Grundbegriffe der Informatik Tutorium 3

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1 Grundbegriffe der Informatik Tutorium 3 Tutorium Nr. 32 Philipp Oppermann 9. November 2014 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Outline/Gliederung 1 Zum 2. Übungsblatt 2 Algorithmen 3 Aufgaben Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16

3 Zum 2. Übungsblatt Durchschnitt: 11,2 von 20 Punkten ungefähr die Hälfte hat weniger als 50% der bisheringen Punkte Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16

4 Aufgabe 1 Es sei A ein beliebiges Alphabet. Beweisen Sie unter Verwendung der Definition von Potenzen von Wörtern, der Ergebnisse aus der Vorlesung und der Assoziativität der Konkatenation von Wörtern, dass für alle Zahlen n N 0 und alle Wörter w A gilt: 1 w n w 0 = w n+0 2 w n w 1 = w n+1 3 w n w 2 = w n+2 Rechnen Sie bitte in allen drei Fällen ausführlich! Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16

5 Aufgabe 2 Bei den beiden folgenden Teilaufgaben müssen M und nur die geforderten Eigenschaften haben. Alles andere ist egal. 1 Geben Sie eine Menge M und eine binäre Operation : M M M an, die nicht kommutativ ist. Geben Sie konkrete Werte x, y M an, mit deren Hilfe man belegen kann, dass nicht kommutativ ist. 2 Geben Sie eine Menge M und eine binäre Operation : M M M an, die zwar kommutativ aber nicht assoziativ ist. Geben Sie konkrete Werte x, y, z M an, mit deren Hilfe man belegen kann, dass nicht assoziativ ist. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16

6 Aufgabe 3 Gegeben sei das Alphabet A = {0, 1} und die Abbildung f : A + A +, die wie folgt arbeitet : Aus einem nichtleeren Wort w entsteht f (w), indem man jede 0 in w durch das Wort 01 ersetzt und jede 1 in w durch eine 0. 1 Es sei w 0 = 0. Geben Sie die folgenden Wörter explizit an: w 1 = f (w 0 ) w 2 = f (w 1 ) w 3 = f (w 2 ) w 4 = f (w 3 ) w 5 = f (w 4 ) 2 Geben Sie f (10), f (11) und f (1011) an. 3 Es seien v A + und v A + zwei Wörter. Was können Sie aufgrund der Arbeitsweise von f über den Funktionswert f (vv ) aussagen? 4 Was fällt Ihnen an den Wörtern w 0,..., w 5 auf? 5 Beweisen Sie: Wenn v Anfangsstück des Wortes f (v) ist, dann ist auch f (v) Anfangsstück des Wortes f (f (v)). Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16

7 Aufgabe 4 Es sei M eine beliebige nichtleere Menge und f : M M eine Abbildung auf M. Eine Folge von Teilmengen T n M für n N 0 ist induktiv wie folgt definiert: T 0 = M n N 0 : T n+1 = {f (x) x T n } Wählen Sie M = G 4 = {0, 1, 2, 3}. Geben Sie eine Abbildung f : G 4 G 4 an, bei der alle Mengen T n gleich sind. Geben Sie eine Abbildung f : G 4 G 4 an, bei der nicht alle Mengen T n gleich sind. Geben Sie bitte alle Teilmengen von G 4 an, die vorkommen. Wählen Sie M = N 0 und geben eine Abbildung f an, so dass die Mengen T n für alle n N 0 unendlich groß sind und außerdem gilt: n N 0 : T n+1 T n. Das Zeichen bedeutet, dass T n+1 Teilmenge von T n ist, aber nicht gleich T n ist, also echt kleiner. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16

8 Aufgabe 4 Fortsetzung Es sei M eine beliebige nichtleere Menge und f : M M eine Abbildung auf M. Eine Folge von Teilmengen T n M für n N 0 ist induktiv wie folgt definiert: T 0 = M n N 0 : T n+1 = {f (x) x T n } Angenommen, man weiß schon, dass für eine bestimmte fest Zahl k N 0 gilt, dass T k+1 T k ist. Beweisen Sie, dass dann auch T k+2 T k+1 ist. Angenommen, man weiß schon, dass für eine bestimmte fest Zahl k N 0 gilt, dass T k+1 = T k ist. Beweisen Sie, dass dann auch T k+2 = T k+1 ist. Angenommen M ist eine endliche Menge mit genau k Elementen. Was können Sie über die Menge T k aussagen? Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16

9 Algorithmen geforderte Eigenschaften endliche Beschreibung elementare Anweisungen Determinismus zu endlicher Eingabe wird endliche Ausgabe erzeugt endlich viele Schritte funktioniert für beliebig große Eingaben Nachvollziehbarkeit/Verständlichkeit für jeden (mit der Materie vertrauten) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16

10 div und mod x div y Ergebnis der ganzzahligen Division von x durch y. x mod y Rest der ganzzahligen Division von x durch y. Regeln 0 x mod y < y x = y (x div y) + (x mod y) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16

11 Aufgabe 1 Fülle die Tabelle aus: x x div 4 4(x div 4) x mod 4 Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16

12 Aufgabe 1 Fülle die Tabelle aus: x x div (x div 4) x mod 4 Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16

13 Aufgabe 1 Fülle die Tabelle aus: x x div (x div 4) x mod 4 Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16

14 Aufgabe 1 Fülle die Tabelle aus: x x div (x div 4) x mod Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16

15 Aufgabe 2 //Eingabe x, y N 0 x x + y y x y x x y 1 Berechnen Sie einen Durchlauf mit der Anfangsbelegung x = 3, y = 7 (Tabelle erstellen). 2 Was bewirkt dieses Programmstück? Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16

16 Aufgabe 3 Das Pendel einer badischen Kuckucksuhr macht p volle Pendelschläge (von links nach rechts nach links) an einem Tag. Bei jedem Pendelschlag dreht sich der Sekundenzeiger um 6 Grad im Uhrzeigersinn. Wenn der Sekundenzeiger eine volle Umdrehung (360 Grad) durchgeführt hat, bewegt sich der Minutenzeiger um 6 Grad. Hat der Minutenzeiger eine volle Umdrehung durchgeführt, dreht sich der Stundenzeiger um 30 Grad. 1 Geben Sie in Pseudocode eine Schleife uber die Pendelschläge eines Tages an, die die Bewegung der Zeiger simuliert. Verwenden Sie zur Beschreibung der Zeigerposition Variablen, welche die absoluten Winkel der Zeiger in Bezug zur Null-Position (das ist oben in der Mitte der Uhr) abbilden (a für Sekundenzeiger, b für Minutenzeiger und c für Stundenzeiger). 2 Bestimmen Sie eine Schleifeninvariante, die die absoluten Winkel der Zeiger beinhaltet. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /16