6.4 Poisson-Verteilung

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1 6.4 Poisson-Verteilung Sei {N t } t T eine Menge von Zufallsvariablen (ein stochastischer Prozeß ) mit folgenden Eigenschaften: V1: Zuwächse sind unabhängig, dh. die Zufallsvariablen N t+h N t und N t N t h sind unabhängig a V2: es ist egal wo wir Zeitintervall betrachten, dh. N t+h und N t haben dieselbe Verteilung V3: Wkt., daß mindestens ein Ereignis in der Zeit h eintritt, z.b. ein Kunde ankommt. p(h) = a h + o(h), a > 0,h 0 V4: Wkt. für 2 Ereignisse in der Zeit h: o(h) 213 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

2 Anmerkung: Zwei Zufallsvariablen X und Y heißen unabhängig, falls A,B B; P(X A,Y B) = P(X A) P(X B) 214 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

3 Frage: Wkt. daß bis zum Zeitpunkt t genau k Ereignisse eintreten? (eingetroffene Kunden, zerfallene Teilchen) P k (t) := P(N t = k), P k (t) = 0 für k < 0 Offenbar: p(h) = k=1 P k (h) 1 = k=0 1Ereignis tritt ein P k (t) 215 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

4 V 3 V 4 P 0 (h) = 1 p(h) = 1 ah + o(h) P k (h) = o(h), (h 0) k=2 216 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

5 1. Schritt: Bestimmen P 0 (t). P 0 (t + h) = P(N t = 0,N t+h N t = 0) = P 0 (t)p(n t+h N t = 0) wegen V1 = P 0 (t)p(n h N 0 = 0) wegen V2 = P 0 (t)p 0 (h) wegen N 0 = 0 = P 0 (t)(1 p(h)) = P 0 (t)(1 ah + o(h)) wegen V4 Nacheinander folgt: P 0 (t + h) P 0 (t) h = P 0 (t)( a + o(h) h ) 217 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

6 P 0(t) = ap 0 (t) P 0 (t) = ce at Wegen P 0 (0) = 1 folgt: c = 1 und P 0 (t) = e at 218 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

7 2. Schritt: Bestimmen P k (t). Zerlegen das Ereignis {N t+h = k} in disjunkte Teilereignisse. {N t+h = k} = {N t = 0,N t+h N t = k} {N t = 1,N t+h N t = k 1} {N t = 2,N t+h N t = k 2}... {N t = k,n t+h N t = 0} 219 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

8 P k (t + h) = = = k P(N t = k j,n t+h N t = j) j=0 k P k j (t)p(n t+h N t = j) }{{} =P(N h N 0 =j) k P k j (t)p j (h) wegen V2 j=0 j=0 = P k (t)p 0 (h) + P k 1 (t)p 1 (h) + wegen V1 k P k j (t)p j (h) j=2 220 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

9 P 1 (h) = P k j (t)p j (h) j=2 Nacheinander folgt: P j (h) j=1 = p(h) + o(h) = ah + o(h) P j (h) j=2 P j (h) = o(h) j=2 wegen V2 P k (t + h) P k (t) = (P 0 (h) 1)P k (t) + P k 1 (t)p 1 (h) + o(h) P k (t + h) P k (t) h = ahp k (t) + ahp k 1 (t) + o(h) = ap k (t) + ap k 1 (t) + o(h) h 221 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

10 P k(t) = ap k (t) + ap k 1 (t), P k (0) = 0 Q k (t) := P k (t)e at Q k(t) = P k(t)e at + P k (t)ae at Q k (t) = eat ( ap k (t) + ap k 1 (t) +ap }{{} k (t)) P k (t) = aq k 1 (t) Q 1(t) = aq 0 (t) = ae at e at = a Q 1 (t) = at Q 2(t) = aq 1 (t) = a 2 t Q 2 (t) = a2 t W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

11 Durch vollständige Induktion: Q k (t) = ak t k k! P k (t) = ak t k e at k! Poisson-Verteilung mit Parameter λ = at. 223 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

12 Programme: Descr_Binomial_neu.sas Descr_Poisson.sas Descr_Geometr.sas Descr_Hypergeom.sas Bem: In den Wahrscheinlichkeiten können Parameter auftreten, die in der Regel unbekannt sind. Die Parameter sind anhand der Beobachtungen (der Daten) zu bestimmen/zu schätzen! Aufgabe der Statistik 224 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

13 7 Charakteristika von Verteilungsfunktionen 7.1 Der Erwartungswert Bsp. Eine Münze wird 3 mal geworfen. Wie oft können wir erwarten, daß Blatt oben liegt? Wie oft wird im Mittel Blatt oben liegen? X : /8 3/8 3/8 1/8 Erwartungswert: = 12 8 = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

14 D.h. bei 10maliger Durchführung des Experiments können wir im Mittel mit 15mal Blatt rechnen. 226 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

15 Def. 19 : Sei X diskrete Zufallsvariable, X : x 1... x n... p 1... p n... EX = i=1 p i x i heißt Erwartungswert von X. 227 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

16 Bsp.: a) X Poisson(λ) X : p 0 p 1 p 2 p 3... p i = λi i! e λ EX = i=0 p i i = i=0 λ i i! e λ i = λ λ i 1 (i 1)! i=1 }{{} e λ e λ = λ. z.b. mittlere Ankunftsrate. 228 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

17 b) X B(n,p) n ( ) n EX = k p k (1 p) n k k k=0 n n! = p (k 1)!(n k)! pk 1 (1 p) n k k=1 = p n = p n = n p. n ( ) n 1 p k 1 (1 p) n k k 1 ( n 1 k=1 n 1 i=0 i ) p i (1 p) n 1 i, k = i W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

18 c) X Geo(p) k... X : p pq pq 2... pq k 1... q = 1 p EX = k=0 x k p k = k=1 kpq k 1 = p k=1 kq k 1 = p (1 q) 2 = 1 p. Beweis des vorletzten Gleichheitszeichens: a) durch vollst. Induktion b) Differenzieren der geometrischen Reihe 230 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin