Eine mathematische Reise ins Unendliche. Peter Koepke Universität Bonn

Transkript

1 Eine mathematische Reise ins Unendliche Peter Koepke Universität Bonn

2 Treffen sich die Schienen im Unendlichen? Gibt es unendlich ferne Punkte? Gibt es unendliche Zahlen?

3 1 Antwort: Nein!

4 , so prostestire ich zuvörderst gegen den Gebrauch einer unendlichen Grösse als einer Vollendeten, welcher in der Mathematik niemals erlaubt ist Das Unendliche ist nur eine Façon de parler, indem man eigentlich von Grenzen spricht, Carl Friedrich Gauß, 1831

5 Die Welt der endlichen Objekte

6 Die Welt der endlichen Objekte

7 Die Welt der endlichen Objekte

8 Die Welt der endlichen Objekte?

9 Zahlen

10 Zahlen 1: 2: 3: 4:

11 Zahlen 1: 2: 3: 4:

12 Große Zahlen

13 Große Zahlen 8 Gigabyte = Byte Produkt mit 30 Faktoren

14 Große Zahlen 8 Gigabyte = Byte = Byte

15 Große Zahlen 8 Gigabyte = Byte = Byte = Bit

16 Große Zahlen 8 Gigabyte = Byte = Byte = Bit Produkt mit 36 Faktoren

17 Große Zahlen Der 8 Gigabyte USB-Stick hat 2 36 = Speicherzellen

18 Große Zahlen Speicherzellen

19 Große Zahlen Speicherzellen Anzahl der möglichen Speicherinhalte: Produkt mit 2 36 Faktoren

20 Große Zahlen Der 8 Gigabyte USB-Stick hat (2 36 ) 2 = mögliche Speicherinhalte

21 Große Zahlen Der 8 Gigabyte USB-Stick hat (2 36 ) 2 = mögliche Speicherinhalte Zum Vergleich: es gibt ca 2 33 Menschen; es gibt < Elementarteilchen im Universum

22 Große Zahlen Die Menge der 2 36 Speicherelemente hat (2 36 ) 2 = Teilmengen

23 Große Zahlen Die Menge der 2 36 Speicherelemente hat (2 36 ) 2 = Menge Teilmengen Teilmenge

24 Treffen sich die Schienen im Unendlichen? Gibt es unendlich ferne Punkte? Gibt es unendliche Zahlen?

25 2 Antwort: Ja!

26 Eine Menge kann aus einer natürlichen Zahl von Dingen bestehen oder nicht; je nachdem heißt sie endlich oder unendlich Beispiele sind einerseits die Menge der Einwohner einer Stadt, [], andererseits die Menge aller natürlichen Zahlen Felix Hausdorff, 1927

27 Endliche und unendliche Anzahlen 1: 2:

28 Endliche und unendliche Anzahlen 1: 2: א

29 Endliche und unendliche Anzahlen 1: 2: Aleph-null (Cantor) א

30 Rechnen mit א

31 Rechnen mit א 0 2 x 4 =?

32 Rechnen mit א 0 2 x 4 =?

33 Rechnen mit א 0 2 x 4 =?

34 Rechnen mit א 0 2 x 4 =

35 Rechnen mit א 0 א x א =?

36 Rechnen mit א 0 א x א =?

37 Rechnen mit א 0 א x א =?

38 Rechnen mit א 0 א x א =?

39 Rechnen mit א 0 א x א =?

40 Rechnen mit א 0 א x א =?

41 Rechnen mit א 0 א x א =?

42 Rechnen mit א 0 א x א =?

43 Rechnen mit א 0 א x א =?

44 Rechnen mit א 0 א x א = א

45 Endliche und unendliche Anzahlen א

46 Endliche und unendliche Anzahlen א ???

47 Satz von Cantor, X > X

48 Satz von Cantor, X > X Die Anzahl der Teilmengen von X ist größer als die Anzahl der Elemente von X

49 X c c a a b b

50 X Elemente Teilmengen c c a a b b

51 X Elemente Teilmengen c c a a b b

52 X Elemente Teilmengen c c a a b b

53 Der Beweis von 2 X >X X d c b a a b c d X

54 Der Beweis von 2 X >X X d c b a Angenommen es wäre 2 X =X: a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d X

55 d c b a Diese Zeile steht für die Teilmenge {a,c,} der grünen Elemente a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d

56 d c b a Diese Zeile steht für die Teilmenge {b,} der grünen Elemente a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d

57 d c b a Diese Zeile steht für die Teilmenge {b,c,d,} der grünen Elemente a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d

58 d c b a a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d

59 a b c d ist die Diagonale d c b a a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d

60 a b c d ist die Diagonale a b c d ist die negative Diagonale d c b a a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d

61 a b c d ist die Diagonale a b c d ist die negative Diagonale d c b a a b c d a b c d a b c d a b c d Die negative Diagonale unterscheidet sich von jeder Zeile des Schemas a b c d

62 a b c d ist die Diagonale a b c d ist die negative Diagonale d c b a a b c d a b c d a b c d a b c d Die negative Diagonale unterscheidet sich von jeder Zeile des Schemas a b c d

63 a b c d ist die Diagonale a b c d ist die negative Diagonale d c b a a b c d a b c d a b c d a b c d Die negative Diagonale unterscheidet sich von jeder Zeile des Schemas a b c d

64 a b c d ist die Diagonale a b c d ist die negative Diagonale d c b a a b c d a b c d a b c d a b c d Die negative Diagonale unterscheidet sich von jeder Zeile des Schemas a b c d

65 a b c d ist die Diagonale a b c d ist die negative Diagonale d c b a a b c d a b c d a b c d a b c d Die negative Diagonale unterscheidet sich von jeder Zeile des Schemas a b c d

66 a b c d ist die Diagonale a b c d ist die negative Diagonale d c b a Die negative Diagonale kommt nicht in dem Schema vor; es gibt keine vollständige Zuordnung zwischen den Elementen und den Teilmengen von X a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d

67 a b c d ist die Diagonale a b c d ist die negative Diagonale d c b a Die negative Diagonale kommt nicht in dem Schema vor; es gibt keine vollständige Zuordnung zwischen den Elementen und den Teilmengen von X a b c d Also ist 2 X > X a b c d a b c d a b c d a b c d

68 a b c d ist die Diagonale a b c d ist die negative Diagonale d c b Die negative Diagonale kommt nicht in dem Schema vor; es gibt keine vollständige Zuordnung zwischen den Elementen und den Teilmengen von X a b c d Also ist 2 X > X a b c d a b c d a א und 2 0 > a b c d a b c d א 0

69 Endliche und unendliche Anzahlen א ???

70 Endliche und unendliche Anzahlen א א 2 0

71 Endliche und unendliche Anzahlen א א ist die Anzahl der Punkte auf einer Geraden:

72 Endliche und unendliche Anzahlen 1,2,3,, א, א, א, ist die Folge der Cantorschen Kardinalzahlzahlen

73 Endliche und unendliche Anzahlen 1,2,3,, א, א, א, ist die Folge der Cantorschen Kardinalzahlzahlen Georg Cantor vermutete: א 2 0 = א 1

74 Die Unentscheidbarkeit der Cantorschen Vermutung Paul Cohen konstruierte 1963 zwei Strukturen, in den die Gesetze der Mengenlehre gelten In der א ersten gilt 2 0 = א 1 א in der zweiten gilt 2 0 = א 2

75 Das Unendliche kann teilweise mathematisch untersucht werden Viele Fragen werden aber - mathematisch beweisbar - für immer ungeklärt bleiben

76 Vielen Dank für Ihr Interesse Ihnen allen eine gute (Wissenschafts-)Nacht