STUDIENMATERIAL Teil 9 für Studenten der Elektrotechnik/Informationstechnik UNENDLICHE REIHEN

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1 Techische Uiversität Chemitz Fakultät für Mathematik Zahlereihe STUDIENMATERIAL Teil 9 für Studete der Elektrotechik/Iformatiostechik UNENDLICHE REIHEN Utersuche für folgede uedliche Reihe jeweils die zugehörige Teilsummefolge auf Kovergez Gib gegebeefalls die Summe s der uedliche Reihe a: a a R b) ( ) c) ( + ) e) ( )( + ) f) ( + )( + ) Utersuche folgede Reihe mit dem Cauchysche Kovergezkriterium auf Kovergez: b) c) 4 3 Prüfe mit dem otwedige Kovergezkriterium welche der folgede Reihe diverget sid: b) c) e) ( + ( ) ) 4 Utersuche folgede alterierede Reihe auf Kovergez: ( ) b) c) e) f) ( ) + + ( ) a R a 3 ( ) Verwede die Vergleichskriterie zur Kovergezutersuchug: b) + c) e) ( + ) f) g) l 3

2 6 Verwede das Quotietekriterium zur Kovergezutersuchug: +! + 4 3! + 8 4! + b) c) f) g) e) 7 Verwede das Wurzelkriterium zur Kovergezutersuchug: b) ( + ) c) a 3 a a R e) a R 8 Utersuche folgede Reihe auf Kovergez: e + b) ( + ) c) g) i) l) o) r) () ()! e) ( + ) ( + 7) h) 3 3 j) ( ) + m) 3 () p) ( j) ( + j) s) (l ) l f) a b (a b R b > ) ()! k) (4 ) ) (+ ) q) j (l ) ( ) l ( + j) ( j) 9 Utersuche folgede Reihe auf Kovergez ud auf absolute Kovergez: ( ) ( ) 3 b) + 3 c) ( ) e) f) ( ) ( g) + ) + ( + ) Welche Reihe aus Aufgabe 9 sid bedigt koverget?

3 Fuktioereihe Zeige mit Hilfe des Kriteriums vo Weierstrass dass die Fuktioereihe i de agegebee Itervalle gleichmäßig kovergiere: ( + ) < b) cos ( ) 3 c) + ( ) Gegebe sei die Reihe si + si 4 + si Ist die Summefuktio i jedem Itervall stetig? b) Darf die Reihe gliedweise itegriert werde? c) Darf die Reihe gliedweise differeziert werde? 3 Bestimme die Ableitug der Fuktio cos f() = ( ) 3 Potezreihe 4 Für welche reelle Zahle sid folgede Potezreihe absolut koverget? ( ) ( + ) b) c) g) e) ( ) ( + ) h) f) ( + ) ( ) 5 Bestimme für folgede Potezreihe de Kovergezradius ud das Kovergezitervall: b) ( + 3) c) ( ) g) e) h) f) 3 i) ( + ) ( ) 4 6 Ermittle für folgede Potezreihe de Kovergezradius ud das Kovergezgebiet: z j z (z j) b) c) 3 (z + j) e) z f) 3 z z C

4 7 Nee die Summefuktio ud das Kovergezgebiet für folgede Potezreihe: z z z + z b) c) e) i) z f) ( ) z j) z g) ( ) + z k) (z ) + 3 h) z 8 Etwickle folgede Fuktioe a der Stelle i eie Potezreihe: f() = e = b) f() = cos = z c) f() = + = f() = = e) f() = + = f) f() = = g) f() = + 3 = h) f() = + 3 = i) f() = l + = j) f() = e = k) f() = e = l) f() = = m) f() = = ) f() = si = π o) f() = = 9 Etwickle folgede Fuktioe a der Stelle z i eie Potezreihe ud gib de Kovergezradius a: f(z) = + z z = b) f(z) = z z = j c) f(z) = z z = j f(z) = si z cos z z = e) f(z) = e z z = j Bereche e z si z cos z für z = j j + j j Durch zweimalige Differetiatio der Reihe f() = ( ) für < etsteht eie bekate Reihe Wie lautet dere Summefuktio? b) Gib die Fuktio f() a Welche Fuktioe f() werde durch folgede Potezreihe dargestellt? b) c) ( + ) 4

5 3 Fide für folgede Potezreihe die Summefuktio f() : (Hiweis: Gliedweise Differetiatio ud da Itegratio) f() = b) f() = ! 5! 7! 9! ( )( ) c) f() = ( ) f() = = Bestimme durch Reiheitegratio für folgede Fuktioe die Potezreiheetwicklug a der Stelle = : f() = cos t dt b) f() = t 5 Bestimme eie Stammfuktio zur Fuktio f() : e (t) dt f() = e ( ) b) f() = e( ) ( ) 6 Stelle das Itegral 7 Bereche 8 Ersetze si t + t e d e bei t = ud bereche d durch eie uedliche Reihe dar auf drei Dezimale geau durch die erste sechs Summade der Potezreiheetwicklug 5 si t + t dt 9 Bestimme durch Reihemultiplikatio die Potezreihe vo f() = l( ) a der Stelle = 3 Bestimme durch Reihedivisio die erste vier Glieder der Potezreihe vo f() a der Stelle = : f() = + b) f() = c) f() = cos + + e 3 Gib die erste drei Glieder der Potezreihe vo f() a der Stelle = a: f() = l( ) b) f() = si c) f() = cos f() = cos 3 e) f() = e cos f) f() = Bereche uter Verwedug der erste Glieder bekater Reiheetwickluge: lim l( + ) l( + ) b) lim c) lim( cot ) 5

6 Fourierreihe 33 Gib für die folgede periodische Fuktioe f() die Fourierreihe a Welche Aussage ka über das Kovergezverhalte ud über die Summefuktio der Fourierreihe gemacht werde? f() = für π < < für = für < π f( + kπ) = f() k G für π < π b) f() = für π < π f( + kπ) = f() k G π für < π { für π < c) f() = f( + kπ) = f() k G für < π f() = { für π < < für < π f( + kπ) = f() für π (k G) f() e) 3 4 f) f() = cos für < π f( + kπ) = f() k G g) f() = si für < < - h) i) f() = { für π < < si für π - - f() f( + kπ) = f() k G 34 Etwickle die Fuktio f() = π im Itervall < π i eie Fourierreihe die ur Cosiusglieder ethält b) i eie Fourierreihe die ur Siusglieder ethält 35 Gegebe sei die Fuktio f() = < π f( + kπ) = f() k G Gib die Fourierreihe vo f() a b) Etwickle f() im Itervall < π i eie Siusreihe c) Etwickle f() im Itervall < π i eie Cosiusreihe 6

7 36 Die Fuktio f() ist im Itervall [ ] durch ihre grafische Darstellug (s Abb) gegebe ud wird auf folgede Weise fortgesetzt: als gerade Fuktio b) als ugerade Fuktio mit der Periode 4 f() Etwickle beide Fuktioe i eie Fourierreihe 37 Bei der Eiweggleichrichtug etsteht folgeder Spaugsverlauf: h cos t für π U(t) = < t < π für π t 3π U(t + kπ) = U(t) k G Bestimme die Fourierreihe vo U(t) 38 A eiem Kodesator wird das i der Abbildug dargestellte periodische Spaugs-Zeit-Diagramm aufgezeichet: U U(t) T T T t Stelle de Spaugsverlauf durch eie Fourierreihe dar 39 Bei eier Iformatiosübertragug wird als Trägerschwigug eie Kippschwigug folgeder Form verwedet: f() = + für < f( + 4k) = f() k G I welcher Weise etsteht diese Kippschwigug durch Superpositio vo harmoische Schwiguge? Gib auch die komplee Form der Fourierreihe a 4 Ei periodischer Spaugsverlauf mit der Periodeläge T lässt sich im Itervall T < t < T U(t) = folgedermaße beschreibe: für T < t < 4t T für t < T Stelle de Spaugsverlauf durch eie Fourierreihe dar Überführe diese Reihe i die komplee Form 7

8 4 A eiem Kodesator wird folgeder Spaugsverlauf aufgezeichet: U(t) U T T t Bereche die komplee Form der Fourierreihe vo U(t) Wadle diese Reihe i die reelle Form um 4 Zeige mit Hilfe der Fourierreihe vo f() = si dass gilt: = 43 Gegebe sei die Fuktio f() = ( π) für < π f(+kπ) = f() k G Bestimme die Fourierreihe vo f() b) Ermittle durch Eisetze geeigeter -Werte die Summe der Reihe ( ) ud c) Durch mehrmalige gliedweise Itegratio der Fourierreihe ud Eisetze eies geeigete -Wertes bereche ma ( ) 4 44 Gegebe sei die Fuktio f() = für π < π f( + kπ) = f() k G Bestimme die Fourierreihe vo f() b) Bereche durch gliedweise Itegratio das Itegral F () = f(t) dt c) Verwede die Reihedarstellug vo F () zur Berechug der Summe vo Gib die komplee Form der Fourierreihe vo f() a 45 Wie lautet die Fourierreihe für die Eiweggleichrichtug vo Drehstrom? (Verwede die Fourierreihe für die Eiweggleichrichtug des Wechselstroms zb ach 33i mit Phaseverschiebuge) 46 Vergleiche de Oberwellegehalt der beide Saiteschwiguge durch Berechug des Klirrfaktors K aus K = (A + A 3 + )/(A + A + A 3 + ) mit de Amplitude A k = a k + b k aus de Fourierkoeffiziete a k ud b k (k ) : y = A cos π π + A b) y = π + A π A π + A π Beutze dazu die erweiterte Grudfuktioe mit der Periode π 8