Teil I. Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester Olga Holtz. MA 378 Sprechstunde Fr und n.v.

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1 Teil I Lineare Algebra I Vorlesung Sommersemester 2011 Olga Holtz MA 378 Sprechstunde Fr und n.v. holtz@math.tu-berlin.de Sadegh Jokar MA 373 Sprechstunde, Do und n.v. jokar@math.tu-berlin.de

2 Kapitel 6 Eigenwerte von Matrizen Neben Rang und Determinante einer Matrix gibt es noch weitere wichtige Größen, die eine Rolle bei Matrizen spielen. Dazu gehören das charakteristische Polynom und dessen Nullstellen, die Eigenwerte der Matrix. Betrachte dazu die Menge der Polynome vom Grad kleiner gleich n, { n } P = a i x i a i R, wobei R ein Ring ist. Definition 6.1 Sei A R n,n, R ein kommutativer Ring mit Eins-Element. Dann heißt das Polynom P A (λ) = det(λi n A) (6.2) das charakteristische Polynom von A. Warum ist das überhaupt ein Polynom? P A (λ) = det(λi n A) = n sgn (σ) (λδ j,σ(j) a j,σ(j) ) σ S n ist eine Summe von Produkten von Termen der Form (λδ j,σ(j) a j,σ(j) ) und damit ein Polynom. Es ist klar, dass einer dieser Terme die Form n (λ a jj ) hat, dies ist ein Polynom vom Grad n. Somit kann man P A (λ) schreiben als n P A (λ) = (λ a jj ) + n sgn (σ) (λδ j,σ(j) a j,σ(j) ). σ Sn σ 12 n 1

3 2 In jedem Term des zweiten Summanden gibt es mindestens zwei Faktoren, die kein λ enthalten. Damit ist der Grad des zweiten Summanden höchstens n 2. Es folgt n P A (λ) = λ n a jj λ n 1 + q(λ) mit q(λ) vom Grad n 2. Definition 6.3 Sei A R n,n, R ein kommutativer Ring mit Eins-Element. Dann heißt die Summe n tr (A) = spur (A) = a jj (6.4) die Spur der Matrix A. (Englisch: trace). Damit folgt P A (λ) = λ n tr (A)λ n 1 + q(λ) mit grad (q) n 2. Man hat also zu jeder Matrix ein Polynom. Umgekehrt kann man auch zu jedem Polynom vom Grad n mit führendem Term λ n eine Matrix konstruieren, die dieses als charakteristisches Polynom hat. Lemma 6.5 Sei p(λ) = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n, so ist p(λ) charakteristisches Polynom von A p = 0 a n a2 1 a 1. (6.6) Beweis: Wir verwenden vollständige Induktion: I.A.: Für n = 1, d.h. p(λ) = λ + a 1, gilt mit A p = [ a 1 ] P Ap (λ) = det(λi 1 A p ) = λ + a 1 = p(λ).

4 3 I.V.: Für Polynome kleineren Grades als n sei die Behauptung bewiesen. I.S.: λ a n det(λi n A p ) = det... λ a2 1 λ + a 1 λ a a n n λ 0 a.. n 2 = λ det. + det λ a2 1 λ a 2 1 λ + a 1 }{{} 1 λ + a 1 nach I.V. = λ (λ n 1 + a 1 λ n a n 2 λ + a n 1 ) 1 + ( 1) (n 1)+1 a n det λ λ } {{ 1 } n 2 = λ n + a 1 λ n 1 + a n 2 λ 2 + a n 1 λ + ( 1) 2n 2 a n = p(λ). Definition 6.7 Die zu einem Polynom p(λ) konstruierte Matrix aus (6.6) heißt Begleitmatrix zu p(λ). Definition 6.8 Sei K ein Körper und seien A, B K n,n. A und B heißen ähnlich, falls es ein invertierbares Z K n,n gibt, so dass A = Z 1 BZ. Satz 6.9 Wenn zwei Matrizen A, B K n,n ähnlich sind, so besitzen sie das gleiche charakteristische Polynom.

5 4 Beweis: Sei A = Z 1 BZ, dann ist det(λi A) = det(λi Z 1 BZ) = det ( Z 1 (λzz 1 B)Z ) Satz 5.14 = det Z 1 det(λi B) det Z Satz 5.14 = det ( Z 1 Z ) det(λi B) = det(λi B). Die Umkehrung von Satz 6.9 gilt nicht immer. Genauer werden wir das später sehen. Ein fundamentaler Satz der Linearen Algebra ist der folgende Satz von Cayley und Hamilton. Satz 6.10 Satz von Cayley und Hamilton Sei K ein Körper und A K n,n mit dem charakteristischen Polynom P A (λ). Dann erfüllt A die Gleichung 0 = P A (A) = A n + a 1 A n a n 1 A + a n I n. (6.11) Beweis: Für n = 1 ist der Satz klar. Für n 2 betrachte die Matrix adj(λi A). Alle Einträge sind Polynome vom Grad n 1, es sind Minoren von λi A. Wir können also adj (λi A) schreiben als adj (λi A) = Nach Satz 5.18 folgt n 1 B i λ i mit B i K n,n. (λi A)adj (λi A) = (λi A) und damit folgt n 1 B i λ i+1 }{{} n i=1 B i 1 λ i n 1 AB i λ i = ( n 1 P A (λ) P A (λ) B i λ i ) = P A (λ)i. = P A(λI)

6 5 mit P A (λ) = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n. Der Koeffizientenvergleich (für gleiche Potenzen von λ) ergibt λ n : A n B n 1 = I = A n B n 1 = A n λ n 1 : A n 1 B n 2 AB n 1 = a 1 I = A n 1 B n 2 A n B n 1 = a 1 A n 1. λ 1 : A B 0 AB 1 = a n 1 I = AB 0 A 2 B 1 = a n 1 A λ 0 : AB 0 = a n I = AB 0 = a n I Addieren ergibt A n + a 1 A n a n 1 A + a n I = 0. Eigentlich hätten wir um diesen Beweis so durchzuführen erst einmal etwas detaillierter das Rechnen mit Variablen diskutieren müssen, denn der exakte mathematische Umgang mit Variablen ist mit großer Vorsicht zu betrachten. Dies würde aber einen großen formalen Aufwand erfordern und dafür ist hier nicht der richtige Platz. Definition 6.12 Sei K ein Körper und sei A K n,n. Falls u K n,1, u 0, und λ K die Gleichung Au = λu (6.13) erfüllen, so heißt u Eigenvektor von A zum zugehörigen Eigenwert λ. Da Eigenvektoren immer ungleich 0 sind, folgt aus λ 1 u = λ 2 u, dass λ 1 = λ 2. Der Eigenwert zu u ist also eindeutig. Satz 6.14 Zu A K n,n gibt es einen Eigenvektor u mit Eigenwert λ genau dann, wenn λ Nullstelle des charakteristischen Polynoms P A (λ) ist. Beweis: P A (λ) = 0 det(λi A) = 0 das homogene Gleichungssystem (λi A)u = 0 hat mindestens eine nichttriviale Lösung, d.h. eine Lösung ungleich 0. u K n,1, u 0 mit λu = Au.

7 6 Beispiel 6.15 Eigenwerte und Eigenvektoren von A K 2,2 [ ] λ a11 a det(λi A) = det 12 a 21 λ a 22 = λ 2 (a 11 + a 22 ) }{{} spur (A) λ 1,2 = spur (A) 2 ± 1 2 spur (A) 2 4 det(a) Eigenvektoren erhält man als Lösung von [ ] [ ] λ1 a 11 a 12 x1 = 0, a 21 λ 1 a 22 x 2 [ ] [ ] λ2 a 11 a 12 y1 = 0. a 21 λ 2 a 22 y 2 Eigenwerte in der Technik λ + a 11 a 22 a 12 a 21 }{{} det(a) = 0 f 1 f m 2 f 2 x 1 x 2 f 1, f, f 2 - Federkonstanten Bewegungsgleichungen im Gleichgewicht: d 2 x 1 2 = f 1 x 1 + f(x 2 x 1 ) m 2 d 2 x 2 2 = f 2 x 2 f(x 2 x 1 ) Führe Geschwindigkeiten v 1 = dx 1, v 2 = dx 2 dv 1 dv 2 dx 1 dx 2 ein. Dann gilt = 1 ( f 1 x 1 + f(x 2 x 1 )) = f 1 + f x 1 + f x 2, = 1 m 2 ( f 2 x 2 f(x 2 x 1 )) = f m 2 x 1 f + f 2 m 2 x 2, = v 1, = v 2.

8 7 y := x 1 x 2 v 1 v 2 = dy = Ay = Ansatz: y = e λt z wobei z C f 0 0 m f 1+f f m 2 f+f 2 y. dy = λeλt z = Ae λt z e λt = λz = Az = (λi A)z = 0 = λ ist Eigenwert und z Eigenvektor. Die Eigenwerte λ sind die Eigenfrequenzen des Systems. Konkret wählen wir f 1 = f 2 = f = 1, = m 2 = 1 und erhalten: A = det(λi A) = det λ λ λ λ λ 0 1 = λ det 1 λ 0 det 2 0 λ = λ(λ 3 + 2λ) ( λ 2 ) 0 λ λ = λ 4 + 4λ = ω 2 + 4ω + 3 mit ω = λ 2 ω = 4 ± ω 1 = 1, ω 2 = 3, = 4 ± 4 2 = 2 ± 1, λ 1,2 = ±i, λ 3,4 = ± 3i.