Teil 2. Vektorrechnung

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1 Teil 2 Vektorrechnung 17

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3 2.1 Koordinaten Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum senkrecht schneidende Zahlengeraden (Achsen), orientiert gemäß der Rechten-Hand-Regel Ü ¹ Å ØØ Ð Ò Ö Ü Ü ½ Ç Ü ¾ Ç Ü ½ ¹ Ü ¾ ¹ ÙÑ Ò Ò Ö unkte, dargestellt durch Koordinaten: X = (x 1, x 2, x 3 ) bzw. = (x, y, z) Kugelkoordinaten z-achse ϑ r O ϕ x-achse y-achse x = r cos ϕ sin ϑ, y = r sin ϕ sin ϑ, z = r cos ϑ bzw. r = x 2 + y 2 + z 2, ϕ = arctan(y/x) + σπ, ϑ = arccos(z/ x 2 + y 2 + z 2 ) mit σ = 0 für x 0 und σ = ±1 für x < 0 Standardbereich ϕ ( π, π] Zylinderkoordinaten 19

4 z-achse O z ϕ x-achse y-achse x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, z = z bzw. ϱ = x 2 + y 2, ϕ = arctan(y/x) + σπ, z = z mit σ = 0 für x 0 und σ = ±1 für x < 0 Standardbereich ϕ ( π, π] Translation eines kartesischen Koordinatensystems Verschiebung des Ursprungs, O O = (p 1, p 2, p 3 ) X = (x 1, x 2, x 3 ) X = (x 1 p 1, x 2 p 2, x 3 p 3 ) x 2 x 2 X =X p 2 O x 1 O p 1 x 1 Rotation eines kartesischen Koordinatensystems Drehung der xy-ebene um die z-achse mit dem Winkel α: = (p 1, p 2, p 3 ) = (p 1, p 2, p 3) mit p 1 = cos α p 1 + sin α p 2, p 2 = sin α p 1 + cos α p 2, p 3 = p 3 20

5 y y p 2 x 1 p 1 p 2 1 α p 1 x 21

6 2.2 Vektoren Vektoren feil vom unkt zum unkt Q a = Q = q 1 p 1 q 2 p 2 q 3 p a a a Q 2 Q 1 Ortsvektor: OA = (a 1, a 2, a 2 ) t, Nullvektor: 0 Addition von Vektoren R = Q + QR Q a b c R c = a ± b = a 1 a 2 a 3 ± b 1 b 2 b 3 = a 1 ± b 1 a 2 ± b 2 a 3 ± b 3 Skalarmultiplikation s a 1 a 2 a 3 = sa 1 sa 2 sa 3 22

7 sa 2 a 2 s a a a 1 sa 1 Betrag eines Vektors a = kompatibel mit Skalarmultiplikation: s a = s a Einheitsvektor: Vektor mit Betrag 1 a a a 2 3 v 0 = v/ v Dreiecksungleichung Gleichheit genau dann, wenn a b a + b a + b a b a + b Rechenregeln für Vektoren Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz a + b = b + a a + ( b + c) = ( a + b) + c s( a + b) = s a + s b 23

8 2.3 Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren γ = ( a, b) [0, π] a ( a, b) b orthogonal: a b γ = π/2 Kosinussatz c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ B a c γ b A γ = π/2 Satz des ythagoras: c 2 = a 2 + b 2 Sinussatz sin α a = sin β b 24 = sin γ c

9 C γ b a A α c β B Skalarprodukt von Vektoren im Raum a b = a b cos ( a, b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a a = a 2, a b = 0 a b übliche Rechenregeln für rodukte a b = b a, (s a + r b) c = s a c + r b c Orthogonale Basis paarweise orthogonale Vektoren u, v, w, jeweils ungleich 0 a w w a a u v a v u Zerlegung eines Vektors in rojektionen auf die Achsen a u a v a w a = 2 u + 2 v + u v w 2 w Vereinfachung (Nenner 1) für Einheitsvektoren (Orthonormalbasis) Satz des ythagoras (allgemeinere Form) a u 2 u 2 + a v 2 v 2 + a w 2 w 2 = a 2 25

10 Satz des ythagoras u v = u + v 2 = u 2 + v 2 26

11 2.4 Vektorprodukt- und Spatprodukt Vektorprodukt c = a b = a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 orthogonal zu a und b, gemäß der Rechten-Hand-Regel orientiert Länge: Flächeninhalt des von a und b aufgespannten arallelogramms c = a b sin( ( a, b)) Mittelfinger c a ( a, b) b Zeigefinger Daumen Regeln für Vektorprodukte a b = a b = 0 a b = a b = a b Antisymmetrie a b = ( b a ) Linearität ( α1 a 1 + α 2 a 2 ) ( β1 b1 + β 2 b2 ) = α 1 β 1 ( a1 b 1 ) + α1 β 2 ( a1 b 2 ) + α2 β 1 ( a2 b 1 ) + α2 β 2 ( a2 b 2 ) Grassmann-Identität Lagrange-Identität ( a b) c = ( a c) b ( b c) a ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( a d)( b c) Epsilon-Tensor ε i,j,k { 1, 0, 1}, i, j, k {1, 2, 3} Null bei zwei gleichen Indizes, positiv bei zyklischer ermutation der kanonischen Indexfolge (i, j, k) = (1, 2, 3), Vorzeichenänderung bei Vertauschung von Indizes. 27

12 Spatprodukt [ a, b, c ] = a ( b c) = a 1 (b 2 c 3 b 3 c 2 ) + a 2 (b 3 c 1 b 1 c 3 ) + a 3 (b 1 c 2 b 2 c 1 ) orientiertes Volumen des von den drei Vektoren a, b, c aufgespannten Spats positiv bei Orientierung der Vektoren gemäß der Rechten-Hand-Regel b c a c b Eigenschaften des Spatprodukts zyklische Vertauschung lineare Abhängigkeit [ a, b, c] = [ b, c, a] = [ c, a, b] [ a, b, c] = 0 0 = α a + β b + γ c mit mindestens einem der Skalare α, β, γ ungleich 0 Orientierung [ a, b, c] > 0 für jedes Rechtssystem Volumen eines Tetraeders aufspannende Vektoren a, b und c V = 1 6 [ a, b, c] Berechnung von Koordinaten mit Hilfe des Spatproduktes d = [ u, v, w] 0 = mit x = α u + β v + γ w α = [ x, v, w]/d, β = [ x, w, u]/d, γ = [ x, u, v]/d 28

13 2.5 Geraden unkt-richtungs-form X = t u x i = p i + tu i u X Zwei-unkte-Form X = t Q x i = p i + t(q i p i ) X Q Q X Momentenform X u = 0 x u = p u X X u u x = OX x u = c O = p O p u = c 29

14 Abstand unkt-gerade rojektion X eines unktes Q auf eine Gerade durch mit Richtung u X = t u, t = ( q p) u u 2 u t u = X X ( q p) u u Q = q p Q O = p OQ = q O Abstand d = XQ = ( q p) u u Abstand zweier Geraden d = [ Q, u, v] u v Geraden gegeben durch unkte, Q und Richtungen u v windschief: d > 0 [ ] Q, u, v v Q Q u Abstand paralleler Geraden d = Q u u 30

15 Berechnung der unkte X, Y kürzesten Abstandes aus den Orthogonalitätsbedingungen x y u, v, x = p + s u, y = q + t v lineares Gleichungssystem für s und t 31

16 2.6 Ebenen arametrische Darstellung einer Ebene X = s u + t v x i = p i + su i + tv i s v X r u O Drei-unkte-Form einer Ebene [ X, Q, R] = 0 = p 1 q 1 r 1 x 1 p 2 q 2 r 2 x 2 p 3 q 3 r 3 x Ê È É 32

17 Hesse-Normalform einer Ebene x n = d, d = p n Ò Ò ½ Ò È Ç Normalform: n = 1 und d 0 ist der Abstand der Ebene zum Ursprung Abstand unkt-ebene Abstand von Q d = Q n n Q Q XQ n X O rojektion von Q x = q ( q p) n n n 2 33

18 Schnitt zweier Ebenen cos ϕ = n 1 n 2 n 1 n 2 [0, π/2] Ò½ Ò¾ Richtung der Schnittgeraden g: u = n 1 n 2 gemeinsame Lösungen beider Ebenengleichungen unkte auf g 34

19 2.7 Quadratische Kurven Ellipse unkte = (x, y) mit konstanter Abstandssumme zu zwei Brennpunkten F ± F + F + = 2a mit 2a > F F + y b r ϕ F a F + x F ± = (±f, 0) Koordinatendarstellung bzw. x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, b2 = a 2 f 2 r 2 b 2 = 1 (f/a) 2 cos 2 ϕ für die olarkoordinaten der unkte arametrisierung x = a cos t, y = b sin t, t [0, 2π) arabel unkte = (x, y) gleichen Abstands von einem Brennpunkt F und einer Leitgerade g y F r ϕ x g 35

20 F = (0, f) und g : y = f Koordinatendarstellung 4fy = x 2 bzw. für die olarkoordinaten der unkte Hyperbel r = 4f sin ϕ cos 2 ϕ unkte = (x, y) mit konstanter Abstandsdifferenz zu zwei Brennpunkten F ± mit 2a < F F + F F + = ±2a y F b r ϕ a F + x F ± = (±f, 0) Koordinatendarstellung bzw. für die olarkoordinaten der unkte arametrisierung x 2 a 2 y2 b 2 = 1, b2 = f 2 a 2 b 2 r 2 = 1 (f/a) 2 cos 2 ϕ x = ±a cosh t, y = b sinh t, t R 36