Übungsaufgaben zu linearen Gleichungssysteme. Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren! a)
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- Sarah Giese
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1 Übungsaufgaben zu linearen Gleichungssysteme Aufgabe 1: Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren! a) 1. 2x 2y = x + y = 11 b) 1. 2x y = x + 3y = 22 c) 1. x = 5 + 6y 2. 12y 3x = 9 d) 1. 6x + 2y = 6 2. y = 8 + 7x e) 1. 4x + 3y = x - 2y = 12 Aufgabe 2: Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren! a) 1. x = 4y x = 6y 8 b) 1. y = 18 9y 2. y = 2y + 6 c) 1. x = y y = x
2 d) 1. y = y 2. y = 4y 12 e) 1. 2x + 4y = x + 4y = 19 Aufgabe 3: Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren! a) 1. 2x + 2y = x 3y = 6 b) 1. 2x + y = x y = 4 c) 1. 8x + 2y = x 4y = 12 d) 1. 3y = 3x y = 3x e) 1. 3x + 4y = x 3y = 1 Aufgabe 4: Bestimme die Lösungsmenge. Wähle dazu ein geeignetes Verfahren aus. a) 1. 5y-3x=1 2. x=y+1 b) 1. 2x-2y= x+2y=10 c) 1. 4x+5y=32 2. y=5x-11 d) 1. 3x+4y= x+4y=-3 e) 1. 3x-4y= x+3y=28 f) 1. 2x+y=7 2. 5x+y=13
3 Aufgabe 5: Die Differenz zweier Zahlen beträgt 9. Addiert man zum Doppelten der ersten Zahl das Fünffache der zweiten Zahl, erhält man 39. Aufgabe 6: Der Quotient von zwei Zahlen ist 4 und deren Differenz 36. Aufgabe 7: Die Summe von zwei Zahlen beträgt -4. Ihre Differenz beträgt 36. Aufgabe 8: Multipliziert man eine Zahl mit 7 und eine zweite Zahl mit 8, so ist die Summe dieser Produkte 47. Die Differenz der beiden Zahlen ist um 2 größer, als die zweite Zahl. Aufgabe 9: Addiert man zur Differenz zweier Zahlen das Achtfache der ersten Zahl, erhält man 85. Subtrahiert man von der Summe der beiden Zahlen das Dreifache der zweiten Zahl, erhält man 0. Aufgabe 10: Die Quersumme einer Zahl mit zwei Ziffern ist 6. Die erste Ziffer ist doppelt so groß wie die zweite Ziffer. Aufgabe 11: Vater und Sohn sind zusammen 62 Jahre alt. Vor sechs Jahren war der Vater viermal so alt wie der Sohn.
4 Aufgabe 12: Auf einem Bauernhof haben Hühner und Schweine zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele Hühner und Schweine gibt es? Aufgabe 13: Sascha ist 5 Jahre älter als seine Schwester Kerstin. In 20 Jahren ist er doppelt so alt wie Kerstin heute ist. Wie alt sind beide heute? Aufgabe 14: Ein Hotel verfügt über 140 Betten in insgesamt 80 Ein- und Zweibettzimmern. Wie viele Einzel- und wie viele Doppelzimmer sind vorhanden? Aufgabe 15: Großmutter und Enkel sind zusammen 78 Jahre alt. Vor 4 Jahren war die Großmutter sechsmal so alt wie ihr Enkel. Wie alt sind beide heute?
5 Lösungen Aufgabe 1: a) 1. 2x 2y = x + y = x 2y = x + y = 11-5x 1. 2x 2y = 4 2. y = 11 5x y aus der 2. Gleichung in die 1. Gleichung einsetzen 1. 2x 2 (11 5x) = 4 2x x = x = 26 :12 x = 2,17 2. y = 11 5x x aus der 1. Gleichung in die 2. Gleichung einsetzen 1. x = 2,17 2. y = ,17 y = 0,15 b) 1. 2x y = x + 3y = x y = 18-2x 2. 6x + 3y = y = 18-2x ( 1) 2. 6x + 3y = 22
6 1. y = x y aus der 1. Gleichung in die 2. Gleichung einsetzen 2. 6x + 3y = y = x 2. 6x + 3 ( x) = 22 6x x = x = 76 : 12 x = 6,33 x aus der 2. Gleichung in die 1. Gleichung einsetzen 1. y = ,33 y = 5,34 2. x = 6,33 c) 1. x = 5 + 6y x aus der 1. Gleichung in die 2. Gleichung einsetzen 2. 12y 3x = 9 1. x = 5 + 6y 2. 12y 3 (5 + 6y) = 9 1. x = 5 + 6y 2. 12y 15 18y = y = 24 : (-6) y = 4 y aus der 2. Gleichung in die 1. Gleichung einsetzen 1. x = ( 4) x = y = 4 d) 1. 6x + 2y = 6 2. y = 8 + 7x y aus der 2. Gleichung in die 1. Gleichung einsetzen 1. 6x + 2 (8 + 7x) = 6 2. y = 8 + 7x
7 1. 6x x = x = 10 : 20 x = 0,5 x aus der 1. Gleichung in die 2. Gleichung einsetzen 2. y = 8 + 7x 1. x = 0,5 2. y = ( 0,5) y = 4,5 e) 1. 4x + 3y = x 2y = x + 3y = x 2y = 12 : x + 3y = 4 2. x y = 6 + y 1. 4x + 3y = 4 2. x = 6 + y x in 1. Gleichung einsetzen 1. 4 (6 + y) + 3y = y + 3y = y = 28 : 7 y = 4 y in die 2. Gleichung 2. x = 6 + ( 4) x = 2 Aufgabe 2: a) 1. x = 4y x = 6y 8 Beide Gleichungen gleichsetzen: 4y + 4 = 6y 8-4 4y = 6y 12-6y 2y = 12 : (-2) y = 6 y in eine der Gleichungen einsetzen: x = x = 28
8 b) 1. y = 17 9x 2. y = 2x + 6 Beide Gleichungen gleichsetzen: 17 9x = 2x + 6-2x 17 11x = x = 11 : (-11) x = 1 x in eine der Gleichungen einsetzen: y = y = 10 c) 1. x = y y = x Beide Gleichungen gleichsetzen: y = 5 3y +3y y = y = 3 :19 y = 0,16 y in einer der Gleichungen einsetzen: x = 5 3 ( 0,16) x = 5,48 d) 1. y = x 2. y = 4x 12 Beide Gleichungen gleichsetzen: x = 4x 12-4x 14 2x = x = 26 : (-2) x = 13 x in einer der Gleichungen einsetzen: y = y = 40
9 e) 1. 2x + 4y = 7-2x 2. 4x + 4y = 19-4x 1. 4y = 7 2x 2. 4y = 19 4x beide Gleichungen gleichsetzen: 7 2x = 19 4x 7 + 4x 2x = 12 : 2 x = 6 x in eine der Gleichungen einsetzen: 1. 4y = y = 5 : 4 y = 1,25 Aufgabe 3: a) 1. 2x + 2y = Gleichung 2. 2x 3y = y = 6 ( 1) 2. 2x 3y = 6 1. y = 6 y in die 2. Gleichung einsetzen 2. 2x 3y = x 3 ( 6) = 6 2x + 18 = x = 12 2 x = 6 b) 1. 2x + y = x y = Gleichung 1. 4x = 1 :4 2. 2x y = 4 1. x = 0,25 x in die 2. Gleichung einsetzen 2. 2x y = (0,25) y = 4
10 0,5 y = 4 0,5 y = 4,5 ( 1) y = 4,5 c) 1. 8x + 2y = x 4y = x + 4y = x 4y = Gleichung 1. 16x + 4y = x = 24 :(-12) y = x = 2 x in 1. Gleichung y = y = y = 10 : 2 y = 5 d) 1. 3y = 3x y = 3x 1. 3y + 3 = 3x y = 3x + 1. Gleichung 1. 3y + 3 = 3x y = y + 3 = 3x 2. 1y = 4 ( 1) y = = 3x -9 = 3x : 3 x = 3 e) 1. 3x + 4y = x 3y = x + 4y = x 3y = 1 4
11 1. 9x + 12y = x 12y = Gleichung 1. 29x = 58 : 29 x = 2 x in die 1. Gleichung einsetzen: y = y = y = 12 : 4 y = 3 Aufgabe 4: a) 1. 5y-3x=1 2. x=y+1 Lösen mit dem Einsetzungsverfahren: x= 3 y=2 L {3;2} b) 1. 2x-2y= x+2y=10 Lösen mit dem Additionsverfahren: x= 10 y= -10 L{10;-10} c) 1. 4x+5y=32 1. y=5x-11 Lösen mit dem Einsetzungsverfahren: x=3 y=4 L{3;4} d) 1. 3x+4y= x+4y=-3 Lösen mit dem Gleichsetzungsverfahren: 1. 4y=-3-3x 2. 4y=-3-2x x= 0 y= -0,75 L{0;-0,75} e) 1. 3x-4y= x+3y=28
12 Lösen mit dem Additionsverfahren: Die 1. Gleichung mal 3 und die 2. Gleichung mal 4 rechnen und danach das Verfahren anwenden: 1. 9x-12y= x+12y=112 x= 2 y= 8 L{2;8} f) 1. 2x+y=7 2. 5x+y=13 Hier eignen sich das Gleichsetzungs- und das Einsetzungsverfahren: Nach dem Gleichsetzungsverfahren: 1. y=7-2x 2. y=13-5x x= 2 y= 3 L{2;3} Aufgabe 5: 1. x y = x + 5y = x = 9 + y x in die 2. Gleichung einsetzen 2. 2x + 5y = (9 + y) + 5y = y + 5y = y = 21 : 7 y = 3 y in die 1. Gleichung einsetzen: x = x = 12 Aufgabe 6: 1. x: y = 4
13 2. x y = x: y = 4 y 2. x y = x = 4y x in die 2. Gleichung einsetzen 2. x y = y y = 36 3y = 36 : 3 y = 12 y in die 1. Gleichung einsetzen: 1. x = 4 12 x = 48 Aufgabe 7: 1. x + y = 4 2. x y = x + y = 4 y 2. x y = x = 4 y y in die 2. Gleichung einsetzen 2. x y = y y = y = 40 2 y = 20 y in die 1. Gleichung einsetzen: 1. x = 4 ( 20) x = 16 Aufgabe 8: 1. 7x + 8y = x y = 2 + y
14 1. 7x + 8y = x y = 2 + y + y 1. 7x + 8y = x = 2 + 2y x in die 1. Gleichung einsetzen 2. 7 (2 + 2y) + 8y = y + 8y = y = 33 : 22 y = 1,5 y in die 2. Gleichung einsetzen: 2. x = ,5 x = 5 Aufgabe 9: 1. x y + 8x = x + y 3y = 0 1. y + 9x = x 2y = 0 + 2y 1. y + 9x = x = 2y x in die 1. Gleichung einsetzen 1. y + 9 2y = 85 17y = 85 : 17 y = 5 y in die 2. Gleichung einsetzen: 2. x = 2 5 x = 10 Aufgabe 10: Erste Ziffer: x zweite Ziffer: y
15 1. x + y = 6 2. x = 2y x in die 1. Gleichung einsetzen: 1. 2y + y = 6 3y = 6 : 3 y = 2 y in die 2. Gleichung einsetzen: 2. x = 2 2 x = 4 Aufgabe 11: Sohn: y Vater: x 1. x + y = (y 6) = x 6 1. x + y = 62 y 2. 4 (y 6) = x 6 1. x = 62 y x in die 2. Gleichung einsetzen 2. 4 (y 6) = x (y 6) = (62 y) 6 4y 24 = 56 y + y y = 80 : 5 y = 16 y in die 1. Gleichung einsetzen: 1. x = x = 46 Aufgabe 12: Hühner: x Schweine: y
16 1. x + y = x + 4y = x + y = 35 y 2. 2x + 4y = x = 35 y x in die 2. Gleichung einsetzen 2. 2x + 4y = (35 y) + 4y = y + 4y = y = 24 : 2 y = 12 y in die 1. Gleichung einsetzen: 1. x = x = 23 Aufgabe 13: Sascha : x Kerstin: y 1. x = y x + 20 = 2y 1. x = y + 5 x in die 2. Gleichung einsetzen 2. x + 20 = 2y 2. y = 2y y y = 25 y in die 1. Gleichung einsetzen: 1. x = x = 30 Aufgabe 14: Einzelzimmer: x Doppelzimmer: y
17 1. x + y = x + 2y = x + y = 80 y 2. x + 2y = x = 80 y x in die 2. Gleichung einsetzen 2. x + 2y = y + 2y = y = 60 y in die 1. Gleichung einsetzen: 1. x = x = 20 Aufgabe 15: Großmutter: x Enkel: y 1. x + y = x 4 = (y 4) 6 1. x + y = 78 y 2. x 4 = (y 4) 6 1. x = 78 y x in die 2. Gleichung einsetzen 2. x 4 = (y 4) y 4 = (y 4) 6 74 y = 6y y 7y = 98 : 7 y = 14 y in die 1. Gleichung einsetzen: 1. x = x = 64
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Allgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte.
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