1.1 Vorbemerkung: Konvergenz von Reihen. g = lim. n=0. n=0 a n sei konvergent und schreibt. a n = g. (2) n=0

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1 1 Taylor-Entwicklung 1.1 Vorbemerkung: Konvergenz von Reihen Gegeben sei eine unendliche Folge a 0,a 1,a,... reeller Zahlen a n R. Hat der Grenzwert g = lim k a n (1) einen endlichen Wert g R, so sagt mandieunendliche Reihe a n sei konvergent und schreibt a n = g. () Andernfalls heißt die Reihe divergent. Ist die Reihe a n konvergent, so ist dies immer auch a n. Man sagt dann, a n ist absolut konvergent. Bsp.: Die Reihe mit a n = ( 1) n 1 1 n (n = 1,,3,...) ist konvergent, a n = = ln, (3) 3 n=1 aber nicht absolut konvergent, den die harmonische Reihe endlichen Grenzwert hat keinen Quotientenkriterium: Sind die a n positiv a n > 0, und existiert der Grenzwert a n+1 lim = q, (4) n a n so ist die Reihe a n konvergent, falls q < 1, und divergent, falls q > 1. Bsp.: Für die Reihen 1 n=1 = und 1 n n=1 = 1 n 6 π ergibt Gl. (4) der Wert q = 1. In solchen Fällen ist das Quotientenkriterium nicht anwendbar. 1

2 1. Potenzreihen 1..1 Definition Def.: Ein Ausdruck der Form a 0 +a 1 x+a x +... a n x n := lim k a n x n, (5) mit einer (unendlichen) Folge reeller Konstanten a 0,a 1,a,... ( Koeffizienten ) und einer Variable x, heißt Potenzreihe. Bem.: Formal ist eine Potenzreihe ein Polynom unendlichen Grades. Dagegen ist ein Polynom endlichen (k-ten) Grades immer auch eine Potenzreihe, mit a n = 0 für n > k. Bsp. 1a: Wir betrachten speziell die Koeffizientenfolge a 0 = a 1 = a =... = 1. Stellt die entsprechende Potenzreihe, interpretiert als Grenzwert, 1+x+x +... x n := lim k x n, (6) zumindest für einen gewissen Wertebereich der Variable x, eine endliche Funktion f(x) dar? Für x > 1 ist dies sicher nicht der Fall. Speziell für x = 1 dagegen erhalten wir ( ) n 1 = = = f(1 ). (7) Für beliebige x 1 ist die k-te Partialsumme der Reihe (6) gegeben durch x n = 1 xk+1, x R\{1}. (8) 1 x Diese Formel kann man z. B. durch direkte Induktion beweisen (Übungen). Für x < 1 verschwindet die Potenz x k+1 bekanntlich im Limes k. Daraus schließen wir x n 1 x k+1 = lim k 1 x = 1 1 x =: f(x), x < 1. (9) Wir identifizieren also die (unendliche) Potenzreihe auf dem Intervall 1 < x < 1 mit einer gewöhnlichen (endlichen) Funktion f(x). Dies ist in folgender Abbildung illustriert.

3 y y = 1+x+x y = 1+x y = 1 x y = 1 1 x Für x = 1 hat die k-te Partialsumme den Wert k+1, was im Limes k divergiert; für x = 1 oszilliert sie zwischen den Werten ±1, konvergiert also ebenfalls nicht. Für alle x mit x > 1 divergiert sie im Limes k zweifellos. 1.. Konvergenzradius Satz 1: Jede Potenzreihe a nx n besitzt einen Konvergenzradius (KR) r 0. Für alle x mit x < r konvergiert sie gegen eine endliche Funktion f(x), während sie für alle x mit x > r divergiert. (Für x = ±r ist keine allgemeine Aussage möglich.) Bsp. 1b: In Bsp. 1 gilt r = 1. Daraus schließen wir: Für beliebig vorgegebenes c > 0 hat die Potenzreihe mit den Koeffizienten a n = c n, 1+cx+c x +... = den KR r = 1 c, denn wegen cn x n = (cx) n gilt lim k c n x n = lim k c n x n, (10) (cx) n = 1 1 cx, sofern cx < 1 also x < 1 c. (11) Es stellt sich die Frage, wie man den Konvergenzradius r einer beliebigen Potenzreihe bestimmen kann. In vielen Fällen geht dies mit folgendem Satz, der eine unmittelbare Folge des sog. Quotientenkriteriums für Zahlenreihen ist. 3

4 Satz : Der KR der Potenzreihe a nx n ist r = lim n a n a n+1, (1) sofern a n 0 für fast alle (d.h.: für alle, mit Ausnahme von höchstens endlich vielen) n N, und sofern dieser Limes (im eigentlichen oder uneigentlichen Sinn) existiert. Bsp. 1c: Für die Potenzreihe aus Bsp. 1b erhalten wir jetzt direkt c n r = lim n c = 1 n+1 c. (13) Bsp. : (a) Für die Koeffizientenfolge a n =, also die Potenzreihe ergibt sich x n = 1+x+x +6x 3 +4x (14) r = lim n (n+1)! = lim 1 n n+1 = 0. (15) Folglich divergiert diese Potenzreihe für alle x 0. (b) Für a n = 1 liefert die gleiche Überlegung den KR r =. Die entsprechende Reihe, x n x = 1+x+ + x3 3! + x4 +..., (16) 4! stellt also für alle x R eine endliche Funktion dar! Wir werden sehen, daß e x ist (Abschnitt 1..3). Es gibt aber Potenzreihen, bei denen die Voraussetzungen von Satz nicht erfüllt sind, obwohl sie einen endlichen KR haben. Bsp. 3a: Als Beispiel betrachten wir die Potenzreihe 1+x+4x 4 +8x 9 +16x 16 +3x 5 +64x x (17) In diesem Fall sind a 0 = 1, a 1 =, a = a 3 = 0, a 4 = 4, a 5 = a 6 = a 7 = 0, etc. Es sind also unendlich viele Koeffizienten a n gleich null; die allgemeine Formel für a n lautet { n falls n = m a n = mit m {0,1,,...}, 0 sonst. (18) Daher ist Satz hier nicht anwendbar. 4

5 Um einen allgemeingültigen Satz zu formulieren, benötigen wir einen neuen Begriff. Def.: Die Zahl b heißt oberer Limes der Zahlenfolge (b n ) n N, b = lim n b n, (19) wenn bei beliebig kleinem ǫ > 0 stets für unendlich viele n N gilt b n > b ǫ aber für höchstens endlich viele n N gilt b n > b+ǫ. Bsp.: Es gilt lim sin(n) = 1. n Satz 3 (Cauchy-Hadamard): Der KR der Potenzreihe a nx n ist Die Fälle r = 0 =: 1 und r = =: 1 0 r = lim n 1 n a n. (0) sind eingeschlossen. Bsp. 3b: Nach diesem Satz ist klar, daß die Potenzreihe aus Bsp. 3a den KR r = 1 hat, denn lim ( n a n = lim ) 1/n n = lim n n n n/n = 1. (1) 1..3 Analytische Eigenschaften von Potenzreihen Satz 4: HatdieReihe a nx n denkrr > 0, soist dieentsprechende Funktion f(x) für x < r beliebig oft differenzierbar, und es gilt f (x) = a n nx n 1 = n=1 (n+1)a n+1 x n ( x < r). () Bsp. 4: (a) Für die Potenzreihe nxn gilt x nx n 1 = x d dx x n = x d 1 dx1 x = x (1 x) ( x < 1). (3) (b) Die Potenzreihe x n hat KR r = und die Eigenschaft f (x) = n=1 nx n 1 = n=1 x n 1 (n 1)! = Außerdem ist offenbar f(0) = 1. Damit folgt e x. 5 x n = f(x). (4)

6 Satz 5 (Identitätssatz): Gibt es ein r 0 > 0, sodaß für alle x mit x < r 0 gilt a n x n = b n x n = f(x) ( x < r 0 > 0), (5) mit einer für x < r 0 endlichen Funktion f(x), so sind beide Potenzreihen identisch, a n = b n für alle n = 0,1,,..., mit einem KR r r 0. (Dieser Satz begründet die Methode des Koeffizientenvergleichs.) Bsp. 5: (a) Gilt a n x n = 0 (6) für alle x mit x < 1, so folgt zwangsläufig: a n = 0 für alle n = 0,1,,... (b) Gilt a n x n = 1 1 x (7) für alle x mit x < 1 17, so folgt zwangsläufig: a n = 1 für alle n = 0,1,,..., sowie r = Rechnen mit Potenzreihen f(x)+g(x) = (8) f(x)g(x) = (9) f(g(x)) = (30) 6

7 1.3 Analytische Funktionen Def.: Die Funktion f(x) heißt analytisch (anlt.) bei x = x 0, wenn sie in einer offenen Umgebung von x = x 0 als Potenzreihe darstellbar ist; d. h.: wenn es Zahlen a 0, a 1, a,... und eine Zahl r > 0 (mit r 0) gibt, sodaß für alle x mit x x 0 < r gilt a n (x x 0 ) n ( x x 0 < r). (31) Gl.(31) heißt die Entwicklung von f(x) in eine Potenzreihe um(den Entwicklungspunkt) x = x 0. Für die Funktion g(x) := f(x+x 0 ) folgt: g(x) = a nx n (für x < r). Bsp. 6a: Aus Bsp. 1a schließen wir, daß für x < 1 gilt 1 1+x = 1 1 ( x) = 1+( x)+( x) +( x) = 1 x+x x ( x < 1). (3) Dies ist die Entwicklung von 1 1+x um x 0 = 0. Um den alternativen Entwicklungspunkt x 0 = 1 gilt dagegen die Entwicklung (s. Abschnitt 1.4) 1 1+x = (x 1)+ 1 8 (x 1) 1 16 (x 1) ( 1) n = n+1 (x 1)n ( x 1 < ). (33) InAbschnitt 1.4werdenwirsehen, wiemanfüreinegegebenefunktionf(x)zugegebenem Entwicklungspunkt x = x 0 die Koeffizienten a n bestimmt. f(x) x 7

8 Bsp. 6b: Eine Funktion f(x) ist bei x = 0 nicht analytisch, wenn: (a) sie dort nicht definiert ist, wie etwa (b) f (x) dort nicht definiert ist, wie etwa bei 1, lnx; (34) x x, x sgn(x) x 1/ sgn(x); (35) (c) f (x) dort nicht definiert ist, wie etwa bei (d) Bei x = 0 nicht analytisch ist auch die Funktion x 3 x 3/. (36) { 1 x (x 0), 1 (x 0). (37) (e) Die Funktion { e 1/x (x 0), 0 (x = 0). (38) ist bei x 0 = 0 zwar stetig und sogar unendlich oft differenzierbar, aber trotzdem nicht analytisch (s. Abschnitt 1.4). Satz 6: (a) Ist die Funktion f(x) analytisch (anlt.) bei x = x 0, so ist sie an jeder Stelle x eines offenen Intervalls x 0 r < x < x 0 +r (mit r > 0) um x 0 herum anlt. (b) Mit f(x) und g(x) sind auch h(x) = f(x)+g(x) und k(x) = f(x) g(x) anlt. (c) Ist f(x) bei x = x 0 anlt. mit f(x 0 ) 0, so ist auch g(x) = 1 bei x = x f(x) 0 anlt. (d) h(x) = f(g(x)) ist bei x 0 anlt., wenn g(x) bei x 0 und f(u) bei u 0 = g(x 0 ) anlt. sind. Bsp. 6c: Die Funktion 1 1 x (39) ist an jeder Stelle x R\{1} anlt., weil der Nenner g(x) = 1 x auf ganz R anlt. ist. D.h.: Für beliebiges x 0 1 gibt es je eine Folge a 0,a 1,a,... und ein r > 0, sodaß gilt 1 1 x = a 0 +a 1 (x x 0 )+a (x x 0 ) +... = a n (x x 0 ) n, (40) für alle x mit x x 0 < r. Die Koeffizienten a n und der KR r hängen vom Entwicklungspunkt x 0 ab. 8

9 1.4 Taylor-Reihen Notation: Wir schreiben f (x) =: f (1) (x), f (x) =: f () (x), etc. für die Ableitungen von f(x). Insbesondere schreiben wir für die Funktion selbst auch : f (0) (x). Satz 7: Ist f(x) in x = x 0 analytisch, so ist es dort beliebig oft differenzierbar, und es gibt ein r > 0, sodaß für alle x mit x x 0 < r gilt a n (x x 0 ) n = f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n ( x x 0 < r). (41) Die Koeffizienten dieser Potenzreihe sind also gegeben durch a n = f(n) (x 0 ). (4) Man nennt Gl. (41) die Taylor-Entwicklung von f(x) um x = x 0. Begründung: Wir differenzieren beide Seiten von Gl. (41) k-mal nach x, f (k) (x) = a n n(n 1)...(n k +1)(x x 0 ) n k. (43) n=k Lassen wir hier auf beiden Seiten x x 0 gehen, so überlebt auf der rechten Seite nur der erste Summand mit n = k, f (k) (x 0 ) = a k k! a k = f(k) (x 0 ), q. e. d. (44) k! Bsp. 7a: Gesucht ist die Taylor-Entwicklung der Funktion 1 1+x (1+x) 1 (45) um den Entwicklungspunkt x 0 = 0. Dazu brauchen wir die Ableitungen f (n) (x 0 ), f (0) (x 0 ) f(x 0 ) = (1+x 0 ) 1 = 1, f (1) (x 0 ) f (x 0 ) = (1+x 0 ) = 1, f () (x 0 ) f (x 0 ) = (1+x 0 ) 3 =, f (3) (x 0 ) f (x 0 ) = 3 (1+x 0 ) 4 = 3!, etc. (46) Spätestens jetzt erkennt man die allgemeine Regel, f (n) (x 0 ) f (n) (0) = ( 1) n (n = 0,1,,...). (47) 9

10 Damit lautet also die Taylor-Reihe (41) (mit x 0 = 0) f (n) (0) x n = in Bestätigung von Bsp. 6a. ( 1) n x n = 1 x+x +... ( x < 1), (48) Bsp. 7b: Wir entwickeln jetzt aber um den anderen Entwicklungspunkt x 0 = 1, f (0) (x 0 ) = (1+x 0 ) 1 = 1, f (1) (x 0 ) = (1+x 0 ) = 1 4, f () (x 0 ) = (1+x 0 ) 3 = 8, f (3) (x 0 ) = 3 (1+x 0 ) 4 = 3!, etc. (49) 16 Allgemein gilt jetzt also f (n) (1) = ( 1) n ( ) n 1 = ( 1)n1 n+1 (n = 0,1,,...), (50) und mit x x 0 = x 1 ergibt sich die Taylor-Reihe (33) f (n) (1) (x 1) n = ( 1) n n+1 (x 1)n ( x 1 < r). (51) Mit 1 x =: u ist sie von der Form 1 cn u n, mit c = 1. Nach Bsp. 1b ist daher der KR gegeben durch r = 1 c =. (5) Während also die Reihe (48) nur auf dem Intervall 1 < x < 1 konvergiert, gilt dies für die Reihe (51) auf dem doppelt so großen Intervall 1 < x < 3. Bsp. 7c: Besonders wichtige Taylor-Reihen (um x 0 = 0 und mit r = ) sind (Übunge) e x = 1+x+ x + x3 3! + x4 +..., (53) 4! cos(x) = 1 x + x4 +..., (54) 4! sin(x) = x x3 3! + x (55) 5! Ihre offensichtliche gegenseitige Verwandschaft wird erst im Zusammenhang mit den komplexen Zahlen verständlich werden. 10