Tragwerksentwurf I Lageplan - Kräfteplan - Subsystem

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1 Lageplan - Kräfteplan - Subsystem S. / 4 In der graphischen Statik werden die Kräfte eines Tragwerks als Vektoren in zwei Plänen dargestellt, dem Lageplan und dem Kräfteplan. Der Lageplan zeigt die Geometrie des Tragwerks mit allen Tragelementen und der Lage der Lasten. Die an und in den Tragelementen herschenden Kräfte werden im Kräfteplan dargestellt. Jeder Linie im Lageplan entspricht eine parallele Linie im Kräfteplan. Die Subsysteme dienen als Skizzen und zeigen Informationen bezüglich der einzelnen Knoten. II R I Knoten I o I II i Knoten II Lageplan MST :00 Subsysteme ohne MST Kräfteplan MST cm = ^ 50kN

2 Lageplan - Kräfteplan - Subsystem S. / 4 Lageplan Der Lageplan zeigt die Geometrie des Tragwerks mit allen Tragelementen und der Lage der Lasten. elastungen (, ) und uflagerreaktionen (, ) werden Äussere Kräfte genannt und mit ihrer Richtung (als Pfeil) gezeichnet. Sie haben die arbe grün. Kräfte in den Tragwerkselementen (Seilsegmente -) werden als innere Kräfte bezeichnet und weisen keine eindeutige Richtung auf. Sie werden der rt der eanspruchung entsprechend rot für Zug und blau für Druck gefärbt. Der Lageplan wird in einem bestimmten Massstab gezeichnet. sp: :00 heisst, cm im Plan entspricht 00cm in Realität. uflagerreaktion uflager Schlusslinie II I uflagerreaktion uflager Seilsegment Knoten I Hilfslinien R elastung Massstab MST :00 Wirkungslinie Resultierende R

3 Lageplan - Kräfteplan - Subsystem S. / 4 Subsystem Das Subsystem und die darin deklarierte bleserichtung geben beim Konstruieren des Kräfteplans die Reihenfolge der zu zeichnenden Elemente an. Das Subsystem wird ohne Massstab, meist als Skizze dargestellt. Im Subsystem werden die auf den Knoten einwirkenden Kräfte / Elemente gezeichnet und zwischen gegebenen und gesuchten Elementen unterschieden. Mit dem Subsystem und den darin enthaltenen Kraftrichtungen kann bestimmt werden, ob das Tragwerkselement auf Zug oder Druck belastet ist. Zeigt die Kraft auf den Knoten ist es eine Druckkraft (blau). Zeigt sie vom Knoten weg ist es eine Zugkraft (rot). ngabe der bleserichtung hier im Uhrzeigersinn ngabe der bleserichtung hier im Uhrzeigersinn gesuchtes Element (Richtung & Grösse) gesuchtes Element (Richtung & Grösse) Knoten, der betrachtet wird Knoten I angreifende, gegebene elastung eschriftung gemäss Nummerierung im Lageplan

4 Lageplan - Kräfteplan - Subsystem S. 4 / 4 Kräfteplan Der Kräfteplan wird durch paralleles Verschieben der Tragwerkselemente aus dem Lageplan konstruiert. Die gewählte bleserichtung und das zugehörige Subsystem geben dabei die Reihenfolge der zu zeichnenden Elemente an. us dem kompletten Kräfteplan können anschliessend, mithilfe des gewählten Massstabes, die Grösse der Kräfte herausgemessen werden. cm = 50kN heisst, cm im Plan entspricht einer Kraft von 50kN. Globales und lokales Gleichgewicht Die elastungslinie ist das Kräfte polygon aller äußeren Kräfte (Einwirkungen und uflagerkräfte). Ist das Polygon geschlossen, befindet sich das Gesamtsystem im Gleichgewicht (globales Gleichgewicht). etrachtet man einen Knoten isoliert (Subsystem), so ist dieser im Gleichgewicht, wenn alle am Knoten angreifenden Kräfte im Kräfteplan ein geschlossenes Polygon bilden. Das Kräftepolygon wird als Modell des lokalen Gleichgewichts der inneren Kräfte bezeichnet. Kraft im Seilsegment, N uflagerreaktion Pol o Schlusslinie Massstab o MST cm = ^ 50kN I II i Kräftepolygon I Liste mit allen Kräften elastungslinie mit elastungen und Schlusslinienschnittpunkt i auf der Resultierenden Kräftepolygon II = kn = 68kN N = kn N = 5kN N = kn = kn = kn

5 Resultierende von parallelen Kräften S. / Gesucht wird die Lage der Resultierenden von zwei Kräften, deren Wirkungslinien parallel sind. Diese befindet sich im Schwerpunkt der Kräfte. Die Lage der Resultierenden wird näher an der Lage der grösseren Kraft liegen und zwar im Verhältnis / = d /d. Dazu werden zuerst die Kräfte im Lageplan mit einem Kraftmassstab dargestellt (z.. cm entspricht kn). In der Zeichnung unten grün dargestellt und. Danach verbindet man den nfangspunkt der ersten Kraft mit dem Endpunkt der zweiten Kraft (Linie a im eispiel unten). Diese Linie wird nun parallel verschoben an den Endpunkt der Ersten (a ) und den nfangspunkt der zweiten Kraft (a ). Somit erhält man ein Parallelogramm. In dieses Parallelogramm wird nun die Diagonale d gezeichnet, welche auf der Wirkungslinie der ersten Kraft startet und bei der Wirkungslinie der zweiten Kraft endet. Im Schnittpunkt mit a liegt die Resultierende R. a'' ' d R a a' '

6 Resultierende von beliebigen Kräften S. / Gegeben sind drei beliebige Kräfte (Lageplan a), gesucht sind Größe und Lage der Resultierenden dieser drei Kräfte. ls erstes wird die Kräftelinie im Kräfteplan konstruiert (Kräfteplan a). Das Verbinden von nfangs- und Endpunkt der Kräftelinie ergibt die Größe und Richtung der Resultierenden R. Nun wird eine Hilfskonstruktion (Seilpolygon) gezeichnet, um die Lage der Resultierenden zu ermitteln. Die Hilfskonstruktion kann ein hängendes Seil (Lageplan b) oder ein ogen (Lage plan c) sein. Dazu wird jeweils ein Pol o frei gewählt. Die dadurch entstehenden Strahlen S - S 4 werden in den Lageplan parallel übertragen. Die Verlängerungen des ersten und letzten Segments im Lageplan schneiden sich in einem Punkt, durch den auch die Resultierende verlaufen muss. Dies ist jeweils eine von unendlich vielen möglichen Lösungen. Die Lage der Resultierenden bleibt aber immer gleich. Lageplan a) Kräfteplan a) Lageplan b) Kräfteplan b) Lageplan c) Kräfteplan c)

7 4 elastungsarten S. / Wir unterscheiden drei verschiedene Lastarten: die Punktlast (z.. Stützen), die Linienlast (z.. Wände) und die lächenlast (z.. Schnee). Um anhand der ezeichnung zu erkennen, um welche rt der elastung es sich handelt, werden Punktlasten in Grossbuchstaben, Linienlasten in Kleinbuchstaben und lächenlasten in Kleinbuchstaben mit Überstrich angegeben. _ lächenlast s Einheit: [kn/m ] Linienlast s Einheit: [kn/m] Punktlast Einheit: [kn] _ s s Umrechnung verschiedener Lastarten _ lächenlast s Einheit: [kn/m ] Linienlast s Einheit: [kn/m] Punktlast Einheit: [kn] _ s s _ Um aus einer lächenlast s eine Linienlast s entlang der Länge l zu _ erhalten, multipliziert man s mit der reite b. _ s = s * b = s * l [kn/m] = [kn/m ] * [m] [kn] = [kn/m] * [m] _ = s * b* l [kn] = [kn/m ] * [m] * [m] _ Um aus einer lächenlast s eine Punktlast _ zu erhalten, multipliziert man s mit der reite b und der Länge l. Um aus einer Linienlast s eine Punktlast zu erhalten, multipliziert man s mit der Länge l.

8 4 elastungsarten S. / Sicherheitsfaktoren Die elastung ist unterteilt in eine Eigenlast (ständige Last) und eine Nutzlast (veränderliche Last). Während die ständige Last (Dachkonstruktion) relativ genau bestimmt werden kann, bleibt die veränderliche Last (Schnee / Wind / etc.) nur schwer zu bestimmen. Deshalb werden unterschiedliche Sicherheitsfaktoren eingeführt: Sicherheitsfaktor ständige Last γ G =.5 Sicherheitsfaktor veränderliche Last γ =.50 Man unterscheidet zwischen der charakteristischen Kraft (Index k), die nicht mit dem Sicherheitsfaktor multipliziert ist und der Kraft auf emessungsniveau (Index d), bei welcher die Sicherheitsfaktoren eingerechnet sind: Punktlast Linienlast lächenlast Ständige Last G d = G k γ G g d = gk γ G g d = gk γ G Veränderliche Last d = k γ q d = qk γ q d = qk γ

9 5 Parabelkonstruktion - bei verteilter elastung S. / Parabelkonstruktion ei einer Parabel durch die Punkte bis wobei Strecke -4 und 4- gleich groß sind schneiden sich die Tangenten -5 und -5 der Parabel mit der Vertikalen durch Punkt so, dass die Strecke 5- gleich der Strecke -4 ist was wiederum der Stichhöhe f entspricht. Die Parabeltangente im Punkt ist parallel zur Schlusslinie -. Generell gilt, dass das Verhältnis von 8-6 zu 6-7 gleich -7 zu 7- ist. Parabelscheitelpunkt Um den Scheitelpunkt einer Parabel zu konstruieren, kann im Kräfteplan die uflagerreaktion horizontal am Pol gespiegelt werden (d). Da gilt: R / R = l / l, kann die Wirkungslinie von in den Lageplan übertagen werden. Das so definierte Dreieck - -R entspricht einer symmetrischen Parabel, deren Scheitelpunkt sich in der geometrischen Mitte befindet.

10 6 Stützlinie mittels Hilfskonstruktion finden S. / Das eispiel zeigt, wie mithilfe einer Hilfskonstruktion die Stützlinie (Seilform) zwischen zwei Punkten, die die Kräfte bis aufnimmt, ermittelt wird. Zuerst wird die Richtung von R ermittelt. WL R wird parallel durch die zwei uflager verschoben. Nun wird die Hilfskonstruktion ausgehend von WL R konstruiert. Die Ersatz-Schlusslinie SL (zwischen den Punkten und ) wird parallel durch den Pol im Hilfskräfteplan verschoben. Der Schnittpunkt p von SL mit R im Kräfteplan ist konstant, unabhängig von der orm der Stützlinie. Somit kann die Schlusslinie SL parallel durch diesen Punkt in den Kräfteplan verschoben werden. Jeder Punkt auf dieser Linie kann nun als Pol o gewählt und die dazugehörigen Strahlen s bis s 4 können in den Lageplan übertragen werden. Diese ergeben die gesuchte Stützlinie durch die Punkte und.

11 7 Stützlinie ungleichmässiger Lasten mittels Superposition S. / Gesucht wird die Stützlinie die bei gegebener elastung durch die vorgegebenen Punkte, und verläuft (a). Dazu wird das System in zwei bschnitte geteilt: zum einen in den bschnitt mit der Linienlast g L links von Punkt, zum anderen in den bschnitt mit den Linienlasten g und g R rechts davon. Danach wird für jede Seite die Stützlinie ermittelt, die die Resultierende der einseitigen Linienlast aufnehmen kann und durch die drei gegebenen Punkte verläuft (b). Durch das Parallelverschieben der Kräfte R und L im Kräfteplan entsteht in deren Schnittpunkt der neue Pol o (d). Die Verbindungslinien vom Pol o im Kräfte plan zu den nfangs- und Endpunkten der Lastlinie ergeben die uflagerkräfte und. Durch das Parallelverschieben von und vom Kräfte- in den Lageplan erhält man die Tangente, mit der man die Stützlinie für die gegebene elastung konstruieren kann. Verbindet man den Endpunkt der Kraft R L im Kräfteplan mit dem Pol o und überträgt die entstehende Linie in den Lageplan, erhält man die Tangente im vorgegebenen Punkt.

12 8 Stützlinie beliebiger elastungen mittels Teil-Schlusslinie S. / Stützlinien für beliebige Einzellasten können mit Hilfe von Teilschlusslinien ermittelt werden. Zunächst wird jeweils die Resultierende für die elastung zwischen den Punkten und und den Punkten und ermittelt: R L und R R. Die Wirkungslinien der uflagerreaktionen in den Punkten, und sind parallel zu der jeweiligen Resultierenden (a). Nun wird für die beiden Systeme je ein Pol o L und o R frei gewählt, der Kräfteplan gezeichnet, und die entsprechenden Hilfskonstruktionen (orange gezeichnet) werden im Lageplan konstruiert. Die Schlusslinien der beiden Seilpolygone werden durch den jeweiligen Pol im Kräfteplan parallel verschoben und ergeben je einen Schnittpunkt mit der jeweiligen Resultierenden, i L und i R (b). Die Schlusslinien der beiden Systeme zwischen den Punkten und sowie den Punkten und werden gezeichnet und zu den Schlusslinien parallele Linien durch die Punkte i L und i R in den Kräfteplan übertragen. Der Schnittpunkt dieser Linien ist der gesuchte Pol o. Der Kräfteplan wird gezeichnet und das Seilpolygon im Lageplan ausgehend von Punkt konstruiert. Es durchläuft die Punkte und (c).

13 9 Zug- und Druckkräfte bestimmen S. / Zur estimmung der eanspruchungsarten wird das lokale Gleichgewicht eines Knotens in der vorher definierten bleserichtung betrachtet und das zugehörige Polygon gezeichnet. Es ist am einfachsten und am schnellsten, dies bereits während der Konstruktion des Kräfteplans zu tun. Werden die Kräfte am Knoten angesetzt, so gilt: Wirkt die Kraft vom Knoten weg, ist sie eine Zugkraft. Wirkt die Kraft zum Knoten hin, handelt es sich um eine Druckkraft. Lageplan Kräfteplan I II Druck Zug Knoten Druck Zug Knoten Das Resultat wird immer im Lageplan dargestellt. Zugelemente werden mit roter, und auf Druck belastete Elemente mit blauer arbe gekennzeichnet.

14 0 uflager / ls uflager werden die Stellen am Tragwerk bezeichnet, wo es auf anderen auteilen oder dem augrund aufliegt. Je nach uflagerungsart, kann eine unterschiedliche nzahl von uflagerreaktionen entstehen. Diese entstehen durch die unterschiedlichen Möglichkeiten an ewegungen des Tragwerks beim uflager. Verschiebliches uflager (Rollenlager) Ein verschiebliches uflager erlaubt sowohl eine Verdrehung (φ) wie auch eine Verschiebung H des uflagers. ei verschieblichen uflagern kann nur eine Kraft, die senkrecht zur ewegungsebene verläuft, aufgenommen werden. Im llgemeinen ist sie vertikal gerichtet. Darstellung im statischen System estes uflager (Kipplager) Das feste uflager erlaubt zwar eine Verdrehung (φ), aber keine Verschiebung des uflagers. Die uflagerreaktion kann in die zwei Komponenten H und V zerlegt werden. Darstellung im statischen System

15 0 uflager / Starres uflager (Einspannung) ei dem starren uflager ist weder eine Verdrehung (φ) noch eine Verschiebung H des uflagers möglich. ei dieser Einspannung tritt neben der horizontalen und vertikalen uflagerreaktion auch ein Einspannmoment M auf. Darstellung im statischen System Pendelstütze Eine spezielle rt der Lagerung ist die sogenannte Pendelstütze. Sie entspricht derjenigen des beweglichen Lagers. ei Pendelstützen kann nur eine Kraft in Richtung der Pendelstütze aufgenommen werden. Darstellung im statischen System

16 uflagerkräfte S. / llgemeiner all ls allgemeine Regel gilt: Schneiden sich die Wirkungslinie der Resultierenden und die Wirkungslinien der uflagerkräfte im Lageplan in einem Punkt, können die uflagerkräfte mithilfe der Resultierenden direkt grafisch ermittelt werden. Lageplan R Kräfteplan H R V H V Parallel verlaufende Kräfte Ist die Wirkungslinie von R parallel zur Wirkungslinie der uflagerkräfte, lässt sich keine direkte Lösung ermitteln. In diesem alle muss mit einer Hilfskonstruktion (Ersatzsystem) gearbeitet werden. Zuerst wird im Kräfteplan die Kräftelinie ohne uflagerkräfte gezeichnet. Danach wird ein Pol o frei gewählt und die entsprechenden Segmente in den Kräfteplan gezeichnet. Diese Segmente werden nun in den Lageplan übertragen. Gemäss der Regel, dass alle Elemente, die im Kräfteplan ein geschlossenes Polygon erzeugen, sich im Lageplan in einem Punkt schneiden, kann das Hilfspolygon im Lageplan gezeichnet werden. Die dabei gefundene Schlusslinie überträgt man in den Kräfteplan, womit sich die uflagerkräfte und ermitteln lassen. all : Lage der Resultierenden gegeben all : Lage der Resultierenden noch nicht ermittelt R SL Schlusslinie SL Pol frei gewählt Pol frei gewählt o' SL R o' SL

17 Nullstäbe S. / Nullstäbe sind Elemente, die bei einem gegebenem Lastfall keine Kräfte aufweisen. In der Regel können sie aber aus Stabilitätsgründen nicht einfach entfernt werden. Nullstäbe können beim Konstruieren des Kräfteplans durch diejenigen Knoten erkannt werden, an denen sich das lokale Gleichgewicht nicht schliessen lässt. ei gewissen Situationen können Nullstäbe schon vorher identifiziert werden. Dazu gibt es verschiedene Regeln: Regel Unbelasteter Knoten. Treffen zwei Stäbe mit unterschiedlicher Stabrichtung aufeinander, sind sie Nullstäbe Regel Unbelasteter Knoten; drei Stäbe. Liegen zwei Stäbe in gleicher Richtung, ist der dritte Stab ein Nullstab. 0 Regel elasteter Knoten; zwei Stäbe. Greift die elastung in Richtung eines Stabs an, so ist der andere Stab ein Nullstab. 0 0

18 Statische estimmtheit / Die Stabkräfte eines idealen achwerks lassen sich auf einfache Weise rechnerisch oder grafisch ermitteln, wenn das achwerk äußerlich und innerlich statisch bestimmt ist. Äusserlich statisch bestimmt Die äusserliche statische estimmtheit ist eine Kennzahl für statische Systeme und beschreibt, wie viele uflagerkräfte den möglichen ewegungsrichtungen eines Systems gegenüberstehen. Ein System ist äusserlich statisch bestimmt, wenn die nzahl der uflagerreaktionen gleich der nzahl der möglichen ewegungsrichtungen (Gleichgewichtsbedingungen) ist. Da in einem zweidimensionalen System drei ewegungsrichtungen möglich sind (Horizontal, Vertikal, Drehung), benötigt es drei uflagerkräfte, damit das System statisch bestimmt und somit im Gleichgewicht ist. uflagerkräfte (, V, H ) - Gleichgewichtsbedingungen ( V=0, H=0, M=0) 0 = statisch bestimmt Äusserlich statisch unbestimmt Ein System ist äuserlich statisch unbestimmt, wenn die nzahl der uflagerreaktionen die nzahl der möglichen ewegungsrichtungen übersteigt. Es sind somit zu viele uflagerkräfte vorhanden. Der Grad der statischen Unbestimmtheit ist gegeben durch die Differenz zwischen der nzahl uflagerreaktionen und der nzahl ewegungsrichtungen. Die erechnung solcher Systeme erfolgt mit Verfahren, die über die grundlegend geltenden Gleichgewichtsbedingungen hinausgehen. 4 uflagerkräfte ( H, V,, C) - Gleichgewichtsbedingungen ( V=0, H=0, M=0) = -fach statisch unbestimmt

19 Statische estimmtheit / Äusserlich statisch unterbestimmt Ein System ist statisch unterbestimmt, wenn die nzahl der uflagerreaktionen kleiner ist als die nzahl der möglichen ewegungsrichtungen. Es sind somit zu wenig uflagerkräfte vorhanden. Es gibt keine Lösung der Gleichungen. Es kann kein Gleichgewicht herrschen, das System ist instabil. uflagerkräfte (, ) - Gleichgewichtsbedingungen ( V=0, H=0, M=0) - = -fach statisch unterbestimmt Gelenke als zusätzliche Gleichgewichtsbedingung Ein Gelenk kann einer Verdrehung nicht entgegenwirken. us diesem Grund gibt es bei Gelenken eine zusätzliche Gleichgewichtsbedingung (M = 0). Das heisst, bei statischen Systemen kann pro Gelenk eine zusätzliche Gleichgewichtsbedingung eingeführt werden. 4 Support Reactions ( M, V, H, ) - Hinge (M = 0) - Equilibrium Conditions ( V=0, H=0, M=0) 0 = statically determinate

20 Statische estimmtheit / Innerlich statische estimmtheit beim achwerk Ein ebenes. äusserlich bestimmt gelagertes achwerk ist auch innerlich statisch bestimmt, wenn die nzahl der achwerkstäbe der doppelten nzahl der achwerkknoten minus entspricht. Die Zahl steht in dieser Gleichung für die Zahl der Gleichgewichtsbedingungen (entspricht der nzahl der uflagerreaktionen bei äußerlich statisch bestimmter Lagerung). Um ein innerlich statisch bestimmtes achwerk zu erhalten, ist die Dreieckssregel einzuhalten. Viereckige elder führen zu labilen Systemen. Die Stabkräfte von innerlich statisch unbestimmte achwerke lassen sich nicht mehr mit einfachen Mitteln wie der grafischen statik bestimmen. eispiel: Statisch unbestimmtes achwerk (innerlich unbestimmtes, äußerlich bestimmtes statisches System) Die Einführung des zusätzlichen Stabes verletzt das ildungsgesetz. Das achwerk ist damit unbestimmt. eispiel: Instabiles (labiles) achwerk Vierecksmaschen führen zu labilen Systemen, auch wenn die edingungen für die innere statische estimmtheit eingehalten sind. Ermittlung der statischen estimmtheit von ebenen achwerken: S = nzahl der Stäbe K = nzahl der Knoten S = K = statisch bestimmt S < K = instabil (unterbestimmt) S > K = statisch unbestimmt (überbestimmt) Ermittlung der inneren statischen estimmtheit von räumlichen achwerken S = K 6 = statisch bestimmt

21 4 Überschneidende Stäbe S. / ei den meisten Situationen in der grafischen Statik gibt es pro Stabelement im Lageplan ein entsprechendes Element im Kräfteplan. Dies ist der all, wenn keine überschneidende Stäbe im Lageplan vorkommen. Überschneiden oder überlagern sich einzelne Stäbe im Lageplan (im eispiel unten die Stäbe 4 und 5), müssen diese im Kräfteplan doppelt gezeichnet werden, damit geschlossene Kräftepolygone entstehen. Lageplan Stab 4 und 5 überschneiden sich 4 5 Kräfteplan Stab 4 und 5 kommen doppelt vor

22 5 Umlenken von Kräften S. / Um bei alken, Rahmen oder Wandscheiben mögliche, notwendige Umlenkungen der inneren Kräfte zu entwickeln, ist es zweckmäßig, vom direkten Kräfteverlauf (Stützlinie / ogentragwerk) auszugehen. Diese Stützlinie befindet sich dann meist ausserhalb des Materials. ür die Umlenkung müssen nebst den inneren Druckkräften auch innere Zugkräfte erzeugt werden. Mit Hilfe dieser Zugkräfte wird die Drucklinie so umgelenkt, dass sie im Inneren des Materials verbleiben kann. Die einfachste rt einer Umlenkung ist die Entwicklung eines Rahmenelements, bestehend aus zwei Kragarmen und einer Rahmenecke. Die unten dargestellte Umlenkung kann sinngemäß sowohl für Druck- als auch für Zugstreben angewendet werden.