsende Folgen haben einen Grenzwert. Wir konstruieren nun die folgende Unordnung. Sei n N derart, dass n b k und nehme an, die Indizes innerhalb 0,,..., n für die a k = b k gilt, sind m,,..., m,l. Sei m,0 der erste Index mit a m,0 < 0. Sei n 2 N derart, dass n 2 b k 2 a m,0 und nehme an, die Indizes innerhalb n +,..., n 2 für die a k = b k gilt, sind m 2,,..., m 2,l2. Sei m 2,0 der zweite Index mit a m2,0 < 0. Sei n 3 N derart, dass n 3 b k 3 a m,0 a m2,0 und nehme an, die Indizes innerhalb n 2 +,..., n 3 für die a k = b k gilt, sind m 3,,..., m 3,l3. Sei m 3,0 der dritte Index mit a m3,0 < 0. Und so weiter. Die Folge a m,,..., a m,l, a m,0, a m2,,..., a m2,l2, a m 2,0, a m3,,..., a m3,l3, a m 3,0,... positiv negativ ist eine umgeordnete Folge mit positiv negativ positiv... a σ(k) =. Weil die Annahme ist, dass jede Umordnung konvergiert, folgt der Widerspruch. Auch wenn n a k divergent ist, folgt ein Widerspruch.. =: Sei σ eine Umordung. Weil a + k 0 kann man Lemma 7.6 verwenden. Wenn n a+ k konvergiert, dann ist auch n a+ σ(k) konvergent, und es gilt, dass a + σ(k) = a + k.

8 82 6. Januar 207 Woche 7, Reihen I Ähnliches trifft zu für n a+ k und es folgt, dass a σ(k) = = = ( a + σ(k) ) a + k ( ) a + σ(k) a σ(k) = a k 2. Diese Aussage folgt aus und (7.2). a σ(k) = = ( a + σ(k) a + k ( a + k a k ) = a k a σ(k) ) a k. (7.2) Im ersten Teil des Beweises haben wir für eine nur bedingt konvergente Reihe eine Umordnung konstruiert so, dass die zugehörige umgeordnete Reihe nach konvergiert. Statt hätte man ähnlich auch eine beliebige Zahl s R nehmen können. Dies ist genau die Aussage des Riemannschen Umordnungssatzes. Er besagt, dass man eine bedingt konvergente Reihe mit reellen Koeffizienten so umordnen kann, dass sie nach einer beliebigen reellen Zahl konvergiert. 7.4 Absolute Konvergenz Definition 7.9 Sei a n eine Folge komplexer Zahlen. n a k heißt absolut konvergent, wenn n a k konvergent ist. Proposition 7.0 Sei a n eine Folge komplexer Zahlen. n a k ist unbedingt konvergent n a k ist absolut konvergent. Beweis. Wenn n a k unbedingt konvergent ist, dann sind auch n Re a k Re a k und und n Im a k unbedingt konvergent. Und umgekehrt, wenn n n Im a k unbedingt konvergent sind, ist auch n a k unbedingt konvergent. Weiterhin folgt mit dem Majorantenkriterium, weil Re a k a k, Im a k a k und a k Re a k + Im a k, dass n a k konvergent ist, genau dann wenn sowohl n Re a k als auch n Im a k konvergent sind. Also reicht es auch hier, die Aussage für reelle Folgen zu beweisen. Nehmen wir also an, a n R. = : Wenn n a k, mit a n R für alle n N, unbedingt konvergent ist, dann impliziert Proposition 7.8, dass n a+ k und n a k konvergieren. Weil gilt, konvergiert n a k. =: Wenn n a k konvergiert, liefert das Majorantenkriterium die Konver- und n a k genz von n a+ k a k = a + k +. Korollar 7. (Absolute Konvergenz impliziert Konvergenz) Sei a n C. Wenn n a k konvergent ist, ist auch n a k konvergent. a k

9 7.5 Zwei Konvergenzkriterien 6. Januar Beweis. Absolute Konvergenz liefert unbedingte Konvergenz. Unbedingte Konvergenz enthält Konvergenz. k Wir geben eine kurze Übersicht, wie man Reihen a n klassifizieren kann: k N. konvergent 2. divergent a. unbedingt konvergent = absolut konvergent konvergent, b. bedingt konvergent = jedoch nicht absolut 7.5 Zwei Konvergenzkriterien Lemma 7.2 (Quotientenkriterium) Sei a n eine komplexe Folge, so dass a n+ a n = r R existiert. Wenn r <, dann ist Wenn r >, dann ist a n absolut konvergent. a n divergent. Beweis. Nehme ε = r. Für r ist ε > 0 und es gibt N 2 ε N, so dass a n+ r a n < ε für n > N ε. Für r < hat man r+ < und liegt die ε-umgebung von r links von r+. Siehe auch 2 2 Abbildung 7.. ε Es folgt, dass r 0 r 2 Abbildung 7.: Die ε-umgebung von r a n+ a n = a n+ a n r + r < ε + r = r < für n > N ε und via auch, dass a n+2 ( r) a n+ ( r) 2 an für n > N ε a n ( r) n N ε anε+ für n > N ε.

10 84 6. Januar 207 Woche 7, Reihen I Weil + r < gilt, ist ( 2 2 k=n + r) n N ε ε+ 2 2 anε+ eine konvergente geometrische Reihe. Mit dem Majorantenkriterium konvergiert k=n a ε+ n und so auch a n. Wenn r > folgt a n+ a n = a n+ a n r + r > ε + r = r > für n > N ε und a n a Nε+ > 0 für n > N ε. Also entweder a n existiert nicht, oder a n 0. Weil a n = 0 eine notwendige Bedingung ist für Konvergenz, ist a n divergent. Lemma 7.3 (Wurzelkriterium) Sei a n n Setze sup an = r [0, ]. eine komplexe Folge. Wenn r <, dann ist Wenn r >, dann ist a n absolut konvergent. a n divergent. Wenn a n bedingt konvergent ist, dann gilt r =. Bemerkung 7.3. Wenn n n a n existiert, dann gilt sup an = n a n. Der Limes Superior einer nicht negativen Folge,,existiert immer in [0, ]. Beweis. Wenn r < gilt und wir ε = 2 ( r) nehmen, gibt es N ε N, so dass n a n r < ε für n > N ε. Wenn n a n < r + ε = + r, folgt 2 2 a n < ( r) n für n > Nε und wir können fortfahren wie beim Quotientenkriterium. Wenn r > gilt, dann gibt es eine Teilfolge a nk, so dass n k ank > und also auch a nk >. Das heißt, entweder a n existiert nicht, oder a n 0. Weil a n = 0 eine notwendige Bedingung ist für Konvergenz, ist a n divergent. Wenn man r hat, dann ist die Reihe entweder divergent (wenn r > ) oder absolut konvergent (wenn r < ). Damit ist bedingte Konvergenz ausgeschlossen.

11 7.6 Konvergenz bei alternierenden Gliedern 6. Januar Konvergenz bei alternierenden Gliedern Wir haben uns nicht umsonst erst mal beschränkt auf Reihen mit positiven Gliedern. Wenn so eine Reihe konvergent ist, dann ist sie auch absolut konvergent und man muss sich keine Sorgen darüber machen, in welcher Folge man die Glieder addiert. Für Reihen mit Vorzeichenwechsel und auch für Reihen mit komplexen Gliedern ist Konvergenz eine kompliziertere Sache. Es kann sein, dass eine Umordnung konvergiert und eine andere divergiert. Einige Spezialfälle kann man aber trotzdem angehen. Insbesondere bei Reihen mit alternierenden Gliedern kann man oft relativ einfach Konvergenz beweisen. Man nennt eine reelle Folge b n alternierend, wenn b nb n+ < 0 für alle n N, das heißt, das Vorzeichen zweier aufeinanderfolgender Termen ist negativ. Ein Beispiel ist ( ) n. n+ Um dieses Kriterium so einfach wie möglich zu schreiben, betrachten wir statt ( ) n a n mit a n > 0 b n mit b n > 0 für n gerade und b n < 0 für n ungerade. Lemma 7.4 (Kriterium von Leibniz) Sei a n Eigenschaften: eine reelle Folge mit folgenden. ( ) n a n > 0 für n N (alternierend); 2. a n+ a n für n N ( a n fallend); 3. a n = 0 (Nullfolge). Dann gilt a n ist konvergent. Beweis. Setzen wir α k = und betrachten wir zusätzlich die Folgen β k und γ k mit Die ersten Terme sind: β k = 2[ 2 k] k a n a n und γ k = 2[ 2 k]+ β k : a 0, a 0, a 0 a + a 2, a 0 a + a 2, a 0 a + a 2 a 3 + a 4,..., α k : a 0, a 0 a, a 0 a + a 2, a 0 a + a 2 a 3, a 0 a + a 2 a 3 + a 4,..., γ k : a 0 a, a 0 a, a 0 a + a 2 a 3, a 0 a + a 2 a 3, a 0 a + a 2 a 3 + a 4 a 5,.... Man findet, dass β k eine monoton fallende Folge und γ k eine monoton wachsende Folge ist. Weil beide Folgen beschränkt sind, haben sie einen Grenzwert, sagen wir l γ und l β. Weil β k γ k = a 2[ 2 k]+ a n.

12 86 6. Januar 207 Woche 7, Reihen I und k a 2[ 2 k]+ = 0 hat man l β = l γ. Ausserdem hat man γ k α k β k und das Sandwichlemma liefert k α k = l β. Mit Hilfe dieses Kriteriums finden wir, dass später noch mal zeigen, dass ( ) n n + ( ) n konvergent ist. Wir werden n + = log 2. (7.3) ln Abbildung 7.2: Grapische Darstellung für die Reihe in (7.3) Für das nächste Beispiel verwenden wir die folgenden Schulkenntnisse über den Logarithmus. Man schreibt sowohl ln( ) als auch log( ).. ln : R + R ist strikt wachsend und surjektiv. 2. Es gilt ln(xy) = ln(x) + ln(y) für x, y R +. Dies impliziert, dass für x R + und n N gilt ln(x n ) = n ln(x), und außerdem, dass ln () = Es gibt eine Zahl e (2, 3) mit ln(e) = Abbildung 7.3: Eine Skizze zum Logarithmus -4 Beispiel 7.5. Betrachten wir n=0 ( ) n ln (ln n). Weil 0 > 9 > e 2 und der Logarithmus strikt wachsend ist, folgt für n 0, dass Dann sind die Glieder also alternierend. ln (ln n) ln ( ln ( e 2)) ln 2 > ln = 0.

13 7.6 Konvergenz bei alternierenden Gliedern 6. Januar Weil der Logarithmus wachsend ist, ist ln(ln n) n=0 eine monoton fallende Folge. Weil der Logarithmus wachsend und surjektiv ist, folgt ln x wenn x. Dies impliziert, dass 0 für n. ln(ln n) Das Kriterium von Leibniz trifft zu und die Reihe ist konvergent. Die Frage, ob diese Reihe vielleicht auch absolut konvergent ist, kann man verneinen. Weil ln (x) x für x > 0 gilt 2, folgt ln ln (n) n für n 3 und dann auch die folgende Abschätzung ln ln (n) n. Man sieht mit dem Majorantenkriterium, dass die Reihe nicht absolut konvergent ist. 2 Für x (0, ] gilt ln (x) ln () = 0 < x. Für x ( e n, e n+] mit n N gilt ln (x) ln ( e n+) = n + 2 n e n < x.

14 88 6. Januar 207 Woche 7, Reihen I 7.7 Rezeptur Wie geht man auf eine strukturierte Art die Frage an, ob eine Reihe b n konvergiert? Die folgende Anleitung kann dazu helfen. Frage: b n 0? Ja Frage 2. Antwort: Nein Reihe divergent. 2 Frage: Reihe absolut konvergent? Dazu b n vergleichen mit bekannter Reihe: (a) Polynomialer Typ: und c > 0. Antwort: n q b n c n q und q b n c n q und q > c und ähnlich. Benutze Majorantenkriterium mit n q b n divergent. b n und auch b n konvergent. Wenn b n kein festes Vorzeichen hat und b n divergiert: Frage 3. (b) Potenztyp: r n und ähnlich. Berechne r durch (Quotienten- oder) Wurzelkriterium. Antwort: sup sup sup n bn = r > b n n bn = r = Frage 3. n bn = r < b n divergent. konvergent. Bemerkung: r > sollte nicht auftreten, denn dann gilt nicht b n 0. (c) Anderer Typ: Frage 3. 3 Frage: Glieder alternierend und Leibniz trifft zu? Ja Reihe konvergent. Antwort: Nein 4. 4 Eigene Kreativität gefragt.