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1 G n vielen Fällen wird die Kreditrisikomessung mit unterschiedlichen Portfoliomodellen für das Eigen- und das Kundengeschäft durchgeführt. Das durch geringe Stückzahlen und hohe Volumina charakterisierte Eigengeschäft wird typischerweise durch Simulationsmodelle wie CreditMetrics TM bewertet. Im Kundengeschäft hingegen überwiegen große Stückzahlen mit kleinen Volumina. Dies legt die Verwendung von schnellen (analytischen) Modellen wie beispielsweise CreditRisk+ TM [vgl. Credit Suisse 1997] nahe.

2 Simulationsmodelle weisen klassischerweise Performancenachteile gegenüber analytischen Verfahren auf. Aufgrund der geringen Stückzahl sind diese im Eigengeschäft von etwas geringerer Bedeutung. Stattdessen überwiegt die größere Flexibilität, die diese Modelle mitbringen. So ermöglichen diese einerseits eine hohe Messgenauigkeit sowie eine gemeinsame Risikomessung von Adressenausfall-, Migrations- und Spreadrisiko (zur Umsetzung des Spreadrisikos im Simulationsmodell von CreditMetrics TM [vgl. Bünte et al. 2009]), die auf die Charakteristika des zu bewertenden Portfolios abgestimmt ist. Insbesondere die Integration von Migrations- und Spreadrisiko ist für das Eigengeschäft von hoher Relevanz, da selten direkte Ausfälle zu beobachten sind, sondern Portfolioverluste aufgrund von Verschlechterungen der Bonität sowie der Ausweitung von Credit Spreads auftreten. Im Kundengeschäft werden dagegen häufig analytische Modelle eingesetzt, um deren Vorteil der hohen Performance zu nutzen. Erkauft wird dies allerdings typischerweise mit einer geringeren Flexibilität dieser Modelle hinsichtlich der Abbildung von Korrelationen sowie von Migrations- und Verwertungsrisiken. Weiterhin bewirkt diese Aufteilung eine getrennte Messung der Kunden- und Eigengeschäfte, wobei in der Regel die ermittelten Risikobeträge addiert werden. Dieser Beitrag beschäftigt sich mit der Möglichkeit, mittels einer erweiterten Version von CreditMetrics TM [vgl. Gupton et al 1997] die wesentlichen Komponenten des Kreditrisikos, unter denen das Adressenausfall-, das Migrationsrisiko, das Verwertungsrisiko und das Spreadrisiko subsumiert werden, sowohl für das Eigen- als auch das Kundengeschäft in einem Modell performant zu berechnen. Durch die gemeinsame Messung sämtlicher Risikokomponenten wird eine adäquate Abbildung der Diversifikationseffekte zwischen den Portfolien gewährleistet. Zudem wird mittels Performance steigernder Maßnahmen ein Schwachpunkt von Simulationsmodellen, die teilweise hohe Rechenzeit, deutlich relativiert. Zur Performancesteigerung werden die Methoden der Large Homogeneous-Portfolio-(LHP)-Approximation und des Importance Samplings eingesetzt. Diese werden nachfolgend beschrieben. Aus didaktischen Gründen wird die Methodik der LHP auf Basis des Ausfallmodus von CreditMetrics TM beschrieben. Diese Vorgehensweise kann ebenfalls auf den Mark-to- Modell-Modus angewendet werden. Zur Verdeutlichung des Effekts der Erweiterungen werden an einem realitätsnahen Portfolio Proberechnungen durchgeführt und die resultierenden Effekte auf die Performance und den Risikokapitalbedarf dargestellt. Die Methodik der LHP-Approximation wurde speziell für das Kundengeschäft entwickelt. Hierbei werden Kredite unterhalb einer vorgegebenen Betragsschwelle als klein angesehen. Jeweils gleichartige kleine Kredite werden zu homogenen Clustern zusammengefasst. In der klassischen CreditMetrics TM -Simulation werden in einem Simulationslauf zunächst die systematischen Risikotreiber simuliert. Abhängig von diesen ändert sich dann die Ausfallwahrscheinlichkeit. Auf Basis der adjustierten Ausfallwahrscheinlichkeit fällt ein Kreditnehmer in einem Simulationslauf aus oder verbleibt im Lebendstatus. Es wird somit eine 0/1-Sicht modelliert. Diese Vorgehensweise kann nicht auf die einzelnen Cluster übertragen werden, da hierdurch ein in Wahrheit nicht vorhandenes Klumpenrisiko unterstellt würde. In der LHP-Approximation wird dagegen entsprechend dem Gesetz der großen Zahlen simuliert, dass genau der Anteil ausfällt, der durch die geänderte Ausfallwahrscheinlichkeit gegeben ist. Im klassischen CreditMetrics TM wird in jedem Simulationslauf zwecks Ermittlung ausgefallener Positionen anhand der Ausprägungen der systematischen und unsystematischen Risikofaktoren überprüft, ob der Firmenwertindikator unterhalb der durch die PD bedingten Ausschwelle D i liegt. Für das Ausfallereignis eines Kreditnehmers i gilt dabei: mit folgenden Werten: i : Branchengewicht von Kreditnehmer i x: Systematischer standardnormalverteilter Risikofaktor für Kreditnehmer i (z. B. Branche). : Indikator für das unsystematische Risiko von Kreditnehmer i (standard-normalverteilt) Innerhalb der Cluster wird auf die Simulation der unsystematischen Risikofaktoren verzichtet. Stattdessen wird in jedem Simulationslauf eine sogenannte bedingte PD ermittelt. Der Begriff bedingte PD wird hierbei verwendet, da die Ausfallwahrscheinlichkeit abhängig vom Wert des systematischen Risikofaktors ermittelt wird. Sie ergibt sich pro Cluster aus dem simulierten Wert x des Risikofaktors sowie der PD der jeweiligen Ratingklasse. Da x im Simulationslauf bekannt ist, kann die bedingte PD gemäß t berechnet werden. Der Verlust in einem Simulationslauf entspricht nun dem Produkt aus Nettoexposure und bedingter PD. Unter Nettoexposure wird der Verlust im Ausfall verstanden, also beispielsweise das Kundenobligo multipliziert mit der LGD. Aus Gründen der Einfachheit der Darstellung werden an dieser Stelle weder Migrations- noch Verwertungsrisiko betrachtet. Beide Risikoausprägungen sind auf direkte Weise in die beschriebene Vorgehensweise integrierbar. Ein wesentlicher Einflussfaktor für die mittels LHP realisierbare Performance- Steigerung wird durch die Betragsschwelle für kleine Kredite bestimmt. Je höher diese Schwelle ist, desto weniger Kreditnehmer werden einzeln simuliert und desto schneller läuft die Simulation. Die Auswirkungen auf die Genauigkeit werden in einem späteren Abschnitt des Beitrags betrachtet. t Die oben vorgestellte Technik LHP-Approximation bewirkt eine deutliche Performance- Verbesserung im Kundengeschäft. Im Eigengeschäft sind dagegen die Möglichkeiten zur Zusammenfassung von Positionen recht begrenzt, sodass hier eine andere Technik, das Importance Sampling, eingesetzt wird. Dieses setzt auf der Beobachtung auf, dass bei der einfachen Monte-Carlo-Simu-

3 lation nur ein kleiner Teil der simulierten Szenarien höhere Werte als den Value at Risk liefert. Um eine stabile Risikogröße und stabile Risikobeiträge zu erhalten, muss daher eine hohe Anzahl von Simulationen verwendet werden, beispielsweise fünf Millionen Simulationen. Diese Situation kann verbessert werden, indem die Verteilung der simulierten Szenarien verschoben wird und bewusst deutlich schlechtere und damit für die Risikomessung relevante Szenarien simuliert werden. Bei der Auswertung der Verteilung, das heißt bei der Berechnung der Risikokennzahlen, muss der Effekt der Verschiebung der Verteilung wieder herausgerechnet werden. Hierzu wird jedes simulierte Szenario mit einem Faktor gewichtet. Dieser Faktor, Likelihood-Ratio (LR) genannt, entspricht gerade dem Verhältnis der unverzerrten Eintrittswahrscheinlichkeit des Szenarios (das heißt der Eintrittswahrscheinlichkeit in der einfachen Monte- t Berechnung der Likelihood-Ratio als Quotient der Dichtefunktionen zweier multivariater Normalverteilungen. z entspricht dem Vektor der simulierten Zufallszahlen, den vorgegebenen Korrelationen sowie und den im Importance Sampling verwendeten Mittelwerten bzw. Kovarianzen der Risikofaktoren. Auswirkungen verschiedener Betragsschwellen auf die Performance und die Genauigkeit der Risikomessung. Unterschätzung 2,00% 1,50% 1,00% 0,50% LHP: Performance und Genauigkeit xxx : Betragsschwelle für kleine Kredite ,00% 1,00 3,00 5,00 7,00 9,00 11,00 13,00 15,00 17,00 Performance-Steigerung t Die Zahlen innerhalb der Grafik, beispielsweise Euro, bezeichnen die Exposure- Schwellen. Auf der x-achse ist der Performance-Faktor angegeben, wobei 1 keiner Steigerung entspricht. Bei einer Schwelle von Euro entspricht die Performance-Steigerung dem Wert 10, das heißt die Berechnung benötigt ein Zehntel der Zeit. Auf der y-achse ist die Höhe der Unterschätzung abzulesen. Bei einer Schwelle von Euro wird die Standardabweichung um 0,09 Prozent unterschätzt. Carlo-Simulation ohne Importance Sampling) zu der in der Simulation verwendeten Wahrscheinlichkeit. Anschaulich gesprochen, muss man, wenn man einen gezinkten Würfel mit zwei Sechsen verwendet, die Anzahl der gewürfelten Sechsen am Ende durch zwei teilen, um zu einem unverfälschten Ergebnis zu kommen. Werden die in CreditMetrics eigentlich standardnormalverteilten Risikofaktoren mittels einer nicht standardisierten Normalverteilung simuliert, so ergibt sich als Likelihood-Ratio gerade das Verhältnis der beiden Dichtefunktionen. Dies entspricht dem in t dargestellten Wert. Die Parameter und sind abhängig vom Portfolio angemessen zu bestimmen. Je geschickter dies geschieht, desto kleiner wird der Simulationsfehler bei einer festen Simulationsanzahl. Durch die Verschiebung der Verteilung kann die Anzahl der notwendigen Simulationen deutlich reduziert werden. So konnte bei den nachfolgend dargestellten Beispielrechnungen durch Importance Sampling die Anzahl der nötigen Simulationsläufe auf etwa ein Fünfzigstel gesenkt werden, bei gleicher Güte der erzielten Ergebnisse. Der vorgestellte Ansatz zur Performance Steigerung mittels LHP und Importance Sampling wurde auf einem realitätsnahen Portfolio hinsichtlich seiner Leistungsfähigkeit getestet. Das betrachtete Portfolio teilt sich in Kunden- und Eigengeschäfte mit jeweils rund fünf Mrd. auf. Die Kundengeschäfte umfassen Positionen und sind zwei verschiedenen Risikosegmenten (Retail und Unternehmen) zugeordnet. Sie werden im Ausfallmodus simuliert. Im Eigengeschäft werden 500 Positionen betrachtet, die drei verschiedenen Risikosegmenten zugeordnet und im Migrationsmodus simuliert werden. Zwecks Abbildung der Migrationsrisiken wird eine realitätsnahe Migrationsmatrix mit 21 Ratingklassen verwendet. Die Korrelationen werden auf einem mittleren Niveau zwischen ausfallbasierten und marktbasierten Schätzungen angenommen, mit deutlich niedrigeren Werten für das Kundengeschäft. In der dargestellten Berechnung wird lediglich auf das Adressenausfall- und das Migrationsrisiko fokussiert. Die Vorgehensweise kann auch auf Verwertungsund Spreadrisiken ausgeweitet werden. Die praktische Auswirkung bei Verwendung der LHP-Approximation ist eine verkürzte Dauer pro Simulationslauf, da weniger idiosynkratrische Risikoindikatoren generiert und zugehörige Risikoanteile ausgewertet werden müssen. Somit bewirkt die LHP eine Laufzeitverringerung bei gleichbleibender Anzahl an Simulationsläufen. In twerden die Abweichungen des CVaR und die Performance-Steigerung in Abhängigkeit von verschiedenen Betragsschwellen für kleine Engagements dargestellt. Beispielsweise ist bei einem Genauigkeitsverlust von unter 0,1 Prozent eine Performance-Steigerung um den Faktor 10 möglich. Als Genauigkeit wird an

4 dieser Stelle die relative Veränderung der Standardabweichung der Verlustverteilung bezeichnet. Beim Importance Sampling wird die Performance-Steigerung dadurch erzielt, dass für eine vorgegebene Genauigkeit der Risikokennzahlen weniger Simulationsläufe benötigt werden. Dies geschieht durch eine bewusste Verzerrung der Simulationsläufe hin zu schlechteren Szenarien. Das Importance Sampling verbessert demzufolge die Laufzeit, indem weniger Simulationsläufe benötigt werden. tund tveranschaulichen das Konvergenzverhalten des CVaR bei der klassischen Simulation sowie der Simulation unter Anwendung des Importance Samplings. Für beide Varianten wird sukzessive die Anzahl der Simulationen erhöht, die für die Risikoberechnung herangezogen werden, und der resultierende CVaR ermittelt. Zudem werden Konfidenzintervalle auf dem Niveau 95 Prozent um den CVaR für beide Verfahren angegeben. Unter Genauigkeit wird im Folgenden die Breite dieses Konfidenzbands im Verhältnis zum CVaR verstanden. Unter Anwendung des Importance Samp ling zeigt sich bereits bei einer Simulations anzahl von rund eine hohe Stabilität des CVaR. Die Breite des Konfidenzbands beträgt hier circa ein Prozent. Bei der klassischen Simulation ohne Im- Konvergenzverhalten des CVaR auf dem Konfidenzniveau 99,9 % in Abhängigkeit von der Anzahl der Simulationsläufe bei klassischer Simulation (schwarz) bzw. mit Importance Sampling (rot). In grau beziehungsweise orange sind die zugehörigen 95 %-Konfidenzbänder eingezeichnet. t Konvergenz der Berechnung des CVaR 99,9% 450 mn 445 mn 440 mn Ohne Importance-Sampling Untere Konfidenzschranke 95% / Schätzwert / Obere Konfidenzschranke 95% 435 mn 430 mn 425 mn 420 mn 415 mn Mit Importance-Sampling Untere Konfidenzschranke 95% / Schätzwert / Obere Konfidenzschranke 95% 410 mn 405 mn 400 mn t Entwicklung der Genauigkeit, d.h. der Breite des Konfidenzbands im Verhältnis zum CVaR, in Abhängigkeit von der Anzahl der Simulationsläufe. Die Genauigkeit von 1 % wird ohne Importance Sampling erst bei 5 Mio. Simulationsläufen erreicht, mit Importance Sampling dagegen bereits bei Simulationsläufen. 5,00% Genauigkeit der CVaR-Berechnung Breite Konfidenzband 4,00% 3,00% 2,00% 1,00% 0,00% Ohne Importance-Sampling Mit Importance-Sampling Anzahl Simulationen

5 Genauigkeit und Laufzeit der verschiedenen Modellvarianten t Vergleich der Risikokennzahlen bei getrennter und integrierter Messung von Kunden- und Eigengeschäft t portance Sampling treten in diesem Bereich noch sehr hohe Schwankungen auf. Eine Breite des Konfidenzbands von einem Prozent wird erst bei rund fünf Millionen Simulationen erreicht. In diesem Beispiel lässt sich die Performance der Simulation also etwa um den Faktor 50 steigern. Die beiden beschriebenen Ansätze können kombiniert werden. Das Konvergenz- Verhalten entspricht dem des Importance- Sampling ohne LHP. In der Laufzeit ergibt sich jedoch eine Multiplikation beider Geschwindigkeitsvorteile. Bei einem Schwellenwert von Euro und dem oben beschriebenen Importance-Sampling ergibt sich bereits nach Simulationen ein CVaR 99,9 Prozent mit einer Genauigkeit von rund einem Prozent. Die Laufzeit beträgt 233 Sekunden statt ca. 32 Stunden; damit ergibt sich eine Steigerung der Performance um einen Faktor von ca. 500 (vgl. t ). Durch die beschriebenen Maßnahmen wird also eine integrierte Berechnung von Kunden- und Eigengeschäftsportfolio erst praktisch durchführbar. Im Folgenden wird die Wirkung dieser integrierten Betrachtung auf den Risikokapitalbedarf zum Konfidenzniveau 99,9 Prozent analysiert. In twerden die Auswirkungen auf die Risikoergebnisse dargestellt. Der Messung der Diversifikation zwischen Kunden- und Eigengeschäft durch die integrierte Messung. Die Prozentzahlen beschreiben, um welchen Anteil das integriert gemessene Risiko niedriger ist als die Summe der Einzelmessungen. t 600 Diversifikationspotenzial zwischen Kunden- und Eigengeschäft % Risiko % CVaR 99% CVaR 99,9% Kundengeschäft Eigengeschäft Gesamt Diversifikation

6 CVaR (99,9 Prozent) im Kundengeschäft beträgt 274 Mio., wobei hier nur Ausfallrisiken betrachtet werden. Der CVaR im Eigengeschäft inklusive Migrationsrisiko beträgt 282 Mio.. Werden beide Risiken addiert, so ergibt sich eine Summe von 556 Mio.. Dagegen liefert die integrierte Messung einen CVaR von 429 Mio., also 23 Prozent weniger. Dieser Sachverhalt wird auch in tveranschaulicht. Die Höhe der festgestellten Diversifikation weist darauf hin, dass die Portfolien integriert betrachtet werden sollten, da bei einer separaten Messung Wechselwirkungen zwischen beiden Portfolien nicht adäquat berücksichtigt werden. q Intensivtraining: OECD Common Reporting Standard am Donnerstag, den 18. September 2014 in Köln Information und Anmeldung: Stefan Lödorf 0221/

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