Ubungen zur Analysis 1. Prof. Dr. Kohnen. Dr. O. Delzeith

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1 Ubuge zur Aalysis 1 Prof. Dr. Kohe Dr. O. Delzeith SS 1996

2 1. Beweise Sie uter Beutzug der i der Vorlesug geate vier Axiome fur N : Sid m; ; p; q 2 N ud gilt m > sowie p > q, so gilt mp > q. (3 Pukte) 2. Ma deiere fur Mege A; B die Mege A B (sprich " A ohe B\) als diejeige Mege aller Elemete i A, welche icht i B ethalte sid. Zeige Sie fur Mege A; B; C A A (B (B C)) = A \ B \ C : 3. Zeige Sie durch vollstadige Iduktio, da fur alle 2 N gilt : : : + 2 = ( + 1)(2 + 1) 6 4. Seie 2 N ud k 2 N [ f0g. Fur k deiere ma de Biomialkoeziete k (sprich uber k\) als die " Azahl der k{elemetige Teilmege vo f1; : : : ; g. Ferer setze ma (sprich " k Fakultat\). k! := ( 1 : : : k (k 2 N) 1 (k = 0) (i) Zeige Sie: k! = 1! + 1! k k 1 ( 2 ; 1 k < ) : (ii) Zeige Sie uter Beutzug vo (i) mittels vollstadiger Iduktio k! =! k!( k)! : (5 Pukte) 5. Bestimme Sie alle aturliche Zahle, fur die 2 < 2 gilt. (3 Pukte) 6. Sei eie aturliche Zahl. Zeige Sie uter Beutzug der i der Vorlesug geate vier Axiome fur N, da es keie aturliche Zahl m mit < m < + 1 gibt. 1

3 7. Sei f : M! N eie Abbildug zwische de Mege M ud N. Ferer seie M 1 ; M 2 Teilmege vo M sowie N 1 ; N 2 Teilmege vo N. Zeige Sie: (i) f 1 (N 1 [ N 2 ) = f 1 (N 1 ) [ f 1 (N 2 ); (ii) f 1 (N 1 \ N 2 ) = f 1 (N 1 ) \ f 1 (N 2 ); (iii) f(m 1 [ M 2 ) = f(m 1 ) [ f(m 2 ); (iv) f(m 1 \ M 2 ) f(m 1 ) \ f(m 2 ). Gebe Sie ei Gegebeispiel dafur a, da im allgemeie keie Gleichheit i (iv) gilt. 8. Zeige Sie folgede Aussage fur eie Abbildug f : X! Y zwische de Mege X ud Y : (i) f ist geau da ijektiv, we fur je zwei Teilmege A ud B vo X gilt; f(a \ B) = f(a) \ f(b) (ii) f ist geau da surjektiv, we fur jede Teilmege A vo X gilt. Y f(a) f(x A) (5 Pukte) 9. Zeige Sie uter Beutzug des Satzes der Eideutigkeit der Primfaktorzerlegug der aturliche Zahle, da die Abbildug ( N N! N (m; ) 7! 2 m 3 ijektiv ist. Folger Sie hieraus, da N N abzahlbar ist. (3 Pukte) 2

4 10. Beweise Sie: Eie edliche Mege ist iemals zu eier ihrer echte Teilmege gleichmachtig. 11. Zeige Sie: (i) Seie M ud N Mege. Ferer sei M abzahlbar, ud es existiere eie surjektive Abbildug f : M! N. Da ist die Mege N edlich oder abzahlbar. (ii) Ist fm g 2Neie Folge abzahlbarer Mege, so ist auch die Mege S abzahlbar. 2N M (5 Pukte) 12. Zeige Sie: Die Mege f a + b p 2 j a; b 2 Q g ist abzahlbar. Tip: Beutze Sie Aufgabe 3(i). 13. Zeige Sie: Fur 2 N gilt 2 = X =0! ud 0 = X =0 ( 1)! : (3 Pukte) 14. Zeige Sie: (i) Fur reelle Zahle a; b 0 gilt! 2 a + b ab ; 2 (ii) fur reelle Zahle a; b; c; d 0 gilt a + b + c + d 4! 4 abcd : Gebe Sie fur die Gleichheit i (i) bzw. (ii) ei otwediges ud hireichedes Kriterium a. 3

5 15. Bestimme Sie alle reelle Zahle x 2 R, fur die gilt. 3 x 2 2 = 5 2 ud jx 4j < 6 ud j2x 1j jx 1j Zeige Sie: (i) Fur reelle Zahle a 6= 0; b 6= 0 gilt a b + b a 2 ; (ii) fur alle a; b 2 R gilt ja + bj + ja bj jaj + jbj : Gebe Sie fur die Gleichheit i (i) bzw. (ii) ei otwediges ud hireichedes Kriterium a. 17. Zeige Sie, da die Folge (a ) 2Nud (b ) 2Nreeller Zahle mit a := ( 1) kovergiere, ud bestimme Sie dere Grezwerte. 18. Seie (a ) 2Neie Folge reeller Zahle ud a 2 R. Zeige Sie: ud b := : : : (5 Pukte) (3 Pukte) (i) Kovergiere die Folge (a 2 ) 2Nud (a 2+1 ) 2Ngege a, so auch die Folge (a ) 2N. (ii) Die Folge (a ) 2Nkovergiere gege a. Da kovergiert die Folge (( 1) a ) 2Ngeau da, we a = 0 gilt. 19. Sei (a ) 2Neie kovergete Folge reeller Zahle mit dem Grezwert a 2 R. Zeige Sie: Die Folge (b ) 2Nmit b := a 1 + : : : + a kovergiert, ud es gilt lim!1 b = a. 4

6 20. Fur a 1 sei rekursiv die Folge (a ) 2Nreeller Zahle durch a 1 := a a +1 := 2 1 a ( 2 N) deiert. Zeige Sie: (i) Die Folge (a ) 2Nist wohldeiert, d. h. die obige Rekursio ist fur alle 2 N sivoll; daruberhiaus ist sie mooto falled ud beschrakt. (ii) Sie ist koverget mit dem Grezwert Zeige Sie: (5 Pukte) Jede Teilfolge eier kovergete Folge ist koverget mit demselbe Grezwert. (3 Pukte) 22. Seie a 2 R ud (a ) 2Neie Folge reeller Zahle mit folgeder Eigeschaft: Jede Teilfolge vo (a ) 2Nbesitzt eie kovergete Teilfolge mit Grezwert a. Zeige Sie: Die Folge (a ) 2Nkovergiert gege a. 23. Fur a 2 R sei die Folge (a ) 2Nreeller Zahle durch a 1 := a a +1 := a 2 4a + 6 ( 2 N) rekursiv deiert. (i) Bestimme Sie die Mege aller a, fur welche die Folge (a ) 2Nkovergiert. (ii) Bereche Sie im Falle der Kovergez de Grezwert i Abhagigkeit vo a. Tip: Fide Sie eie geschlossee Formel fur a ( 2 N ). 5

7 24. Seie k 2 N, k 2, ud b 2 R, b 0. Zeige Sie uter Beutzug der agegebee Schritte die Aussage: Es existiert geau eie Zahl a 2 R, a 0 mit a k = b : Bem.: Die Zahl a heit die k{te (positive) Wurzel aus b (i Zeiche kp b oder b k 1 ). Beweise Sie: (i) Fur x 2 R, x 0, ud 2 N gilt x + 1 x : Tip: Beutze Sie die Beroullische Ugleichug. Sei u b 0 > 0 eie beliebige, aber fest gewahlte reelle Zahl, ud ma setze a 0 := (ii) Durch die Rekursio b b k 1 0. b := a 1 + (k 1)b 1 k ; a := b b k 1 ( 2 N) werde Folge (a ) 2N, (b ) 2Nreeller Zahle deiert. (iii) Die Folge I := [a ; b ] ( 2 N) vo Itervalle ist eie Itervallschachtelug. Tip: Beutze Sie (i). (iv) Die vo ihr erfate Zahl a erfullt die Gleichug a k = b. (5 Pukte) 25. Sei (a ) 2Neie beschrakte Zahlefolge ud M die Mege ihrer Haufugspukte. Zeige Sie: Es gilt sup M ; if M 2 M : 26. Zeige Sie: lim!1 p = 1 : Tip: Ma schreibe p = 1 +. Uter Beutzug vo = (1 + ) ud des biomische Lehrsatzes folgere ma 2 2, also lim!1 = 0. (3 Pukte) 6

8 27. (i) Sei (a ) 2Neie mooto fallede Nullfolge. Zeige Sie: =1 a ist koverget () =1 2 a (2 ) ist koverget : (ii) Zeige Sie fur eie aturliche Zahl k : P Die Reihe 1 1 ist geau da koverget, we k > 1 gilt. =1 k 28. Sei (a ) 2Ndie durch die Rekursio deierte Folge reeller Zahle. a 0 := 0 ; a 1 := 1 a +1 := 1 2 (a + a 1) ( 2 N ) (i) Zeige Sie mit Hilfe des Cauchysche Kovergezkriteriums (!), da die Folge koverget ist. (ii) Bestimme Sie ihre Grezwert. (5 Pukte) 29. Utersuche Sie die folgede Reihe auf bedigte ud ubedigte Kovergez. Begrude Sie Ihre Atwort. (i) =0 2 ; (ii) ( 1) ( + 1) ; (iii) =1 =0 + 1 : (3 Pukte) 30. Etscheide Sie, ob die folgede Reihe kovergiere. Begrude Sie Ihre Atwort. (i) p a 1 (a 2 R ; a 0) ; (ii) =0 =1 ( + 1) +1 : 7

9 31. Der Grezwert der ach dem Leibizkriterium kovergete Reihe mit a bezeichet. Zeige Sie: (i) : : : = a ; (ii) : : : = 3 2 a. =1 ( 1) 1 1 sei 32. (i) Seie (a ) 2N, (b ) 2NFolge reeller Zahle mit b > 0 ( 2 N), so da die Folge a a kovergiert. Es gelte lim 6= 0. b!1 b 2N Zeige Sie: =1 a ist koverget () =1 b ist koverget : (ii) Kovergiert die Reihe Begrude Sie Ihre Atwort. =1 1 p +1? (5 Pukte) 33. Zeige Sie: Die Abbildug w : ( R0! R 0 x 7! p x (mit R 0 := f x 2 R j x 0 g) ist i jedem Pukt a 2 R 0 stetig. (3 Pukte) 34. (i) Bestimme Sie 1 lim x!2 2 x 12 : 8 x 3 (ii) Seie f : R! R eie Abbildug ud a 6= 0 eie reelle Zahl. Zeige Sie: f(x) f(ax) We lim = c existiert, so gilt lim x!0 x x!0 x = ac. 8

10 35. Zeige Sie, da die durch f(x) := 8 < 1 : x z x ; x 6= 0 0 ; x = 0 deierte Fuktio f : R! R mit der i der Vorlesug eigefuhrte Zackefuktio z : R! R i dem Pukt a = 0 stetig ist. 36. (i) Zeige Sie: Q liegt dicht i R, d. h. zu jeder reelle Zahl a existiert eie Folge ratioaler Zahle, die gege a kovergiert. Tip: Sei zuachst a 0. Es geugt zu zeige (?), da es fur jedes 2 N eie ratioale Zahl x mit ja xj 1 gibt. Weise Sie dazu ach, da eie miimale aturliche Zahl k mit a < k existiert. Fur sie gilt k 1 a < k, woraus die Ugleichug a k 1 folgt. Im Falle a < 0 betrachte ma a > 0. (ii) Sei f : R! R ei Gruppehomomorphismus, d. h. es gilt f(x + y) = f(x) + f(y) (8 x; y 2 R) : Zeige Sie: Ist f zusatzlich eie stetige Abbildug mit f(1) = 1, so gilt f(x) = x (8 x 2 R) : Tip: Beweise Sie zuachst f(x) = x (8 x 2 Q), ud beutze Sie da (i). (5 Pukte) 37. Sei C 0 (I) der R{Vektorraum der stetige reellwertige Fuktioe auf dem Itervall I = [a; b]. Zeige Sie, da die Abbildug k : k 0 : ( C 0 (I)! R f 7! sup f jf(x)j j x 2 I g wohldeiert ist ud eie Norm auf C 0 (I) deiert. (3 Pukte) 38. Etscheide Sie, welche der folgede Fuktioe auf ihrem Deitiosbereich gleich{ maig stetig sid. Begrude Sie Ihre Atwort. (i) f : ( R! R x 7! x 2 ; (ii) g : ( R0! R x 7! p x : 9

11 39. Etscheide Sie, welche der agegebee, puktweise kovergete Folge vo Fuktioe auf R 0 gleichmaig kovergiere. Begrude Sie Ihre Atwort. (i) f (x) = p x ; 1 (ii) f (x) = 1 + x ; (iii) f (x) = x 1 + x. 40. Beweise Sie das Majoratekriterium der Vorlesug: Seie (f : M! R) 2Neie Folge vo Fuktioe auf eier ichtleere Teilmege M vo R ud (a ) 2Neie Folge ichtegativer reeller Zahle mit Kovergiert die Reihe 1 P maig. =1 jf (x)j a (8x 2 M ; 8 2 N) : a, so kovergiert die Fuktioereihe 1 P =1 f absolut gleich{ (5 Pukte) 41. Sei V ei ormierter reeller Vektorraum mit Norm k : k. Zeige Sie: Fur alle v; w 2 V gilt jkvk kwkj kv wk : (3 Pukte) 42. Seie M eie ichtleere Teilmege vo R ud B(M) der ormierte reelle Vektorraum der beschrakte Fuktioe F : M! R mit der Supremumsorm jf j M := sup jf (x)j : x2m Zeige Sie: eie Cauchyfolge i B(M) (d. h. zu jedem " > 0 existiert ei N 2 N, so da jf F m j M < " fur alle ; m N gilt), so existiert geau ei F 2 B(M) mit Ist (F ) 2N lim!1 jf F j M = 0 : 10

12 43. Seie I = [a; b] mit a < b ud f 2 R(I). Da deiert ma fur c; d 2 I mit d < c Z d Z c f(x) dx := f(x) dx ; Z c f(x) dx := 0 : Zeige Sie: Fur alle c; d; e 2 I gilt c d c Z d f(x) dx + Z e f(x) dx = Z e f(x) dx : c d c 44. Seie a; b 2 R mit 0 < a < b ud k 2 N. Bereche Sie das Itegral Z b a x k dx als Grezwert eier geeigete Riemasche Summe. Tip: Betrachte Sie die Zerlegug Z = sf a = a 0 < a 1 < : : : < a = b g vo [a; b] mit a := q a (0 ) ud q := b a. (5 Pukte) 11