V. Optik in Halbleiterbauelementen

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1 V.1: Einführung V. Optik in Halbleiterbauelementen 1. Kontakt Kontakt Abb. VI.1: Spontane Emission an einem pn-übergang Rekombination in der LED: - statistisch auftretender Prozess - Energie des Photons ungefähr gleich der Bandlücke -Ausbreitungsrichtung undefiniert reicht nicht aus zur Beschreibung von Halbleiterlaserdioden, mit denen extrem gerichtetes und monochromatisches Licht erzeugt

2 Absorption, Spontane Emission, Stimulierte Emission Absorption Spontane Emission Stimulierte Emission Abb. VI.: Schematische Darstellung von Absorption, Spontaner und Stimulierter Emission Absorption und spontane Emission: kann relativ gut in einem statistischen Bild beschrieben werden Stimulierte Emission: Phase und Frequenz des Lichtes muss beachtet werden

3 Stimulierte Emission Stimulierten Emission: Wechselwirkung eines Photons mit einem angeregten Medium (Atom, Molekül, Festkörper) erzeugt zweites Photon mit: - derselben Frequenz, - derselben Phase, - derselben Ausbreitungsrichtung. - Energie des zweiten Photons wird Material entnommen Abb. VI.3: Prinzip der stimulierten Emission Grundlage der Lasertätigkeit

4 V. Wellenausbreitung Ebene Wellen als Lösungen der Maxwell-Gleichungen im Vakuum: Exyzt (,,, ) = Ee 0 j kr ( ωt ) x z O. B. d. A. in z-richtung propagierend und in x-richtung polarisiert und im Medium mit Brechungsindex n: E ( x, y, z, t) = E e β ω x x0 ( j ( z t) mit Propagationskonstante β = π n λ 0

5 Erweiterung auf Gewinn und Verlust I in Dämpfung der Intensität einer em. Welle beim Durchgang durch ein absorbierendes Medium Ix ( ) = 0 Ie α x I out

6 Erweiterung auf Gewinn und Verlust Verstärkung der Intensität einer em. Welle beim Durchgang durch ein verstärkendes Medium I out I ( x) = I e α out in x I in kann in Wellengleichung ebenfalls durch Realteil im Exponenten berücksichtigt werden Ix E x ( ) ( ) E ( x, y, z, t) = E ( jγ z) x x0 γ = β + j α

7 Absorption/Verstärkung 1. E 3. E 1 Ein optischer Übergang kann nur stattfinden, wenn der Ausgangszustand besetzt und der Endzustand unbesetzt ist: Für den effektiven Absorptionskoeffizienten ergibt sich damit: αnet = α 0 fe ( 1)(1 fe ( )) fe ( )(1 fe ( 1)) stim. Em. [ ] = α fe ( ) fe ( ) = α (1 f( E) f( E)) h 1 e Für die Intensität gilt beim Ix ( ) = I0 exp( α net x) Durchlauf durch einen Halbleiter:

8 Optische Verstärkung Jegliche Anwesenheit von Ladungsträgern führt zu einer Verringerung der Band-Band-Absorption (Ausbleichen.) Positive optische Verstärkung (negative Absorption), exponentieller Anstieg der Lichtintensität beim Durchgang durch das Material falls: 1. Kontakt f e + f > 1 h für die entsprechende Photonenenergie. 1. Kontakt Die negative Absorption wird oft als optischer Gewinn bezeichnet: ge ( ) = α( E) = α ( f + f 1) 0 e h

9 Absorption, Spontane u. Stimulierte Emission V.3: Die Einsteinkoeffizienten Quantitativere Analyse dieser Prozesse: Modellsystem aus zwei Niveaus I1> und I> I> I1> R1 R1 Optische Übergänge nur, wenn die Energie der Photonen exakt dem energetischen Abstand der beiden Niveaus entspricht. nph ( E ): Anzahl der Photonen 1 Abb. VI.4: Absorption und stimulierte im "passenden" Energieintervall Emission am -Niveau-System Übergänge zwischen den beiden Niveau finden mit den Raten R 1 und R 1 statt. Absorption: Elektronen werden von I1> nach I> angeregt. Rate R für diesen Prozess, wenn Elektron sich in I1> befindet: R = B n ( Ph E ) B : 1 (1. Einsteinkoeffizient)

10 Absorption, Spontane u. Stimulierte Emission - Absorption kann nur stattfinden, wenn Zustand I1> besetzt und Zustand I> unbesetzt ist (Pauli-Prinzip) - im thermodynamischen Gleichgewicht wird die Besetzung durch Besetzungsfunktionen f(e) beschrieben: R = BfE ( )(1 fe ( )) n ( E ) Ph 1 I> R1 R1 Ganz ähnlich ergibt sich für die stimulierte Emission: I1> Glg. VII.1 R = B f( E )(1 f( E )) n ( E ) 1, stim 1 1 Ph 1 Und für die spontane Emission: R = A f( E )(1 f( E )) 1, spon 1 1 Im thermischen Gleichgewicht gilt: R = R + R Glg. VII. 1 1, stim 1, spon

11 Absorption, Spontane u. Stimulierte Emission Besetzung der elektronischen Niveaus I1> und I> erfolgt nach Fermi-Dirac-Funktion: R = R + R 1 1, stim 1, spon fe ( ) = 1+ e 1 i Ei E kt B F I> I1> R1 R1 Photonen: Quanten des elektromagnetischen Feldes Beschreibung erfolgt in einen ähnlichen Formalismus wie bei den Elektronen wichtiger Unterschied: Elektronen sind Fermionen (Spin 1/) Photonen sind Bosonen (Spin 1) - keine zwei Fermionen im gleichen Quantenzustand - keine Problem für Bosonen (sonst keine stimulierte Emission)

12 Absorption, Spontane u. Stimulierte Emission Die Besetzung von vorgegebenen photonischen Zuständen erfolgt nach der Bose-Einstein-Verteilung: n BE ( E, T) = e 1 E kt B 1 Anzahl von Photonen bei einer bestimmten Energie muss photonische Zustandsdichte g Ph berücksichtigen: n ( E, T) = g ( E ) n ( E, T) Ph 1 Ph 1 BE 1 Photonische Zustandsdichte (Berechnung erfolgt analog wie bei Elektronen): g ( ) Ph E = 8π ne 3 3 hc 3 (Brechungsindex ändert die photonische Zustandsdichte)

13 Die Einsteinkoeffizienten R = R + R Glg. VII. 1 1, stim 1, spon Einsetzen der Ausdrücke in Glg. VII. ein und Umformung ergibt: Linke Seite: T-unabhängiger Ausdruck Rechte Seite: T-abhängiger Ausdruck E1 kt B A1 B1e B1 = E ( 1 gph E1) kt B e 1 T -unabhängig T abhängig Annahmen waren unabhängig von T rechte Seite muss auch T-unabhängig sein B 1 =B 1 B = B 1 1 Absorption und Emission erfolgen mit den gleichen Raten Große Absorption Große stimulierte Emission

14 Die Einsteinkoeffizienten 1. Kontakt Kontakt Spontane Emissionsrate kann aus Absorption bzw. stimulierter Emission berechnet werden 8π ne 3 r 1 1 = Ph( 1) 1 = A g E B B hc Jeder elektronische Übergang muss also für alle Prozesse nur einmal berechnet werden. R1 = Wtot α Also im Halbleiter: 3 π ea 1 m eff tot = c, v 4m0 π ω g W p E

15 V.4 Optik an Grenzflächen Eine Halbleiterlaserdiode besteht im wesentlichen aus Grenzflächen Abb. VI.14: Schema eines Doppelheterostrukturlasers

16 V.4 Optik an Grenzflächen 1. Wellenleitung in ebenen Wellenleitern Wellenleiter: x z n c ("Cladding") n f (Film) n s (Substrate). Reflexionsund Antireflexionsschichten n 1 n n 1

17 V.4 Optik an Grenzflächen V.4.1.: Einführung Medium 1 Medium Fällt eine em. Welle auf eine Grenzfläche, so wird das Verhalten beschrieben durch Stetigkeit der Tangentialkomponente des E-Feldes H-Feldes Führt zu Reflexionen

18 Reflexion und Transmission Senkrechter Einfall einer ebenen Welle auf Grenzfläche E i E r E t Et n1 = t = E n + n i x= x Er n n = r = E n + n i 1 x= 0 1 Phasensprung von π beim Übergang vom optisch dünneren zum optisch dichteren Medium

19 Reflexion bei senkrechtem Einfall Intensität: n n R = n + n 1 1 T = n n1 n n + n 1 1 Hohe Reflexion bei hohem Brechzahlunterschied: Bsp: GaAs-LED: Luft (n=1) GaAs (n=3.6) n1 n,6 = = 1 + 4,6 R n n 31%

20 V.4. Dielektrische Spiegel Idee: Erhöhung der Reflexion durch phasenrichtiges Hintereinanderschachteln von Grenzflächen: 0 E r n1 n n1 n n1 1 E r E r 3 E r n >n 1 d 1 d d 1 d d 1 d Konstruktive Interferenz von E r, und E r,1 falls: π n βd = d = π λ d = λ 0 4n Konstruktive Interferenz von E r,3 und E r falls: π n βd + π = d + π = π λ0 d = 1 λ0 4n 1

21 Dielektrische Spiegel Konstruktive Interferenz aller an den Grenzflächen reflektierten Teilwellen Einsatz als dielektrische Spiegelschichten (z.b. in Lasern) Lambdaviertelschichten Quarterwavestacks GaAs/AlGaAsλ/4-stacks DBR siehe auch: