Analysis I. 4. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

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1 Analysis I 4. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching March 9, 07

2 Rechnen mit Limites (Bonus) Bemerkung. Die folgenden Situationen sind Problematisch: 0,,, 0 0, 0, 0 0, +,.. mit Definition Beispiel : Zu Zeigen: Beweise mit der Definition, dass das folgende gilt: n 0 Beweis: Wir wählen ein beliebig kleines ε > 0 (z.b. ε 0 5 oderε 0 0 ). Gemäss Definition, müssen wir zeigen, dass ein N N(ε) N eistiert, so dass für alle n N folgendes gilt: a n a n 0 n < ε. Wie macht man das? Wir lösen nach n uaf a n a! n < ε n>0 n > ε. Wir wählen demzufolge N : ε, wobei die Aufrundungsfunktion ist (Gaussklammer) (z.b. 3. 4). Für n N gilt somit (nach Konsturktion): n 0 < ε. Das entspricht genau der Definition von n 0.. Dominanzen erkennen Es gelten die folgende Dominanzen: (i) Für : (ii) Für 0 : () n n Beispiel : () Der Wurzel-Trick Beispiel 3: () n (für n > 0) n (für n > )! + ( + )

3 4. Der Funddamentales (i) (ii) n ± ( ± n )n e ± f(n) ( + f(n) )f(n) e (iii) n 0 ( + n) n e (iv) ( + f(n)) f(n) n 0 Beispiel 4: Löse ( π ). Beispiel 5: + Löse ( ) e ( π ) e π e π ( ) + [ ( + π ) ] π π ( ( ) ) + ( ( + + ( ( + + ( ( + + ( ( + ) ) [ ( + ) (e ) (e 0 ( e ) 3 (e ) ) ) ) ) ) ) ) ]

4 5. Limites die man kennen sollte: (i) sin() (ii) sin(f()) f() tan (iii) n (f()) (f()) n (iv) (+) (v) Beispiel 6: n n n! e arcsinn (f()) (f()) n sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) ( + ) } {{ } ( )( + ) 6. Bernoulli de l Hôpital (BdH) (Ihr werdet dieses Theorem seeehr schätzen;)) Wird angewendet bei: 0,, 0 0, BdH Thm: 7. e hoch -Trick Beispiel 7: f() a g() f () a g (). sin() e(sin() ) + + () esin() + Die Funktion e : R R + ist stetig. Somit dürfen wir den Limes in den eponenten ziehen. Wir berechnen also den Grenzwert für die Funktion im Eponenten mit Hilfe 4

5 des Satzes von Bernoulli de l Hôpital (BdH): 8. Taylorentwicklung: (um a R) T f(; a) : f (n) (a) n! () sin() () + + BdH + sin() cos() sin () + sin () cos() sin() + }{{ } 0 ( a) n f(a)+ f (a)! ( a)+ f (a)! 0 {}}{ sin() cos() }{{} ( a) + f (a) ( a) 3 + 3! Schreibe so viele Terme hin, bis sich die Terme nicht mehr gegenseitig aufheben. Beispiel 8: cos() sin () + ( + ) + O(3 ) + O( 4 ) + ( + O( ) + O(3 ) + O( 4 ) + + O( 3 ) + O(3 ) + O( 4 ) + O( 3 ) für (0,) gilt O( 4 ) O( 3 ) + O( 3 ) ( + O( 3 )) + O( 3 ) 4 + O( 3 ) ( + O( 3 )) (4 + O( 3 )) + O() 4 + O() 4 + O(3 ) + O( 3 ) 9. Substitution Beispiel 9: Gegeben: Wir substituieren wie folgt: t : e e ( ) 5

6 Weil im Nenner vorkommt müssen wir ( ) nach auflösen: t : e t + e (t + ) (t + ) ( ) Da 0, geht t e 0 t 0. Nun berechnen wir den Limes mit Hilfe der Substitution: e subst. t 0 t (t + ) t t 0 (t + ) (t + ) t 0 t t 0 ((t + ) t ) }{{} e (e) 0. Cauchy Kriterium Definition. Eine Folge (a n ) n N heisst Cauchy Folge, falls gilt: ε > 0, N N(ε) N : a n a m < ε, n, m > N. Satz 3.5. (Cauchy Kriterium) Sei (a n ) R eine Folge. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) (a n ) ist konvergent (ii) (a n ) ist eine Cauchy-Folge. Beispiel 0: Ist die Folge n n konvergent? Wir wählen ein (beliebig kleines) ε > 0. Wir suchen N, so dass für alle m, n N gilt a n a m < ε. O.B.d.A (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) m n (oder 6

7 n m) zu fiieren. a n a m n n m m m(n ) n(m ) nm nm m nm + n nm n m nm m n m n n n! < ε. n > ε N ε Die Folge a n ist deshalb eine Cauchy-Folge und da alle Cuahy-Folgen in R konvergieren, ist auch unsere Reihe konvergent. 7

8 Reihen Definition. Die Reihe k a k konvergiert falls, S n Bemerkung. (Rechnen mit Reihen) Sei a n < und b n < dann gilt: (i) (ii) n a k n <, n k k N a n + b n < n Bemerkung. (Endliche Summen) n (i) k n(n+) (ii) (iii) (iv) k n k n(n + ) k n k n k n k k(k+) n n+ n a k : k Bemerkung. (Wichtige Reihen) (i) Geometrische Reihe: q n, für q <. q a k eistiert. (ii) Zeta-Funktion {(für s erhalten wir die Harmonische Reihe): ζ(s) divegiert, für s n s konvergiert, für s > n (iii) Mengoli Reihe: n. n(n+) 3 Konvergenzkriterien. a n 0 n a n konvergiert nicht.. Majoranten/Minorantenkriterium: Satz a n divergiert b n divergiert; Sei a n b n, für a n, b n > 0, falls b n konvergiert a n konvergiert. n k 8

9 Beispiel : Zeige die Konvergenz der folgenden Reihen. Gegeben: n +. 3 n + n + 3 n + n + 3 n ( ) n + 3 mit der geometrischen Reihe folgt die Konvergenz. Gegeben: (n) (n+). Ab einem gewissen n 0 gilt (n) <. n0 () (n + ) (n) (n + ) + n 0 n 0 n 0 nn 0 + (n) (n + ) + nn 0 + (n) (n + ) + nn 0 + (n) (n + ) + ( ) n 3 n (n + ) n 4n + 4n + n 4n nn 0 + 4n 3 Der erste Term konvergiert, da endliche Summe, der zweite Term konvergiert, 3 da Minorante von der harmonischen Reihe, s > nn 0 + 4n 3 konvergiert. 3. Quotientenkriterium (bei!, n,...) Das Quotientenkriterium zeigt absolute Konvergenz. nn 0 + n 3 Satz. Beispiel : a n+ <, absolute Konvergenz a n, keine Aussage >, Divergenz. Prüfe die Reihe 5+n auf Konvergenz. 0 n 9

10 a n+ a n 5 + (n + ) 0 n n 5 + n 0 n( 6 + ) n n( 5 + ) n < 6 + n 5 + n 0 n 5 + n mit dem Quotientenkriterium folgt, dass die Reihe absolut Konvergent ist. Prüfe die Reihe n n! auf Konvergenz. n a n+ a n (n + )! n n+ n! (n + )! n! n! (n + ) n! (n + ) n + > mit dem Quotientenkriterium folgt, dass die Reihe divergiert. 4. Wurzelkriterium (bei ( ) n, n,!,...) Das Wurzelkriterium zeigt absolute Konvergenz. Satz. <, absolute Konvergenz n an, keine Aussage >, Divergenz. Beispiel 3: 0

11 Konvergiert ( n )n? n ( n ) n n ( ) n n e e < mit dem Wurzelkriterium folgt, dass die Reihe absolut Konvergent ist. Konvergiert n n n n n!? ( n n n n n! ) e > n n n mit dem Wurzelkriterium folgt, dass die Reihe divergiert. 5. Leibnitz-Kriterium (alternierende Reihen) Satz. Sei ( ) n a n eine alternierende Reihe und ist n (i) a n 0 (ii) a n 0 (iii) a n monoton fallend, dann konvergiert ( ) n a n. Beispiel 4: Konvergiert Es gilt: n n n cos(n π ) n+? { ( cos n π ) ( ) n, n gerade 0, sonst Wir betrachten also nur noch gerade Termen: n n n + 0 a n ist keine Nullfolge, somit divergiert die Reihe. Beispiel 5: Prüfe die Reihe cos(nπ) n + auf Konvergenz. n ( ) n n+.

12 Wegen cos(nπ) ( ) n schreiben wir die Reihe wie folgt um: cos(nπ) n + ( ) n n + Prüfe die Bedingungen des Leibnitz-Kriteriums: (i) 0 n + (ii) n + 0 (iii) ist monoton fallend, weil d n + d Die alternierende Reihe cos(nπ) n + ( +) 6. Absolute Konvergenz (auch bei alternierenden Reihen) a n < n ( +) 0 für alle 0 gilt. ist somit gemäss Leibnitz-Kriterium konvergent. a n <. Falls a n absolut konvergiert, dann konvergiert auch die ungeordnete Reihe absolut. n Beispiel 6: Prüfe die Reihe sin(n) n! auf Konvergenz. Wir betrachten die Reihe der Absolutbeträge sin(n) n! n!>0 n sin(n). () n! Nun verwenden wir das Majorantenkriterium, d.h. wir schätzen () mit sin(n) < nach oben ab sin(n) < n! n!. () Mit Hilfe des Quotientenkriterium können wir die Konvergenz von () zeigen. a n+ a n n! (n + )! n! n! (n + ) n + n> n + 0 <

13 Somit konvergiert () absolut. Gemäss dem Majoranten-Kriterium folgt damit auch, dass () absolut konvergiert, also konvergiert auch 4 Ohne Kategorie Partialbruchzerlegung ( light, mittels Beispiel erläutert) sin(n) n!.! A ( + )( ) + + B + A( ) + B( + ) ( + )( ) (A + B) + (B A) ( + )( ) Koeffizientenvergleich:! (A + B) + (B A) A + B 0 B A A B B A ( ) A B B ( B) 3B B 3 ( ) B 3 A 3 ( + )( ) ( + ) + 3( + ) Bemerke, wir haben einen Bruch nun in zwei Brüche aufgeteilt. 3