Kapitel 10. (Mehrstufige) Schaltkreise. Übersicht. é Technologien é Definition, Kosten é Semantik von kombinatorischen Schaltkreisen, Simulation

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1 Kapitel 0 (Mehrstufige) Schaltkreise Bernd Becker Technische Informatik I Übersicht é Technologien é Definition, Kosten é Semantik von kombinatorischen Schaltkreisen, Simulation é Teilschaltkreise, Hierarchischer Entwurf é Beispiele BB TI I 0/2

2 Verfügbare Technologien Zur Auswahl stehende Technologien é Nurlesespeicher é ead Only Memory (OM) é Programmable OM (POM) é Erasable POM (EPOM),... é Zweistufige ealisierungen é Progr. Logische Felder (PLA) é Mehrstufige ealisierungen é Gate-Arrays - und Sea-of-Gates Entwurf é Field Programmable Logic Arrays (FPGA) Konkurrierende Optimierungsziele é belegte Fläche é Ausbeute é benötigte eaktionszeiten é Korrektheit des Gesamtsystems é Testbarkeit é Korrektheit des verkauften Chips é Leistungsverbrauch é neue Märkte (Notebooks,...) é Entwicklungszeit und -kosten é time-to-market é Wirtschaftskraft der Kunden BB TI I 0/3 Programmierbare Logische Felder (PLA) Zweistufige Darstellung zur ealisierung von Booleschen Polynomen f i = m i +m i m ik mit m iq aus {m,...,m s } AND-Feld m m 2 m j m s Enthält Monom m j k Literale, so werden k Transistoren in der entsprechenden Zeile des AND-Feldes benötigt. Besteht die Beschreibung von Funktion f t aus p Monomen, so benötigt man p Transistoren in der entsprechenden Spalte des O-Feldes. x x 2 x n f f 2 f m O-Feld Fläche: ~ (m+2n)x(anzahl_der_benötigten_monome) Laufzeit: ~konstante Laufzeit (ohne die Kapazitäten zu berücksichtigen) 2

3 Mehrstufige ealisierungen: Gate-Array- und Sea-of-Gates-Entwürfe Ein/ Ausgabepads Verdrahtungskanäle Grundzellen Gate-Array Master Sea-of-Gates Master Halbkundenspezifischer Entwurf Grundzellen sind kundenunabhängig vorgefertigt, Grundzellen bestehen jeweils aus 4-6 Transistoren Intra-/Interzellenverdrahtung dieser Grundzellen erfolgt kundenabhängig Funktionsblöcke sind in Bibliotheken vorgegeben. Mehrstufige ealisierungen: Field Programmable Logic Arrays (FPGA) FPGA von Xilinx: vertikaler Verdrahtungskanal } CLB CLB CLB CLB CLB CLB CLB CLB CLB CLB CLB CLB } programmierbare Logikblöcke horizontaler Verdrahtungskanal Switch Matrizen 3

4 FPGA-Logikblöcke Multiplexer basierte Blöcke:... besteht aus 32 SAM-Speicherzellen; realisiert Funktion mit 5 Eingängen 2 Funktionen mit 4 Eingängen SAM basierte Blöcke:. 0 mux 0 mux 0 mux or Funktionstabelle Kombinatorik FF FF (Actel Act- Funktionsblock) (Skizze des Xilinx 3000 Blocks) Neuere Xilinx Funktionsblöcke programmierbare Funktionstabelle Data in A B C D E Kombinatorische Logik m u x m u x D Q D Q programmierbare Multiplexer x y enable clock Vcc clock reset Gnd global reset O CLB XC3000-Familie 4

5 Vergleich der ealisierungsarten PLA OM Vollkundenspezifische ICs Gate-array-, Sea-of-Gates FPGA Entwicklung billig sehr teuer mittel mittel Herstellung mittel teuer mittel sehr billig Komplexität schlecht sehr hoch mittel mittel/schlecht Laufzeiten schnell sehr schnell mittel mittel BB TI I 0/9 Ein Schaltkreismodell é Idee: gerichteter Graph mit einigen zusätzlichen Eigenschaften BB TI I 0/0 5

6 Zur Erinnerung é G = (V,E) ist ein gerichteter Graph, genau dann, wenn é V endliche nichtleere Menge ( Knoten ) é E endliche Menge ( Kanten ) é Auf E sind Abbildungen Q,Z: E V definiert (Q(e) heißt Quelle, Z(e) Ziel einer Kante e) é Ein Pfad (der Länge k) in G ist eine Folge von k Kanten e, e 2,..., e k (k 0) mit Z(e i ) = Q(e i+ ) i mit n- i Z(e ) heißt Quelle, Q(e k ) Ziel des Pfades é G heißt zykelfrei, falls kein Pfad der Länge in G existiert, bei dem Ziel und Quelle identisch sind. é Die Graph-Tiefe eines zykelfreien Graphen ist definiert als die Länge des längsten Pfades in G BB TI I 0/ Zurück zum Schaltkreismodell é Wir brauchen eine kombinatorische Bibliothek Bib é für alle Elemente b in Bib: d in (b) Eingangsgrad d out (b) Ausgangsgrad d in (b) g b : B din(b) ---> B dout(b) b d out (b) BB TI I 0/2 6

7 Standardbibliothek STD : = {,,, NAND, NO,, EQUIV} BB TI I 0/3 Schaltkreis über Bib é SK = ( X n, G, typ, in, out, Ym ) mit é G=(V,E) zykelfrei é X n : = ( x,..., Y m : = ( y,..., n 0, konstante Signale x y m ) ) PI s PO s ({0,} X Y ) V n m BB TI I 0/4 7

8 Schaltkreise über Bib (ff) é I : = V \ ({0,} I = S M S M = ø X n Y m ) innere Knoten Signalknoten Modulknoten s : indeg( s) = typ : M Bib é Kanten verbinden Modulknoten, Ports mit Signalknoten, Anordnung der Kanten an den Modulknoten und Ports ist gegeben durch in : V \ S S out : V \ S S * * BB TI I 0/5 Kosten eines Schaltkreises über Bib é C(SK) := Zahl der Modulknoten im Schaltkreis Hardware-Kosten von SK über Bib é depth(sk) := Zahl der Modulknoten auf dem längsten Pfad von einem PI zu einem PO (Schaltkreis-)Tiefe von SK = Maß für die Geschwindigkeit BB TI I 0/6 8

9 Beispiel Übertrag (in) A B & & Summe O Übertrag (out) BB TI I 0/7 Semantik von Schaltkreisen Jedem Schaltkreis kann eine Boolesche Funktion zugeordnet werden. Betrachte dazu ein α B n mit α = (α,...,α n ). Dann ist die Einsetzung von α Φ α : X n S Y m B folgendermaßen induktiv definiert: é Φ α (x i ) = α i é Φ α (s) = Φ α (x i ) für Ausgangssignal s von PI x i é Φ α (0) = 0 é Φ α () = é (Φ α (t ),..., Φ α (t l )) := g typ(m) (Φ α (s ),..., Φ α (s k )) é Φ α (y i ) = Φ α (s) für Eingangssignal s von PO y i BB TI I 0/8 9

10 Semantik von Schaltkreisen (ff) Die Berechnung von Φ α heißt auch Simulation von SK für Belegung α. BB TI I 0/9 Semantik von Schaltkreisen (ff) é Die an einem Signal s (PI x i, PO y i ) berechnete Boolesche Funktion Ψ(s) ist definiert durch Ψ(s)(α) := Φ α (s) für ein beliebiges α B n mit α = (α,...,α n ). é Die durch den Schaltkreis berechnete Funktion ist f SK := (Ψ(y ),..., Ψ(y m ) ) BB TI I 0/20 0

11 Symbolische Simulation Symbolische Simulation benutzt zur Simulation eines Schaltkreises keine festen Booleschen Werte an den Inputs, sondern Boolesche Variablen. Es wird dann zu jedem Signal die Boolesche Funktion, z.b. in Form eines Booleschen Ausdruchs oder eines BDDs, bestimmt, die das Signal berechnet. BB TI I 0/2 Beispiel x x u x w x x 2 x 2 y x 2 x 2 v z x x 2 x x2 + x x2 BB TI I 0/22

12 Teilschaltkreise, hierarchischer Entwurf Illustration eines Teilschaltkreises: x x 2 u w y u w v z y x 3 v z Definition: x r n Seien SK = (, G, typ, in, out, ), SK = ( x r n, G, typ, in, out, y r ' ) zwei Schaltkreise. ' n SK heißt Teilschaltkreis von SK, falls gilt: r r. injektive Abb. ϕ : V \ x y V ( ) ' ( 0) = 0', ϕ( ) ' ( ) = typ' ( ϕ( m) ) m M (insbesondereϕ( m) M' ) ( in ( m) ) = in' ( ϕ( m ) m M ( out ( m) ) = out' ( ϕ( m) ) m M ( s... s ): = ( ϕ( s )... ϕ( s )) für ( s... s ) * n m 2. ϕ = 3. typ m 4. ϕ ϕ ϕ k k k S y r n 2

13 Hierarchische Schaltkreise In hierarchischen Schaltkreisen sind Teilschaltkreise durch Symbole ersetzt. Den zugehörigen (flachen) Schaltkreis erhält man, indem man die Symbole durch Einsetzen der Teilschaltkreise wieder entfernt. BB TI I 0/25 Illustration eines hierarchischen Schaltkreises x x 2 x 3 EXO EXO BB TI I 0/26 3

14 Satz Sei f B n,m. Dann gibt es einen Schaltkreis, der f berechnet. Beweis folgt. BB TI I 0/27 Lemma Zu jedem Booleschen Ausdruck e BE(X n ) gibt es einen Schaltkreis SK = (, G, typ, in, out, ), x r n ( ) SK so dass ψ e = f. y r n Beweis: Induktion über die Struktur des BE. BB TI I 0/28 4

15 Beweis zum Satz:.Fall: f B n. e BE(X n ), der f berechnet. aus vorigem Lemma folgt der Satz 2.Fall: f B n,m, m 2. Fasse f : B n B m als Folge von Funktionen (f,..., f m ) mit f i : B n B auf. Konstruiere für jedes f i einen SK, der f i berechnet. Setze zusammen. (siehe folgende Abb.) BB TI I 0/29 Abbildung x x 2... x n f f 2... f n BB TI I 0/30 5

16 Assoziativität Aufgabe: ealisiere die Funktion unter Verwendung von x möglichst geringer Tiefe.... x n -Gattern mit 2 Eingängen mit Lösung: Benutze Assoziativität von Balancierte Bäume BB TI I 0/3 Beispiel zur Assoziativität x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 (( x x ) x ) ) 2 3 x4 (( x x ) ( x )) 2 3 x4 6

17 Definition Ein (Out-)Baum ist ein gerichteter, zykelfreier Graph G=(V,E) mit é outdeg(v) v V é Es existiert genau ein v mit outdeg(v) = 0, die Wurzel Die Quellen eines (Out-)Baumes sind die Knoten v mit indeg(v)=0, sie heißen Blätter. BB TI I 0/33 Abbildung eines (Out-)Baumes Bemerkung: Analog zum (Out)-Baum kann man (In-)Baum definieren Dreht man die Orientierung im Beispiel um, erhält man einen (In-)Baum. BB TI I 0/34 7

18 Definition Ein (Out-)Baum heißt binär, falls indeg(v) = 2 v, die keine Blätter sind. BB TI I 0/35 Abbildung eines Binärbaumes: Tiefe 3 Tiefe 2 BB TI I 0/36 8

19 Lemma n N gibt es einen binären Baum B n mit n Blättern und Tiefe log 2 (n). Beweis: Induktion über n. BB TI I 0/37 Lemma Die Funktion x... x n unter Verwendung von kann -Gattern mit 2 Eingängen Durch einen Schaltkreis der Tiefe log 2 (n) realisiert werden. BB TI I 0/38 9

20 Fazit: BEs, BDDs, Schaltkreise é Definiert man die Kosten eines BEs durch die Zahl der Operationen, so folgt aus dem Beweis des Satzes, dass es zu jdem BE einen Schaltkreis gibt, dessen Kosten höchstens gleich groß sind. Durch Wiederverwendung von Teilschaltkreisen können die Kosten reduziert werden. é Die Kosten einer Schaltkreisrealisierung für beliebiges f kann mit dem Satz durch n +n2 n, die Tiefe durch n+ log 2 (n) + abgeschätzt werden. é BDDs sind spezielle Schaltkreise, die den Vorteil der Kanonizität bieten und trotzdem noch effiziente Operationen und oftmals kleine epräsentationen ermöglichen. BB TI I 0/39 20