a) b) Abb. 2: Verkleinertes Fünfeck

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1 Hans Walser, [ ], [ ] Halbregulärer Pflasterstein Anregungen: Heinz Klaus Strick, Leverkusen; Boris Odehnal, Wien 1 Worum geht es? Mit dem regelmäßigen Fünfeck lässt sich die Ebene nicht pflastern, wohl aber mit einem daraus abgeleiteten halbregulären Fünfeck. Analog für das Siebeneck. 2 Der Pflasterstein Mit dem regelmäßigen Fünfeck lässt sich die Ebene nicht pflastern. Es bleiben nicht schließbare Lücken (Abb. 1). Abb. 1: Lücke Wir modifizieren unseren Pflasterstein. Wir beginnen mit einem regelmäßigen Fünfeck (Abb. 2a) und klappen eine Ecke ein (Abb. 2b). Die Restfigur ist der Umriss unseres Pflastersteins. Er ist gleichseitig, aber nicht gleichwinklig. Daher die Bezeichnung halbregulär. Weiteres zu dieser Figur siehe [1].

2 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 2 / 17 a) b) Abb. 2: Verkleinertes Fünfeck Nun verzieren wir den Pflasterstein mit Teilen von Kreisringen. Die Geometrie dieser Kreisringteile ergibt sich aus der Abbildung 3a. Der Hintergrund ist der Goldene Schnitt (Walser 2013). a) b) Abb. 3: Teile von Kreisringen Die Abbildung 3b zeigt den in den folgenden Figuren verwendeten Pflasterstein. 3 Bandornamente In der Abbildung 4 sehen wir ein Bandornament mit Schubspiegelsymmetrie. Abb. 4: Bandornament mit Schubspiegelsymmetrie In der Abbildung 5 glauben wir einen Mäander zu erkennen. Ist es aber ein Mäander?

3 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 3 / 17 Abb. 5: Mäander? Man beachte, dass wir keine Symmetrieachsen haben. Man beachte weiter, dass wir auch ein einem realweltlichen Mäander wegen der Fließrichtung des Wassers keine Symmetrieachsen haben. 4 Parkette Im Folgenden einige Beispiele von Parketten. Abb. 6: Simples Parkett

4 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 4 / 17 Abb. 7: Parkett 2 Abb. 8: Parkett 3

5 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 5 / 17 Abb. 9: Parkett 4 Abb. 10: Parkett 5

6 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 6 / 17 5 Rosette Die Figur der Abbildung 11 hat eine zehnteilige Rotationssymmetrie. Sie lässt sich beliebig weit in die Ebene fortsetzen. Abb. 11: Rosette

7 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 7 / 17 6 Spiralen Abb. 12: Archimedische Spirale

8 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 8 / 17 Abb. 13: Doppelspirale

9 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 9 / 17 Abb. 14: Zehnfachspirale

10 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 10 / 17 7 Siebeneck Wir können analog mit einem regelmäßigen Vieleck ungerader Eckenzahl verfahren. Dia Abbildung 15 zeigt die Situation für ein regelmäßiges Siebeneck. Die Verzierung im halbregulären Siebeneck gestattet gewissen Freiheiten. Abb. 15: Halbreguläres Siebeneck Die Abbildung 16 zeigt ein einfaches Bandornament aus halbregulären Siebenecken. Abb. 16: Bandornament aus halbregulären Siebenecken

11 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 11 / 17 Die Abbildung 17 zeigt ein aus dem Bandornament abgeleitetes Flächenornament. Abb. 17: Flächenornament

12 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 12 / 17 Die Abbildung 18 zeigt eine Rosette. Diese kann beliebig weit in die Ebene fortgesetzt werden. Abb. 18: Rosette

13 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 13 / 17 Die Abbildung 19 ist eine Art Doppelrosette. Man kann auch von einer ovalen Anordnung reden. Abb. 19: Doppelrosette

14 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 14 / 17 Die Abbildung 20 zeigt eine archimedische Spirale. Abb. 20: Archimedische Spirale

15 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 15 / 17 Die Abbildung 21 zeigt eine doppelte archimedische Spirale. Abb. 21: Doppelte archimedische Spirale

16 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 16 / 17 Die Abbildung 22 zeigt eine Variante der doppelten archimedischen Spirale. Abb. 22: Doppelte archimedische Spirale. Variante Es ist mir nicht gelungen, eine 14-fache archimedische Spirale (analog zur Abbildung 14) zu zeichnen. Der Ansatz an die zentrale Rosette gelingt nicht.

17 Hans Walser: Halbregulärer Pflasterstein 17 / 17 Literatur Walser, Hans (6. Auflage). (2013). Der Goldene Schnitt. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: Edition am Gutenbergplatz. ISBN Websites [1] Hans Walser: Halbregulär (abgerufen ):