ANALYSIS I FÜR TPH WS 2018/19 3. Übung Übersicht

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1 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel 5 und 6 Aufgabe : Konvergenz von Reihen (i) Aufgabe 2: Konvergenz von Reihen (ii) Aufgabe 3: ( ) Konvergenz von Reihen (iii) Aufgabe 4: Berechnung der Werte zweier Reihen Aufgabe 5: ( ) Migration Aufgabe 6: ( ) Cauchy, schau owa Aufgabe 7: keep distant Aufgabe 8: ( ) Ein bisschen verrückt Aufgabe 9: Stetige Fortsetzbarkeit Aufgabe 0: Zwei Funktionenfolgen

2 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe / Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz: a) [L] a n 2n n! b) [L] a n n! n n c) [L] a n a n ( n + ) 2 n n d) [L] a n ( ) n n n + mit (c n)n e) [L] a n (in Abhängigkeit von c > 0) n! Anmerkung: Hier gibt es einen Grenzfall. Um diesen zu entscheiden, können Sie folgende (hier nicht bewiesene) Aussage verwenden: Es gibt eine Konstante C > mit n! ( 2πn e n C für alle n N (X) n) a) Quotientenkriterium a n+ a n 2 n+ (n+)! 2 n n! 2 n + 0 für n Die Reihe konvergiert. b) Quotientenkriterium a n+ a n (n+)! (n+) n n! n n ( ) n+ } n {{ + } /e ( n ) n ( n + n + ( ) 2 } n {{ + } ) n e < für n Die Reihe konvergiert. C ist nahe an, aber das tut hier nichts weiter zur Sache.

3 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe /2 c) Majorantenkriterium n + n n n ist konvergente Majorante n2 Die Reihe konvergiert. n + n + 3 n d) Die Reihenglieder bilden keine Nullfolge Die Reihe divergiert. X) Quotientenkriterium a n+ a n Die Reihe (c (n + )) n+ (n + )! (c n) n n! konvergiert für c < /e divergiert für c > /e c ( + n) n c e für n Für c /e liefert das Quotientenkriterium keine Entscheidung. Mit Hilfe der Ungleichung (X) findet man eine divergente Minorante: ( n n a n e) n! C 2π n Anmerkung: (X) ist verwandt zur Stirlingschen Formel, die das asymptotische Verhalten von n! für n charakterisiert: n! ( n ) n 2πn e

4 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 2/ Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz: a n mit a) [L] a n (( ) ) + n n x Für welche x R konvergiert die Reihe? b) [L] a n n n c) [L] a n ( ) n+ n! n + a) Wurzelkriterium n an n n ( + n) x x Die Reihe konvergiert für x <. Andernfalls divergiert sie (auch für x, da die Reihenglieder hier keine Nullfolge bilden). b) Minorantenkriterium n n! n n n Die harmonische Reihe Die Reihe divergiert. c) Leibniz-Kriterium Nullfolge: Monotonie: a n+ a n n+ n+2 n n+ n n n ist divergente Minorante. n n + 0 n + (n + ) n (n + 2) n3 + 3 n n + n n n + n 2 + n (n + ) 3 n (n + 2) 2 Die Konvergenz ist bedingt, jedoch nicht absolut. < für alle n N

5 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 3/ Gegeben sei die Reihe a n mit a n ( ) n( n + ) n 2 n + a) [L] Entscheiden Sie, ob Reihe konvergiert, und geben Sie im Fall der Konvergenz ein möglichst kleines N N an, so dass für alle k N gilt k a n a n 0 3 b) [L] Entscheiden Sie, ob die Reihe absolut konvergiert. a) Alternierende Reihe mit a n ( ) n a n Leibniz-Kriterium: Die positive Folge ( a n ) ist eine Nullfolge. Wir zeigen, dass ( a n ) monoton fallend ist: Setze b n n+ 2 n+. Wir zeigen zunächst n + 2 b n+ < b n 2 (n + ) + < n + 2 n + (n + 2)(2 n + ) (n + )(2 n + 3) 2 n n n n + 3 a n+ b n+ n+ < b n n+ < b n n a n (a n ) ist (strikt) monoton fallend. Die Reihe ist konvergent. Für jedes k N gilt k a n a n ak+ Abbruchfehler 0 3 für ( N + 2 ) N k N mit a N N + 3 Ausprobieren am Rechner ergibt N. Das geht nur mit Rechnerunterstützung.

6 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 3/2 b) Absolute Konvergenz? Wurzelkriterium: n an n + 2 n + 2 < für n Die Reihe ist konvergent. Anmerkung: Dies ist so zu interpretieren, dass sich die Reihe asymptotisch wie eine geometrische Reihe mit q 2 verhält. Für jedes ε > 0 gibt es ein N N, so dass ( a n 2 + ε) n nn nn

7 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 4/ Berechnen Sie die Werte folgender konvergenter Reihen: a) [L] ( n 2 ) n (n + 2) n2 b) [L] 4 n n n + n 4 (n + ) 4 Hinweis: Schauen Sie sich den Zähler genau an. a) Teleskopreihe: ( n 2 ) ( n (n + 2) n2 n2 ( ) an a n+, mit an n2 (n )(n + ) ) n (n + 2) (n )(n + ) wegen a n 0 für n : ( n 2 ) ( ) ( ) a 2 a 3 + a3 a n (n + 2) n2 a 2 3 b) Zähler: 4 n n n + (n + ) 4 n 4 Teleskopreihe (mit /n 4 0 für n ) : 4 n n n + (n + ) 4 n 4 n 4 (n + ) 4 n 4 (n + ) 4 ( n ) ( ) ( + 4 (n + ) ) +...

8 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 5/ Es bezeichne p n > 0 die Größe einer Population zum Zeitpunkt n N (man stelle sich z.b. vor, n n + entspricht einem Jahr). Beginnend mit p entwickelt sich die Population wie folgt: In jedem Jahr stirbt die Hälfte aus, aber ein fixer Anteil c > 0 kommt jeweils dazu (durch Immigration). a) [L] Geben Sie für die p n eine Rekursionformel an. b) [L] Geben Sie für die p n eine explizite Darstellung an. Hinweis: ein bisschen rechnen, und dann... eh klar. c) [L] Studieren Sie das asymptotische Verhalten der p n für n in Abhängigkeit von dem Parameter c (i) unter Verwendung der Darstellung aus b), (ii) ohne Bezugnahme auf b). a) Die Rekursionsformel: p, und p n 2 p n + c für n > b) Rechnen: p 2 p 3 p 4 2 p + c 2 + c 2 p 2 + c 2 ( 2 + c) + c c 2 p 3 + c 2 ( c) + c c usw. Offenbar gilt p n + 2 n 2n c 2 n 2 Beweis mittels vollständiger Induktion (n ist ) : Induktionsschluss n n + : p n+ 2 p n + c IND 2( 2 n + 2n 2 n 2 c ) + c 2 n + ( + 2n 2 n ) c 2 n + 2n 2 n c

9 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 5/2 c) (i) Es gilt 2 n 2 2 für n 2 n 2 2n 2 Für jedes c > 0 konvergiert die Population gegen den Wert p 2 c für n. (ii) Die Rekursion aus a) hat die Gestalt p n 2 p n + c f(p n ), mit f(p) 2 p + c stetig Falls die Folge (p n ) gegen einen Wert p konvergiert, muss gelten p p n f(p n ) f ( p ) n f(p ) n n n p 2 p + c p 2 c Um die Konvergenz zu zeigen, betrachten wir die Rekursion für die Folge (p n p ) : p n p 2 p n + c 2 c 2 (p n p ) (p n p ) ist eine geometrische (exponentiell konvergente) Nullfolge. Das war einfacher als die Rechnung aus b). Anmerkung: Aus (ii) folgt auch: Für c < 2 Für c 2 Für c > 2 nimmt die Population ab und konvergiert gegen 2 c. bleibt die Population konstant 2 c. nimmt die Population zu und konvergiert gegen 2 c.

10 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 6/ Sei (a n ) eine positive, monoton fallende Folge. Dann gilt a) [L] Beweisen Sie. a n < k0 2 k a 2 k < (X) Hinweis: Betrachten Sie die Partialsummen der rechten Seite von (X), blocken Sie diese in geeigneter Weise und schätzen Sie mit Hilfe der Monotonie der a n so nach oben ab, dass sich die linke Seite von (X) als Majorante ergibt. Verwenden Sie Notation. b) [L] Beweisen Sie. Hinweis: Betrachten Sie die Partialsummen der linken Seite von (X), blocken Sie diese in geeigneter Weise (etwas anders als in a)) und schätzen Sie mit Hilfe der Monotonie der a n so nach oben ab, dass sich die rechte Seite von (X) als Majorante ergibt. Verwenden Sie Notation. c) [L] Beweisen Sie, dass für α > konvergiert. nα Das Kriterium (X) ist als Cauchy scher Verdichtungssatz bekannt. a) Annahme: a n konvergiert. Wir betrachten die Partialsummen der rechten Seite von (X) und schätzen ab mit Hilfe der Monotonie der a n : K 2 k a 2 k a + (2 a 2 ) + (4 a 4 ) + (8 a 8 ) (2 K a 2 K) k0 (a ) + (2 a 2 ) + (2 a a 4 ) + (2 a a a a 8 ) (2 a 2 K a 2 K) 2 K a + 2 a n < 2 a n

11 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 6/2 b) Annahme: k 2 k a 2 k konvergiert. Wir betrachten die Partialsummen der linken Seite von (X) und schätzen ab mit Hilfe der Monotonie der a n ; dabei sei K N so gewählt, dass N 2 K+ : N a n a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a a N a + (a 2 + a 3 ) + (a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) a 2 K+ a + (a 2 + a 3 ) + (a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) (a 2 K a 2 K+ ) a + (2 a 2 ) + (4 a 4 ) K a 2 K K 2 k a 2 k < 2 k a 2 k k0 k0 c) Die Folge der Summanden /n α ist positiv und monoton fallend. Wir überprüfen die Konvergenz der verdichteten Reihe, d.h., der rechten Seite von (X). Dies führt für α > auf eine konvergente geometrische Reihe (beachte 2 α < ) : 2 k k0 (2 k ) α 2 k 2 αk k0 (2 α ) k k0 2 α <

12 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 7/ Für eine gegebene nichtleere Teilmenge A R sei d A : R R, d A (x) inf x a a A a) [L] Interpretieren Sie diese Definition und geben Sie der Funktion d A einen Namen. b) [L] Geben Sie die Funktion d [0,] explizit an und zeichnen Sie ihren Graphen. Ist d [0,] stetig? c) [L] Gleiche Frage wie unter b), für d (0,). d) [L] Gleiche Frage wie unter b), für d {0,}. e) [L] Zeigen Sie: Falls A R beschränkt ist, dann ist das Bild d A (A) unbeschränkt. f) [L] Ist auch die folgende Aussage wahr? Falls A R unbeschränkt ist, dann ist das Bild d A (A) beschränkt. a) d A (x) Abstand von x zu A b) d [a,b] ist stetig für beliebige [a, b]. Z.B.: x, x < 0 d [0,] (x) 0, 0 x, x, x > c) d (0,) (x) d [0,] (x) d) d {a,b} ist stetig für beliebige a, b. Z.B.: x, x 0 x, 0 x 2 d {0,} (x) x, 2 x x, x

13 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 7/2 e) A R beschränkt: x M für alle x A Für x > M ist d A (x) > x M für x d A (x) für x ± f) Falsch. Gegenbeispiel: A [0, ), mit d A (x) x für x < 0.

14 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 8/ a) [L] Sei f : [0, ) R eine Funktion mit der Eigenschaft f(2 x) f(x) für alle x > 0 Zeigen Sie: Falls f stetig ist, muss f konstant sein. Hinweis: Betrachten Sie Folgen der Form x n 2 n x. b) [L] Sei f : R R eine additive Funktion, d.h., es gelte f(x + y) f(x) + f(y) für alle x, y R Zeigen Sie: Falls f an der Stelle x 0 stetig ist, dann ist f auf ganz R stetig. Hinweis: Bestimmen Sie zunächst den Funktionswert f(0). a) Sei x > 0 beliebig. Für die Nullfolge (x n ) mit x n 2 n x gilt f(x ) f(x/2) f(x) f(x 2 ) f(x /2) f(x ) f(x) usw. f(x n ) f(x) const. wegen x n 0 für n und mit der Stetigkeit von f : f(x) f(x n) f ( x ) n f(0) n n f(x) f(0) const. b) Zunächst gilt f(0) f(0 + 0) f(0) + f(0) f(0) 0 Sei x R beliebig. Wir betrachten den Grenzwert ( ) f(x + h) f(x) + f(h) f(x) + f(h) h 0 h 0 h 0 f wurde als stetig an der Stelle x 0 angenommen, d.h., f(h) f( h ) f(0) 0 h 0 h 0 f ist stetig an jeder Stelle x.

15 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 9/ Gegeben seien die drei Funktionen f(x) (x 3) (x 2) (x ) x 2 3 x + 2, g(x) x + x, h(x) x 3 x 3 + x 4 a) [L] Für welche x R sind die obigen Funktionen definiert? b) [L] Welche der Funktionen können mittels stetiger Fortsetzung zu stetigen, auf ganz R definierten Funktionen erweitert werden? a) Es gilt x 2 3 x + 2 (x 2) (x ) f(x) ist definiert für x R \ {, 2}. Für x {, 2} ergibt sich 0/0. g(x) ist definiert für x R \ {0}. Für x 0 ergibt sich 0/0. Es gilt x 4 + x 3 0 x 0 h(x) ist definiert für x R \ {0}. Für x 0 ergibt sich 0/0. b) Für x {, 2} ist (siehe a)) f(x) (x 3) (x 2) (x ) (x 2) (x ) x 3, und x 3 ist wohldefiniert für alle x R. Weiters gilt f(x) 3 2, x f(x) 2 3 x 2 f(x) x 3 ist die stetige Fortsetzung der ursprünglich gegebenen Funktion f auf ganz R.

16 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 9/2 Wir berechnen den Limes der Funktionswerte für x 0 mittels algebraischer Umformung: x 0 g(x) x 0 x 0 x + x + x + + x + x 0 ( + x + ) 2 (x + ) x ( + x + ) g(x) ist stetig fortsetzbar an der Stelle x 0, und die stetige Fortsetzung ist auf ganz R definiert: x +, x 0 g(x) x 2, x 0 Es gilt und h(x) x 0+ h(x) x 0 x 0+ x 0 x 3 x 3 + x 4 x 0+ x 3 x 3 + x 4 x 0 + x h(x) lässt sich nicht stetig auf ganz R fortsetzen. + x

17 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 0/ Eine Funktion f(x) sei als Grenzwert einer von x abhängigen Folge, d.h., einer Folge von Funktionen f n (x) definiert: Konkret betrachten wir : a) [L] f(x) : f n (x) f n(x) n xn x n +, x 0 b) [L] f n (x) n x n ( x), x [0, ] Diskutieren Sie für beide Fälle a), b) die Konvergenz der Folgen (f n (x)) in Abhängigkeit von x, die Existenz der Grenzfunktion f(x) und deren Stetigkeit. Hinweis zu b): Um das Verhalten von f n (x) zu studieren, betrachten Sie die Rekursion f n+ (x) ( ) f n (x) und verwenden das Einschließungsprinzip. Fortsetzung von b) : c) [L] Sei x n n. Berechnen Sie den Grenzwert von f n(x n ) für n. Was beobachten Sie? d) [L] Entscheiden Sie, für welche x [0, ] die Reihe f n (x) konvergiert. a) Für n gilt x [0, ) : x : x > : n 0, x [0, ) x n, x, x > n n x n x n + x n x n x n x n n + x n + 0 Die Folge (f n (x)) konvergiert für alle x 0.

18 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 0/2 Die Grenzfunktion f(x) ist unstetig an der Stelle x. 0, x [0, ) 2, x, x > b) x 0 : f n (0) 0 x (0, ) : Es gilt f n+ (x) ( + n) x fn (x) wobei ( + n) x q < für hinreichend große n f n+ (x) q n f (x) q n x( x) 0 für n, (f n (x)) ist Nullfolge (Einschließungsprinzip). x : f n () 0 Grenzfunktion: f(x) f n(x) 0 für alle x [0, ] n Anmerkung: Für x tritt die Konvergenz von f n (x) gegen 0 immer später ein. Die Abbildung zeigt den Verlauf der Funktionenf n für n Eingezeichnet sind auch die Werte f n (x n ) (siehe c)).

19 ANALYSIS I FÜR TPH WS 208/9 3. Übung [zur Übersicht] Aufgabe 0/3 c) Für x n n ist f n (x n ) ( ) n n e für n Dieser Grenzwert ist nicht 0, obwohl f n (x) 0 für jedes feste x. d) Die Überlegung aus b) zeigt, dass für alle x (0, ) die Reihe f n (x) aufgrund des Quotientenkriteriums konvergiert. (Für x 0, x ist nichts zu zeigen.)