Kapitel VI. Reihen. VI.1 Definitionen und Beispiele. Definition VI.1. Sei (a n ) n=1 KN eine Zahlenfolge. Dann heißt die Folge (s m ) m=1 KN, mit

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1 Kapitel VI Reihen VI. Definitionen und Beispiele Definition VI.. Sei (a n KN eine Zahlenfolge. Dann heißt die Folge (s m KN, mit m s m := a n, (VI. Reihe in K und s m nennt man die m. Partialsumme (dieser Reihe. Ist (s m konvergent, so schreiben wir { a n := lim {s m m} = lim a n }. (VI. m m Eine Umschreibung des Cauchy-Kriteriums, Satz V., und des Monotoniekriteriums, Satz V.5, von Folgen auf Reihen liefert Lemma VI. (Cauchy-Kriterium für Reihe. Sei ( m a KN eine Reihe in K. Dann gilt ( m a n ist konvergent ε > 0 n 0 N m n n 0 : m a k ε. (VI.3 Lemma VI.3 (Monotoniekriterium fürreihe. Sei (a n (R+ 0 N eine Folge nichtnegativer Zahlen. Dann gilt { ( m } { ( m } a n ist konvergent in R + 0 a n ist nach oben beschränkt. (VI.4 Bemerkungen und Beispiele. Wir beachten, dass man nicht nur Reihen als spezielle Folgen gewinnen kann, sondern dass man auch umgekehrt Folgen als spezielle Reihen auffassen kann, nämlich mit a n := s n s n. 6

2 VI.. ABSOLUTE KONVERGENZ KAPITEL VI. REIHEN Aus der Anwendung des Cauchy-Kriteriums für Reihen, Lemma VI., gewinnt man mit der Wahl m = n n 0 sofort auch das Nullfolgenkriterium: Ist ( m a n KN einekonvergentereihe,soist(a n aucheinenullfolge,lim a n = 0.Meistenswendet ( man die Umkehrung dieser Aussage an: Wenn a n 0, n, nicht gilt, muss die Reihe m a n divergieren. Sei λ K mit 0 λ <. Dann ist die geometrische Reihe ( m λ m=0 konvergent in K, und es gilt λ n = λ. (VI.5 Aus ( m ( λ λ n = m m λ n λ n+ = m m+ λ n λñ = λ m+ ñ= (VI.6 folgt nämlich s m := m λ n = λm+ λ λ, (VI.7 für m. Die harmonische Reihe ( m (R+ 0 N ist divergent, dies folgt aus Satz VI.3 von Cauchy. In der Tat können wir später leicht mit Hilfe der Integralrechnung zeigen, dass m n ln(m unbeschränkt wächst, falls m. Satz VI.3 liefert aber auch die Konvergenz der Reihe ( m n p (R+ 0 N, für jedes p >. VI. Absolute Konvergenz Definition VI.4. Eine Reihe ( m a in K heißt absolut konvergent ( m : Die Reihe ist konvergent in R + 0. (VI.8 Lemma VI.5. Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Beweis. Ist die Reihe ( m a n KN absolut konvergent, so ist ( m a n (R+ 0 N konvergent. Zu jedem ε > 0 gibt es also ein n 0 N, so dass m n n 0 : m a k ε. (VI.9 6

3 KAPITEL VI. REIHEN VI.. ABSOLUTE KONVERGENZ Mit der Dreiecksungleichung gilt dann auch m n n 0 : m m a k a k ε, (VI.0 also ist nach Lemma VI. ( m a konvergent in K. Bemerkungen und Beispiele. Nicht jede konvergente Reihe ist auch absolut konvergent. Um dies zu sehen betrachten wir die Reihe ( m a mit a n := ( n+ n R. Wir beobachten, dass für m = k gilt s k = k k k + k k+ k+ } {{ } 0 = s k+. (VI. Also ist die Folge (s k k= der Partialsummen mit gerader Zahl von Summanden monoton wachsend. Außerdem ist wegen l(l l s k = k l= ( l l = k l= k l(l const < l l= (VI. beschränkt, da die Reihe ( k l= konvergent ist. Somit ist die Folge (s l k= k k= konvergent. Sei nun ε > 0. Da (s k k= konvergent ist, gibt es ein k 0 N 0 so, dass l k k 0 : s l s k ε 3. (VI.3 Wir wählen n 0 N so groß, dass n 0 k 0 + und n 0 ε ist. Sind nun m,n N mit 3 m > n n 0, so gibt es eindeutige Zahlen l,k N, l k k 0 und σ,τ {0,}, sodass m = l+σ und n = k +τ gelten. Damit erhalten wir aus (VI.3 s m s n = s l+σ s k+τ s l+σ s l + s l s k + s k s k+τ l + ε 3 + k ε 3 + ε 3 + ε 3 ε. Also ist (s n eine Cauchy-Folge und daher auch konvergent. (VI.4 Andererseits ist ( m ( n+ nicht absolut konvergent, denn ( m ( n+ = ( m n ist divergent. Eine fundamentale Eigenschaft absolut konvergenter Reihen ist die Tatsache, dass auch Umordnungen absolut konvergieren, und zwar alle gegen denselben Grenzwert. 63

4 VI.. ABSOLUTE KONVERGENZ KAPITEL VI. REIHEN Definition VI.6. Seien (a n,(b KN Zahlenfolgen. Die Reihe ( m b heißt Umordnung der Reihe ( m a : Bijektion σ : N N n N : b n = a σ(. (VI.5 Satz VI.7 (Großer Umordnungssatz. Seien ( m a eine Reihe in K und ( m b eine Umordnung von ( m a. Dann gilt { ( m } { ( m } (i a n abs. konv. b n ist abs. konv., (VI.6 ist (ii { ( m } a n absolut konvergent ist { a n = b n }. (VI.7 Umgekehrt zeigt der nun folgende Satz, dass jede konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe in R so umgeordnet werden kann, dass sie gegen jeden beliebigen vorgegeben Grenzwert konvergiert. Satz VI.8. Sei ( m a eine Reihe in R, die konvergent, aber nicht absolut konvergent ist, und seien α,β R,α β, beliebig. Dann gibt es eine Umordnung ( m b ( von m a n, so dass lim inf {t m} = α, limsup{t m } = β, (VI.8 m m wobei (t m die Folge in R mit t m := m b n ist. Eine Anwendung von Satz VI.7 ist das Cauchy-Produkt. ( Dazu betrachten wir zwei Zahlenfolgen (a n,(b KN und die zugehörigen Reihen m a, ( m b in K, die wir als absolut konvergent annehmen. Wir bilden nun c 0 := a 0 b 0, c := a 0 b + a b 0, c := a 0 b + a b + a b 0,. c n := a 0 b n + a b n a n b 0 = n a k b n k, für n N 0, und betrachten die Reihe ( m c, das Cauchy-Produkt der Reihen ( m a und ( m b. Satz VI.9 (Cauchy-Produkt. Seien ( m a n,( m b (VI.9 (VI.0 (VI. (VI. zwei absolut konvergente Reihenin Kund c n := n a kb n k, für n N 0. DannistdasCauchy-Produkt ( m c absolut konvergent in K, und es gilt c n = n a k b n k = 64 ( ( a n b n. (VI.3

5 KAPITEL VI. REIHEN VI.3. KONVERGENZKRITERIEN VI.3 Konvergenzkriterien Für die Überprüfung, ob eine Reihe konvergent oder divergent ist, diskutieren wir drei Konvergenzkriterien: das Majorantenkriterium, das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium. Satz VI.0 (Majorantenkriterium. (i Ist (a n KN eine Zahlenfolge und ist (b n (R+ 0 N eine Folge nichtnegativer Zahlen, sodass ( m b (absolut konvergent ist und a n b n für alle n N gilt, so ist auch ( m a absolut konvergent in K. (ii Sind (a n (R+ 0 N und (b n (R+ 0 N zwei Folgen nichtnegativer Zahlen, sodass ( m b divergent ist und a n b n für alle n N gilt, so ist auch ( m a divergent. Beweis. (ii DieReihen über (a n (R + 0 N und (b n (R + 0 N sind jeweils genau dannkonvergent, wenn(s m bzw. (t m nachobenbeschränkt ist,wobeis m := m a n undt m := m b n. Wegen der Divergenz von ( m b ist (t m unbeschränkt somit auch (s m, da s m t m 0. Also ist auch ( m a divergent. Zu (i: Für ε > 0 gibt es, wegen der Konvergenz von ( m b, ein n 0 N, so dass m n n 0 : m a k m b k ε. (VI.4 Also ist ( m a absolut konvergent und somit auch konvergent, nach Lemma VI.5. Satz VI. (Wurzelkriterium. Sei (a n KN eine Zahlenfolge. (i Gilt (ii Gilt so ist die Reihe ( m a so ist die Reihe ( m a { lim sup n an } <, (VI.5 absolut konvergent in K. { lim sup n an } >, (VI.6 divergent in K. Beweis. { Zu (i Sei α := limsup n an } <. Für ε := α > 0 gibt es dann nach Satz V.7 (ii ein n 0 N, so dass n n 0 : n an α+ε = +α 65 <. (VI.7

6 VI.3. KONVERGENZKRITERIEN KAPITEL VI. REIHEN Also ist, für alle m n n 0, m a k = m ( k ak k m ( +α k ( +α n ( +α n = +α = ( +α n ( +α j=0 j (. (VI.8 α {( Wegen +α < folgt lim +α n } = 0, und somit ist nach dem Cauchy-Kriterium für Reihen ( m a absolut konvergent. (Gemäß (VI.7 ist ( +α n eine summierbare Majorante und die Behauptung hätte sich nach (VI.7 auch direkt aus Satz VI.0 (i ergeben. Zu (ii Seien α := lim sup { n } > und ε := α > 0. Dann gibt es eine Teilfolge (a nj j= mit Dann sind j N : n j a nj > α ε = α+ j N : a nj >. (VI.9 ( α+ nj. (VI.30 Um zu zeigen, dass ( m a divergiert, beweisen wir, dass das Cauchy-Kriterium nicht erfüllt ist. Seien nämlich δ := und n 0 N irgend eine natürliche Zahl. Dann gibt es ein j N, so dass n j n 0, und n j j a nj = a nj > δ. (VI.3 Für m := n := n j n 0 ergibt sich daraus ein Widerspruch zum Cauchy-Kriterium. Bemerkungen und Beispiele. Für limsup n = gibt es keine allgemeine Aussage. Beispielsweise ist n mit n, für alle p > 0, es ist aber ( m ( m divergent in R. n Satz VI. (Quotientenkriterium. Sei (a n K N \{0} eine Zahlenfolge., n p (absolut konvergent in R und (i Für lim sup { } an+ < (VI.3 ist die Reihe ( m a absolut konvergent. 66

7 KAPITEL VI. REIHEN VI.4. EXPONENTIALFUNKTION UND TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN (ii Gibt es ein n 0 N, so dass n n 0 : a n+, (VI.33 so ist die Reihe ( m a divergent. Bemerkungen und Beispiele. Ein Vergleich mit Bedingung (VI.6 aus dem Wurzelkriterium für die Divergenz einer Reihe würde, übertragen auf das Quotientenkriterium, die Bedingung { } an+ lim sup > (VI.34 für die Divergenz einer Reihe suggerieren. Dies ist jedoch falsch, wie das folgende Gegenbeispiel illustriert. Für a n := { 3 n, falls n ungerade ist, n+, falls n gerade ist, (VI.35 ist (a n sicher konvergent, da die summierbare Majorante n+ besitzt, aber lim sup { } an+ limsup k { } ak+ a k = limsup k VI.4 Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen { } k 3 k {( = limsup 3 k } =. k (VI.36 Eine der wichtigsten Anwendungen der obigen Konvergenzkriterien ist die Darstellung bzw. Definition elementarer Funktionen durch Potenzreihen. Wir beginnen mit der Exponentialfunktion. Seien z C\{0} und a n := z n /n!. Wir beobachten, dass a n+ = z n+ n! (n+! z n = z (n+ 0, n. (VI.37 Also ist lim sup { } an+ { } z = limsup n+ { } z = lim n+ = 0 <. (VI.38 Ich danke Ch. Brauer und B. Komander für diesen Hinweis. 67

8 VI.4. EXPONENTIALFUNKTION UND TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN KAPITEL VI. REIHEN MitHilfedesQuotientenkriteriums, SatzVI.,sehenwiralso,dassdieReihe ( m z n n! absolut konvergiert. Den Limes dieser Reihe nennen wir Exponentialfunktion, exp : C C, exp[z] := z n n!. (VI.39 Dabei vereinbaren wir, dass exp[0] :=, d.h. hier ist Konvention 0 0 = sinnvoll und die Reihe für exp[0] besitzt nur einen nicht-verschwindenden Summanden. Analog seien z C \ {0} und c k := ( k z k /(k! sowie s k := ( k z k+ /(k +!. Dann sind { } { } ck+ z lim sup = limsup = 0 <, (VI.40 k c k k (k +(k + { } { } sk+ z lim sup = limsup = 0 <, (VI.4 k s k k (k +3(k + und die zugehörigen Reihen, die Kosinusreihe cos[z] und die Sinusreihe sin[z], cos[z] := ( k z k, sin[z] := (k! ( k z k+, (VI.4 (k +! sind absolut konvergent für z C\{0}. Für z = 0 ergibt sich cos[0] = und sin[0] = 0. Weiterhin beobachten wir, dass wegen i k = ( k e iz := exp[iz] = für alle z C gilt. = i n z n n! = ( k z k (k! Insbesondere sind dann ( k ( z k cos[ z] =, = (k! sin[ z] = + i i k z k (k! + ( k z k ( k ( z k+, = (k +! ( k z k+ (k +! (k! i k+ z k+ (k +! = cos[z]+i sin[z] (VI.43 = cos[z], (VI.44 ( k z k+, = sin[z], (VI.45 (k +! woraus e ( iz +e iz = ( cos[z]+isin[z]+cos[ z]+isin[ z] = cos[z], (VI.46 e i( iz e iz = ( cos[z]+isin[z] cos[ z] isin[ z] = sin[z] i (VI.47 folgen. 68

9 KAPITEL VI. REIHEN VI.4. EXPONENTIALFUNKTION UND TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN So erhalten wir für alle z C die hyperbolischen Funktionen aus den trigonometrischen durch cosh[z] := cos[iz] = ( e z +e z Kosinus Hyperbolicus, (VI.48 sinh[z] := i sin[iz] = ( e z e z Sinus Hyperbolicus. (VI.49 Definieren wir außerdem die Binominalkoeffizienten ( m m! m,n N 0,m n : := n n!(m!, (VI.50 so gilt m N 0 z,w C : (z +w m = m ( m z n w m n. n (VI.5 Setzen wir a n := zn und b n! n := wn, dann erhalten wir also für das Cauchy-Produkt n! c m := m a n b m n = = m! m z n n! w m n (m! m m! z n w m n = n!(m! }{{} =( m Also gilt das Additionstheorem für die Exponentialfunktion (z +wm. (VI.5 m! z,w C : exp[z] exp[w] = ( ( a n b n m=0 = ( c m m=0 = exp[z +w]. (VI.53 Schließlich erhalten wir die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen und komplexe Argumente z,w C, etwa cos[z] cos[w] sin[z] sin[w] = ( e iz +e iz( e iw +e iw ( e iz e iz( e iw e iw 4 4i = ( e iz+iw +e iz+iw +e iz iw +e iz iw +e iz+iw e iz+iw e iz iw +e iz iw 4 = ( e i(z+w +e i(z+w = cos[z +w], (VI.54 und genauso sin[z +w] = sin[z]cos[w]+cos[z]sin[w]. 69

10 VI.5. ERGÄNZUNGEN KAPITEL VI. REIHEN VI.5 Ergänzungen VI.5. Der Satz von Cauchy zur Konvergenz von Reihen nichtnegativer, monotoner Summanden Satz VI.3 (Cauchy. Sei (a n (R+ 0 N eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen. Dann gilt { ( m } { ( l } a n ist konvergent in R + 0 k a k ist konvergent in R + 0. l= Beweis. Wir setzen s m := k= m a n und t l := (VI.55 l k a k. (VI.56 Konvergenz von ( m a n bzw. ( l k= k a k ist dann nach Lemma VI.3 äquivalent l= zur Beschränktheit von (s m und (t l l= nach oben. Es genügt also zu zeigen, dass ] ] [(s m ist nach oben beschränkt. [(t l l= ist nach oben beschränkt. (VI.57 Für m < l ist s m a +(a +a 3 +(a 4 +a 5 +a 6 +a ( a l +a l a l+. (VI.58 }{{} l Summanden Wegen a n a n+ sind k= a a, a +a 3 a, a 4 +a 5 +a 6 +a 7 4a 4, Also gilt und somit...,a l +a l a l+ l a l. s m a +a +4a l a l = t l sup { s m m N } sup { t l l N }. (VI.59 (VI.60 (VI.6 Für m > l ist jedoch s m a +a +(a 3 +a 4 +(a 5 +a 6 +a 7 +a ( a l + +a l a l }{{} l Summanden a +a +a 4 +4a l a l = ( a +a +4a l a l = t l, (VI.6 70

11 KAPITEL VI. REIHEN VI.5. ERGÄNZUNGEN wiederum wegen a n a n+. Somit ist sup { s m m N } sup{ t l l N }. (VI.63 VI.5. Beweis des Großen Umordnungssatzes VI.7 Zu (i: Seien σ : N N,σ : N N Bijektionen, so dass n N : a σ( = b n, a n = b σ (. (VI.64 Für m N setzen wir A(m := max { σ(,σ(,...,σ(m }, B(m := max { σ (,σ (,...,σ (m }. (VI.65 (VI.66 Wir betrachten nun die monoton steigenden Folgen (s m,(t m in R, wobei m m s m :=, t m := b n. (VI.67 Wir beobachten, dass, für jedes m N, Somit ist t m := s m := m a σ( m b σ ( A(m B(m = s A(m, (VI.68 b n = t B(m. (VI.69 also sup m N {t m } sup{s A(m } sup{s m } sup{t B(m } sup{t m }, (VI.70 m N m N m N m N sup m N {s m } = sup{t m }, (VI.7 und (s m ist genau dann konvergent, wenn (t m konvergent ist, nach Satz V.5 (i. Zu (ii: Seien m N und B(m wie in (VI.66. Dann ist B(m m und { σ (,σ (,...,σ (m } {,,...,B(m}, (VI.7 m N was {,,...,m} = { σ ( σ (,σ ( σ (,...,σ ( σ (m } { σ( n =,,...,B(m } {,,...,A(B(m} (VI.73 7

12 VI.5. ERGÄNZUNGEN KAPITEL VI. REIHEN impliziert. Also ist Q m := {σ(} B(m {,...,m} B(m b n m a n = k Q m a k und wegen Q m {,,...,A B(m} ist dann k {,...,m} a k = k Q m\{,...,m} a k, (VI.74 B(m b n m a n k Q m\{,...,m} a k A B(m n=m+ n=m+. (VI.75 Ist nun ε > 0, und ist m 0 N so groß, dass dann sind, wegen B(m m, m m 0 : m n=m 0 +, m n=m 0 + b n ε 3, (VI.76 m 0, a n a n b n Also ist mit (VI.77 und (VI.75 b n a n b n ε 3 + B(m 0 n=m 0 + B(m 0 b n + B(m 0 b n ε 3. (VI.77 m 0 m 0 b n a n + a n a n ε. (VI.78 Da ε > 0 beliebig klein gewählt werden kann, folgt b n b n = a n. a n VI.5.3 Beweis von Satz VI.9 zum Cauchy-Produkt = 0, also (VI.79 Seien a := a n, b := b n, A := a n, B := b n. Sei weiterhin ε > 0. Wegen der absoluten Konvergenz von ( a n und ( m=0 b gibt es ein n m=0 0 N, so dass, für alle n n 0, a A n a k ε, n a k ε A+B, b n b k ε, 7 B n b k ε A+B. (VI.80 (VI.8

13 KAPITEL VI. REIHEN VI.5. ERGÄNZUNGEN Wir beobachten nun, dass für M m, M,m N M n=m c n = M n a k b n k n=m m M a α b β + α=0 β=m M M a α b β. (VI.8 α=m β=0 Also ist, für M m m n 0, M n=m c n ( m α=0 a α }{{} A ( (A+B ( M β=m b β }{{} ε/a+b ε A+B + ( M Somit ist ( m c absolut konvergent. Außerdem ist m=0 ab m α=m a α }{{} ε/a+b ( m β=0 b β }{{} B = ε. (VI.83 ( ab m ( m ( m ( m c n a α b β + a α b β a + α=0 β=0 α=0 m m b m a α b + a α b β α=0 ( m α=0 ( m a α β=m α=0 b β + β=0 α=m β=0 β=0 ( m ( m a α b β m c n ε ( b +A+A+B ( A+B ε, (VI.84 also gilt auch (VI.3. VI.5.4 Rückführung des Quotientenkriteriums auf das Wurzelkriterium Beweis von Satz VI. [Quotientenkriterium]. { } Zu (i Sei β := limsup an+ a n R + 0. Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein n 0 N, so dass n n 0 : a n+ β +ε, (VI.85 nach Satz V.7 (ii. Also ist n n 0 : a n a n a n a n a n0 + a n0 a n0 (β +ε n n 0 a n0, (VI.86 und daher n an (β +ε n a n0 (β +ε n 0 β +ε, für n. (VI.87 73

14 VI.5. ERGÄNZUNGEN KAPITEL VI. REIHEN Somit erhalten wir, dass Im Limes ε 0 folgt damit, dass lim sup und (i folgt nun aus dem Wurzelkriterium. Zu (ii Sind umgekehrt n 0 N und { lim sup n an } β +ε. (VI.88 { n an } β = limsup { an+ }, (VI.89 n n 0 : a n+, (VI.90 so ist n n 0 : a n a n a n a n a n 0 + a n0 a n0 > 0. a n0 (VI.9 Also ist (a n keine Nullfolge, und das Nullfolgenkriterium ergibt die Divergenz der zugehörigen Reihe. 74