Einfache Anwendungen aus der klassischen Mechanik

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1 Einfache Anwendungen aus der lassischen Mechani. Schiefe Ebene Energie: Poenial: Generalisiere Koordinaen Energie und Bewegung V r = mgy E = + V r ( α ) ( α ) Generalisiere Koordinaen: s cos r = sin s Jacobi-Marix: r cos( α ) J = = ds sin α Meri: G = J J = Inverse Merix. G = i G = Hamilon-Funion: H = + mg sin ( α ) s = s + mg sin ( α ) s Bewegungsgl.: sgi s H msɺ = = s s H ɺ s = = mg sin s ( α ) (-) (-) (-3) Lösung: Bahnurve: ( α ) s = mg sin v s = s + sin ( α ) g m ( a) ( α ) cos r ( ) = + sin s v α g sin (-4) Tübingen, den.8.3

2 . Freier Fall Energie: Poenial: Koordinaen Bewegungsgleichungen E = + V r V r = mgy x Koordinaen: r = y Meri: G = Gi = Hamilon-F.: x H = ( x, y ) Gi + mgy = x + y + mgy y x-richung: H mxɺ = = x y-richung: Bahnurve: x H ɺ x = =, x onsan x x x( ) = x +, x, x onsan m H myɺ = = y y H ɺ y = = mg, y = y + mg y y( ) = y + + g, y m x x + m r ( ) = y y + + g m y, y onsan (-) (-) (-3)

3 3 3. Keler-Problem Energie: E = + V ( r ) α V ( r ) = r Generalisiere Koordinaen r cos( ϕ ) Generalisiere Koordinaen: r = sin r ϕ r r cos( ϕ ) r sin ( ϕ ) Jacobi-Marix: J =, = r ϕ sin ( ϕ ) r cos( ϕ ) Meri: G = ( gij ) = J J = r ij Inverse Meri: G = = = i g G r Dynami r α α Hamilon-Funion: H = ( r, ϕ ) Gi = r + ϕ ϕ r r r Trennung der Variablen α Energie: E = r + ϕ r r Trennung: ϕ = ± r E + α r r r = cons eine Funion eine Funion von r, r von ϕ, ϕ Drehimuls Imuls auf Bahnurve: also: d.h.: i ij mqɺ = g j ϕr ϕϕ m ɺ ϕ = g r + g ɺ ϕ = mr r ϕ ϕ (3-) (3-) (3-3) (3-4) (3-5)

4 4 Kelerscher Flächensaz Imuls auf Bahnurve: Übersrichene Fläche: ɺ ϕ ϕ = mr = cons da = r dl = r dϕ = cons Effeives Poenial Da der Winelimuls onsan is, ann das Problem als eindimensionales radiales Problem mi einem effeiven Poenial behandel werden. Energie: rdϕ α E = r + ϕ mr r Veff (3-6) (3-7) Die Umehrune r min und r max önnen als ullsellen des Radialimulses r berechne werden. Periodendauer - Umlaufzei Umlaufzei: ( r ) max r max r mrɺ max T = d = d = dr = rmin rmin r rmin rmax dr α E ϕ + r r rmin r (3-8)

5 5 Winel Radius ɺ ϕ = ϕ mrɺ ϕ ϕ ϕ ϕ = ɺ ϕd = d = = dr dr mr r r r α r H + ϕ r r oder: = dr = du E α u= E α r + + r u u du= dr ϕ ϕ r r ϕ ϕ = arccos α u + ϕ α E 4 + ϕ ϕ α u + ϕ α E + 4 ϕ ϕ ( ϕ ϕ ) = cos Rücransformaion auf die Radialoordinae r: mα mα E mα ϕ E Also: u = = cos + ( ϕ ϕ ) = + + cos ( ϕ ϕ ) r ϕ ϕ ϕ ϕ mα ε = + cos r ( ε ) ( ϕ ϕ ) r = + ε cos ϕ ϕ r (3-9) (3-)

6 6 Perle 4. Rheonome Zwangsbedingungen Eine Perle gleie auf einem geraden Drah, der mi einer Winelgeschwindigei ω in der x-y-ebene roier. Zur Zei = befinde sie sich bei () = in Ruhe. Koordinaen Generalisiere Koordinaen: cosϕ r = sinϕ Grundveoren: r g = = cosϕeˆ sin ˆ x + ϕey d ϕ r g = = sinϕeˆ + cos ˆ x ϕey dϕ Jacobi-Marix: r r cosϕ sinϕ J =, = ϕ sinϕ cosϕ Meri: G = ( gij ) = J J = Inverse Meri ij Gi = ( g ) = G = Rheonome Zwangsbedingung Hamilon-Funion: H = (, ϕ ) Gi = + ϕ m ϕ ϕ-imuls: H ɺ ϕ = = ϕ m Rheonome Zwangsbed.: also: ɺ ϕ = ω ϕ ϕ = m ω (4-) (4-)

7 7 Eliminaion des Freiheisgrades Wirungsdifferenial: ds = ɺ + ϕω + ϕ d E m Hamilon-Funion: H = + ( m ω) m ω = ω Bewegungsgleichungen Lösung Allgemeine Lösung: Anfangswere: also: HG: H m ɺ = m = H ɺ = = mω DGL: ɺɺ = ω ω = ae + be ω ( ) = = a + b ( ) = = ω ( a b) ) a = b = ɺ ω ω = ( e + e ) = cosh ( ω ) (4-3) (4-4) (4-5)

8 8 5. Harmonischer Oszillaor mi Reibung Zunächs geben wir die Energiefunion an, die die Bewegungsgleichungen des HO mi Reibung ha. Dann wählen wir generalisiere Koordinaen, mi denen sich die Bewegungsgleichungen leich lösen lassen. Hamilon-Funion: γ mω γ H = e + q e Bewegungsgleichungen: H γ mqɺ = m = e H γ ɺ = = mω qe q also: γ mqɺɺ = ɺ e γ e γ mω qe qɺɺ γ qɺ ω q also HO mi Reibung: + + = Generalisieren Koordinaen Transformaion: Jacobi-Marix: Meri: Inverse Meri: Hamilon-Funion Wirungsfeld: Energiefeld: γ q = Qe γ = mqe ɺ γ q J = = e Q γ G = J J = e G = G = e i γ γ ds = dq Ed = PdQ E + γqp d γ d( Qe ) EQ γ γ = e dq e Qγ d = PdQ γ PQd γ mω γ EQ = G + i P e G Q e + γ QP γ γ e mω = P + Q + γqp e (5-) (5-) (5-3)

9 9 Bewegungsgleichung Hamilon-Funion: Bewegungsgleichung: also: Lösung: Probe mω H = P + Q + γqp H mqɺ = m = P + γ mq P H Pɺ = = mω Q γ P Q ɺɺ = ɺ + γ ɺ = ω γ + γ + γ ( ω γ ) Ω = sin ( Ω + ϕ ) = sin ( Ω + ϕ ) mq P mq m Q P P mq = m Q Q Q Bewegungsgleichung: q + q + q = Lösung: Ableiungen: Lösung Bew.Gl.: ɺɺ γ ɺ q Q e γ ω γ ( ϕ ) γ cos ( ω ϕ ) γ cos q = Q sin Ω + e qɺ = Ω Q + e q γ qɺɺ = Ω q γ Ω Q Ω + ϕ e γ qɺ ω γ qɺɺ ( ω γ ) cos ( q γ ΩQ ( Ω + ϕ ) e γ γ qɺ ) γ qɺ + γ qɺ cos ( + γω Q ( Ω + ϕ ) e γ γ q ) + ω q = (5-4) (5-5)

10 6. Reibungsfrei schwingende Kee Disre Verschiebung und Poenial Posiion eines Keeneils auf der x-achse: j j Verschiebung bei x in y-richung: u u x, Poenial: j j j V = u u j= Randbedingung: = = Vollsändiges Orhonormalsysem κ = x u j j = η + j jκπ Basis: bκ = sin, j, κ.. Orhogonaliä: Vollsändigei: b b = δ j l jl κ κ j j bκ bλ = δκλ j= Generalisiere Koordinaen i κ i Generalisiere Koord.: u u eˆ ˆ i = Q bκ ei Grundveoren: u i g = = ˆ λ b e λ λ i Q Jacobi-Marix: u i J = = ( b λ λ ) Q Meri: G = J J = = Gi Energie u (6-) (6-) (6-3) (6-4) Kineisch: = P T = Pκ Pλ m

11 ebenrechungen: + j j κ λ j j κ λ u = u = Q Q bκ bλ = gκλq Q j= j= j= j+ jκπ κπ sin j κπ cos jκπ bλ = + = bλ + bλ cos j j+ κ λ j j+ u u = Q Q bκ bλ j= j= δκλ κπ = + δκδ κπ κ λ = cos δ κλq Q κ κ λ j j j Q Q cos bκ bλ bλ bκ j= j= jκπ cos = (6-5) Poenielle Energie: η η V = u u = u u u + u j+ j+ j j ( j+ j ) j= j= = Kκλ κπ η+ cos gκλ κ Q Q λ (6-6) Gesamenergie: Hamilonsche Bewegungsgleichungen Hamilon-Funion: Hamilonsche Bew.Gl: = Pκ Pλ E + κ Kκλ Q Q m Pκ Pλ κ λ H = + KκλQ Q E mqɺ κ = m = Pκ Pκ E Pɺ λ κπ κ = = KκλQ = η + cos Q κ Q Bewegungsgl.: mqɺɺ = g Pɺ κπ λ = η + cos Q κ κλ κ κπ η + cos κ κ κ Lösung: Q cos ( ω ( )), mi ω = m λ κ irraionale Frequenzverhälnisse! quasieriodisch (6-7) (6-8)

12 Koninuierliches Sysem Poenial: Basis η Verschiebung senrech zur x-achse: u x, u = u = η η x ui+ ui V = ( ui+ ui ) = x i= i= x ɶ ɶ η u dx = u udx ɶ η= η x Basis: b x sin x,.., x, π Orhonormaliä: Vollsändigei: Generalisiere Koordinaen Energie π = = [ π ] b x b x dx = δ ( ) = δ ( ) b x b x x x = u ( x, ) = = Generalisier Koordinae: u x, Q b x Grundveoren: Meri: Konravariane GV: also: g x b x Q π g = g x g x dx = δ l l l π g ( x) gl ( x) dx g ( x) = g ( x) = δ l l Kineische Energie: = P g ( x) Pg l ( x) dx δ P Pl = Poeniell Energie: ɶ η ɶ η l V = u udx = ( Q g ( x) ) ( Q gl ( x) ) dx = K Q Q, mi K = ɶ η δ = δ + l l l l l l l Q gl ( x) l l Energiefeld: E P P KlQ Q, wie im Disreen (6-9) (6-) (6-) (6-)

13 3 Lösung Bahnurven: η Q cos ( ω ( )), mi ω = ± ɶ m irraionale Frequenzverhälnisse! quasieriodisch (6-3)