8 Euklidische und unitäre Vektorräume. Skalarprodukte Orthogonalität Matrizen

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1 8 Euklidische und unitäre Vektorräume Skalarprodukte Orthogonalität Matrizen

2 8 Euklidische und unitäre Vektorräume Skalarprodukte Orthogonalität Matrizen In diesem Kapitel werden nur endlich dimensionale Vektorräume über à = Ê oder à = betrachtet.

3 8 Euklidische und unitäre Vektorräume Skalarprodukte Orthogonalität Matrizen In diesem Kapitel werden nur endlich dimensionale Vektorräume über à = Ê oder à = betrachtet. Der Querstrich bezeichnet die komplexe Konjugation z = x + iy, z = x iy. Wenn der zugrunde liegende Vektorraum reell ist, so hat er keine Bedeutung.

4 8. Skalarprodukte Sei V ein linearer Raum über Ã. Eine Abbildung (, ) : V V à heißt inneres Produkt oder Skalarprodukt in V, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind für alle α i à und x i V: (a) (α x +α 2 x 2, x 3 ) = α (x, x 3 )+α 2 (x 2, x 3 ) (Linearität),

5 8. Skalarprodukte Sei V ein linearer Raum über Ã. Eine Abbildung (, ) : V V à heißt inneres Produkt oder Skalarprodukt in V, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind für alle α i à und x i V: (a) (α x +α 2 x 2, x 3 ) = α (x, x 3 )+α 2 (x 2, x 3 ) (Linearität), (b) (x, x 2 ) = (x 2, x ) (Antisymmetrie),

6 8. Skalarprodukte Sei V ein linearer Raum über Ã. Eine Abbildung (, ) : V V à heißt inneres Produkt oder Skalarprodukt in V, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind für alle α i à und x i V: (a) (α x +α 2 x 2, x 3 ) = α (x, x 3 )+α 2 (x 2, x 3 ) (Linearität), (b) (x, x 2 ) = (x 2, x ) (Antisymmetrie), (c) (x, x) > für x (Definitheit),

7 Sesqui- und Bilinearform Wegen (b) ist (x, x) Ê.

8 Sesqui- und Bilinearform Wegen (b) ist (x, x) Ê. Aus (a) und (b) folgt, dass das innere Produkt eine Sesquilinearform ist, d.h. es ist linear in der ersten Komponente und antilinear in der zweiten, (x,α 2 x 2 +α 3 x 3 ) = (α 2 x 2 +α 3 x 3, x ) =

9 Sesqui- und Bilinearform Wegen (b) ist (x, x) Ê. Aus (a) und (b) folgt, dass das innere Produkt eine Sesquilinearform ist, d.h. es ist linear in der ersten Komponente und antilinear in der zweiten, (x,α 2 x 2 +α 3 x 3 ) = (α 2 x 2 +α 3 x 3, x ) = α 2 (x, x 2 )+α 3 (x, x 3 ).

10 Sesqui- und Bilinearform Wegen (b) ist (x, x) Ê. Aus (a) und (b) folgt, dass das innere Produkt eine Sesquilinearform ist, d.h. es ist linear in der ersten Komponente und antilinear in der zweiten, (x,α 2 x 2 +α 3 x 3 ) = (α 2 x 2 +α 3 x 3, x ) = α 2 (x, x 2 )+α 3 (x, x 3 ). Im Fall reeller Räume ist das innere Produkt eine Bilinearform.

11 Metrische Struktur Mit Hilfe des Skalarprodukts definieren wir später Abstände zwischen zwei Punkten des Vektorraums.

12 Metrische Struktur Mit Hilfe des Skalarprodukts definieren wir später Abstände zwischen zwei Punkten des Vektorraums. Mit x = (x, x) /2 können wir die Entfernung des Punktes x zum Nullpunkt definieren.

13 Standardprodukte Im Ê n ist das Standardprodukt n ( n x, y = x k y k, x = x = x k 2) /2. k= k=

14 Standardprodukte Im Ê n ist das Standardprodukt x, y = n ( n x k y k, x = x = x k 2) /2. k= k= Nach dem Satz des Pythagoras ist x gerade die Länge des Vektors x.

15 Standardprodukte Im Ê n ist das Standardprodukt x, y = n ( n x k y k, x = x = x k 2) /2. k= k= Nach dem Satz des Pythagoras ist x gerade die Länge des Vektors x. Notation: (, ) = allgemeines Skalarprodukt,, = Standardprodukt im à n.

16 Standardprodukte Im Ê n ist das Standardprodukt x, y = n ( n x k y k, x = x = x k 2) /2. k= k= Nach dem Satz des Pythagoras ist x gerade die Länge des Vektors x. Notation: (, ) = allgemeines Skalarprodukt,, = Standardprodukt im à n. Für à = : x, y = n x k y k. k=

17 Standardprodukte Im Ê n ist das Standardprodukt x, y = n ( n x k y k, x = x = x k 2) /2. k= k= Nach dem Satz des Pythagoras ist x gerade die Länge des Vektors x. Notation: (, ) = allgemeines Skalarprodukt,, = Standardprodukt im à n. Für à = : x, y = n x k y k. k= Im Komplexen wird in der zweiten Komponente des Produkts komplex konjugiert, damit x, x reell und ist.

18 Euklidische und unitäre Vektorräume Ein Vektorraum mit Skalarprodukt heißt euklidischer Vektorraum (Ã = Ê), unitärer Vektorraum (Ã = )).

19 Euklidische und unitäre Vektorräume Ein Vektorraum mit Skalarprodukt heißt euklidischer Vektorraum (Ã = Ê), unitärer Vektorraum (Ã = )). Wir sprechen von einem Raum mit Skalarprodukt, wenn wir es offen lassen, ob der Raum reell oder komplex ist.

20 Cauchy-Ungleichung Lemma In einem Raum mit Skalarprodukt gilt für alle x, y (x, y) x y.

21 Beweis (αx + y,αx + y) = α 2 x 2 +(αx, y)+(y,αx)+ y 2

22 Beweis (αx + y,αx + y) = α 2 x 2 +(αx, y)+(y,αx)+ y 2 = α 2 x 2 + 2Re ( α(x, y) ) + y 2.

23 Beweis (αx + y,αx + y) = α 2 x 2 +(αx, y)+(y,αx)+ y 2 = α 2 x 2 + 2Re ( α(x, y) ) + y 2. Wir können x voraussetzen und wählen α = (x, y)/ x 2, also αx + y 2 = y 2 (x, y) 2 x 2.

24 Induzierte Norm Lemma x = (x, x) /2 ist eine Norm auf V, sie besitzt die Eigenschaften (a) x > für x (Definitheit),

25 Induzierte Norm Lemma x = (x, x) /2 ist eine Norm auf V, sie besitzt die Eigenschaften (a) x > für x (Definitheit), (b) αx = α x für alle α Ã (positive Homogenität),

26 Induzierte Norm Lemma x = (x, x) /2 ist eine Norm auf V, sie besitzt die Eigenschaften (a) x > für x (Definitheit), (b) αx = α x für alle α Ã (c) x + y x + y (Dreiecksungleichung). (positive Homogenität),

27 Beweis Die Dreiecksungleichung beweist man mit Hilfe der Cauchy-Ungleichung x + y 2 = x 2 + 2Re(x, y)+ y 2

28 Beweis Die Dreiecksungleichung beweist man mit Hilfe der Cauchy-Ungleichung x + y 2 = x 2 + 2Re(x, y)+ y 2 x x y + y 2 = ( x + y ) 2.

29 Umgekehrte Dreiecksungleichung Aus der Dreiecksungleichung folgt die umgekehrte Dreiecksungleichung x y x y.

30 Umgekehrte Dreiecksungleichung Aus der Dreiecksungleichung folgt die umgekehrte Dreiecksungleichung x y x y. Dies folgt aus x = x y + y x y + y.

31 Umgekehrte Dreiecksungleichung Aus der Dreiecksungleichung folgt die umgekehrte Dreiecksungleichung x y x y. Dies folgt aus x = x y + y x y + y. Die andere Richtung beweist man, indem man die Rollen von x und y vertauscht.

32 8.2 Orthogonalität Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt.

33 8.2 Orthogonalität Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. x, y V heißen orthogonal (x, y) =

34 8.2 Orthogonalität Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. x, y V heißen orthogonal (x, y) = Schreibweise x y.

35 Satz von Pythagoras Satz (a) In einem euklidischen oder unitären Vektorraum gilt x y x 2 + y 2 = x + y 2.

36 Satz von Pythagoras Satz (a) In einem euklidischen oder unitären Vektorraum gilt x y x 2 + y 2 = x + y 2. (b) In einem euklidischen Vektorraum gilt auch die Umkehrung: x 2 + y 2 = x + y 2 x y.

37 Beweis (a) x + y 2 = (x + y, x + y) = x 2 +(x, y)+(y, x)+ y 2 = x 2 + y 2.

38 Beweis (a) x + y 2 = (x + y, x + y) = x 2 +(x, y)+(y, x)+ y 2 = x 2 + y 2. (b) Im euklidischen Fall gilt in der letzten Formel (x, y)+(y, x) = 2(x, y).

39 Beweis (a) x + y 2 = (x + y, x + y) = x 2 +(x, y)+(y, x)+ y 2 = x 2 + y 2. (b) Im euklidischen Fall gilt in der letzten Formel Dagegen ist bei unitären Räumen (x, y)+(y, x) = 2(x, y). (x, y)+(y, x) = (x, y)+(x, y) = 2Re(x, y).

40 Beweis (a) x + y 2 = (x + y, x + y) = x 2 +(x, y)+(y, x)+ y 2 = x 2 + y 2. (b) Im euklidischen Fall gilt in der letzten Formel Dagegen ist bei unitären Räumen (x, y)+(y, x) = 2(x, y). (x, y)+(y, x) = (x, y)+(x, y) = 2Re(x, y). Wir erhalten in diesem Fall nur, dass (x, y) rein imaginär ist.

41 Orthogonalsystem Eine Menge von Vektoren x,...,x k heißt Orthogonalsystem, wenn: x i, (x i, x j ) = für i j.

42 Orthogonalsystem Eine Menge von Vektoren x,...,x k heißt Orthogonalsystem, wenn: x i, (x i, x j ) = für i j. Ein Orthogonalsystem heißt Orthonormalsystem, wenn zusätzlich x i = für i =,...,k erfüllt ist.

43 Orthogonalsystem Eine Menge von Vektoren x,...,x k heißt Orthogonalsystem, wenn: x i, (x i, x j ) = für i j. Ein Orthogonalsystem heißt Orthonormalsystem, wenn zusätzlich x i = für i =,...,k erfüllt ist. Aus einem Orthogonalsystem x,...,x k erhalten wir mit der Normierung y i = x i / x i ein Orthonormalsystem y,...,y k.

44 Lineare Unabhängigkeit Die Vektoren in einem Orthogonalsystem sind linear unabhängig.

45 Lineare Unabhängigkeit Die Vektoren in einem Orthogonalsystem sind linear unabhängig. In α x +...+α k x k = können wir von rechts mit x j multiplizieren, = (α x +...+α k x k, x j )

46 Lineare Unabhängigkeit Die Vektoren in einem Orthogonalsystem sind linear unabhängig. In α x +...+α k x k = können wir von rechts mit x j multiplizieren, = (α x +...+α k x k, x j ) = α (x, x j )+...+α k (x k, x j ) = α j (x j, x j ).

47 Lineare Unabhängigkeit Die Vektoren in einem Orthogonalsystem sind linear unabhängig. In α x +...+α k x k = können wir von rechts mit x j multiplizieren, = (α x +...+α k x k, x j ) = α (x, x j )+...+α k (x k, x j ) = α j (x j, x j ). Es folgt α j =.

48 Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt Nun wollen wir eine l.u. Menge von Vektoren u,...,u k so linear kombinieren, dass eine Orthogonalsystem x,...,x k entsteht mit span{u,...,u i } = span{x,...,x i }, i k.

49 Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt Nun wollen wir eine l.u. Menge von Vektoren u,...,u k so linear kombinieren, dass eine Orthogonalsystem x,...,x k entsteht mit span{u,...,u i } = span{x,...,x i }, i k. Spezialfall k = 2. Setze x = u.

50 Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt Nun wollen wir eine l.u. Menge von Vektoren u,...,u k so linear kombinieren, dass eine Orthogonalsystem x,...,x k entsteht mit span{u,...,u i } = span{x,...,x i }, i k. Spezialfall k = 2. Setze x = u. Bestimme α Ã so, dass αx + u 2 x α = (u 2, x )/ x 2.

51 Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt Nun wollen wir eine l.u. Menge von Vektoren u,...,u k so linear kombinieren, dass eine Orthogonalsystem x,...,x k entsteht mit span{u,...,u i } = span{x,...,x i }, i k. Spezialfall k = 2. Setze x = u. Bestimme α Ã so, dass αx + u 2 x α = (u 2, x )/ x 2. Mit diesem α ist dann x 2 = αx + u 2 x.

52 Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt Satz Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt (, ) und sei u,...,u k eine l.u. Menge von Vektoren in V.

53 Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt Satz Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt (, ) und sei u,...,u k eine l.u. Menge von Vektoren in V. Dann erhält man durch x = u, x i+ = u i+ ein Orthogonalsystem i j= (u i+, x j ) x j 2 x j für i =,...,k

54 Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt Satz Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt (, ) und sei u,...,u k eine l.u. Menge von Vektoren in V. Dann erhält man durch x = u, x i+ = u i+ ein Orthogonalsystem mit i j= (u i+, x j ) x j 2 x j für i =,...,k span{u,...,u i } = span{x,...,x i } für i k.

55 Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt Satz Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt (, ) und sei u,...,u k eine l.u. Menge von Vektoren in V. Dann erhält man durch x = u, x i+ = u i+ ein Orthogonalsystem mit Weiter i j= (u i+, x j ) x j 2 x j für i =,...,k span{u,...,u i } = span{x,...,x i } für i k. x i y i = x i / x i ist Orthonormalsystem

56 Beweis Induktion über k: Für k = ist x = u und span{x } = span{u }.

57 Beweis Induktion über k: Für k = ist x = u und span{x } = span{u }. Sei alles für k erfüllt. Ansatz: x k+ = u k+ +α x +...+α k x k.

58 Beweis Induktion über k: Für k = ist x = u und span{x } = span{u }. Sei alles für k erfüllt. Ansatz: Multipliziere den Ansatz mit x i x k+ = u k+ +α x +...+α k x k. (x k+, x i ) = (u k+, x i )+α i (x i, x i ) wegen (x j, x i ) = für j i.

59 Beweis Induktion über k: Für k = ist x = u und span{x } = span{u }. Sei alles für k erfüllt. Ansatz: Multipliziere den Ansatz mit x i x k+ = u k+ +α x +...+α k x k. (x k+, x i ) = (u k+, x i )+α i (x i, x i ) wegen (x j, x i ) = für j i. Daher (x k+, x i ) = α i = (u k+, x i )/(x i, x i ).

60 Beweis Induktion über k: Für k = ist x = u und span{x } = span{u }. Sei alles für k erfüllt. Ansatz: Multipliziere den Ansatz mit x i x k+ = u k+ +α x +...+α k x k. (x k+, x i ) = (u k+, x i )+α i (x i, x i ) wegen (x j, x i ) = für j i. Daher (x k+, x i ) = α i = (u k+, x i )/(x i, x i ). Das ist gerade der behauptete Algorithmus.

61 Beweis Induktion über k: Für k = ist x = u und span{x } = span{u }. Sei alles für k erfüllt. Ansatz: Multipliziere den Ansatz mit x i x k+ = u k+ +α x +...+α k x k. (x k+, x i ) = (u k+, x i )+α i (x i, x i ) wegen (x j, x i ) = für j i. Daher (x k+, x i ) = α i = (u k+, x i )/(x i, x i ). Das ist gerade der behauptete Algorithmus. Wäre x k+ =, so u k+ span{x,...,x k } = span{u,...,u k } im Widerspruch zur vorausgesetzten linearen Unabhängigkeit der u,...,u k+.

62 Aber! Für die Orthogonalisierung mit einem Computerprogramm ist das hier vorgestellte Verfahren die denkbar schlechteste Möglichkeit.

63 Aber! Für die Orthogonalisierung mit einem Computerprogramm ist das hier vorgestellte Verfahren die denkbar schlechteste Möglichkeit. Besser ist daher das modifizierte Gram-Schmidt-Verfahren oder das Householder-Verfahren.

64 Orthogonales Komplement Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt (, ) und U ein Unterraum von V. Die Menge U = {x V : (x, u) = für alle u U} heißt orthogonales Komplement von U in V.

65 Orthogonales Komplement Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt (, ) und U ein Unterraum von V. Die Menge U = {x V : (x, u) = für alle u U} heißt orthogonales Komplement von U in V. Gilt für einen Vektor x V, dass (x, u) = für alle u U, so sagen wir, dass x senkrecht auf U steht und schreiben x U.

66 Beispiel Ê 2 besitzt die prinzipiellen Unterräumen {}, g, Ê 2, wobei g eine Gerade durch den Nullpunkt in Richtung x Ê 2 bezeichnet.

67 Beispiel Ê 2 besitzt die prinzipiellen Unterräumen {}, g, Ê 2, wobei g eine Gerade durch den Nullpunkt in Richtung x Ê 2 bezeichnet. Es gilt dann {} = Ê 2, Ê 2 = {}.

68 Beispiel Ê 2 besitzt die prinzipiellen Unterräumen {}, g, Ê 2, wobei g eine Gerade durch den Nullpunkt in Richtung x Ê 2 bezeichnet. Es gilt dann {} = Ê 2, Ê 2 = {}. Alle Vektoren, die auf x senkrecht stehen, bilden das orthogonale Komplement von g. Mit y x, y, gilt dann g = {αy : α Ê}.

69 Orthogonales Komplement Allgemeiner gilt in einem beliebigen Vektorraum mit Skalarprodukt {} = V, V = {}

70 Orthogonales Komplement Allgemeiner gilt in einem beliebigen Vektorraum mit Skalarprodukt {} = V, V = {} Berechnung von U für einen nichttrivialen Unterraum U von V mit dimv = n: Wähle eine Basis u,...,u r von U,

71 Orthogonales Komplement Allgemeiner gilt in einem beliebigen Vektorraum mit Skalarprodukt {} = V, V = {} Berechnung von U für einen nichttrivialen Unterraum U von V mit dimv = n: Wähle eine Basis u,...,u r von U, ergänzen sie nach dem Basisergänzungssatz mit u r+,...,u n zu einer Basis von V,

72 Orthogonales Komplement Allgemeiner gilt in einem beliebigen Vektorraum mit Skalarprodukt {} = V, V = {} Berechnung von U für einen nichttrivialen Unterraum U von V mit dimv = n: Wähle eine Basis u,...,u r von U, ergänzen sie nach dem Basisergänzungssatz mit u r+,...,u n zu einer Basis von V, wende den Gram-Schmidt-Algorithmus an und normiere die erhaltenen Vektoren.

73 Orthogonales Komplement Allgemeiner gilt in einem beliebigen Vektorraum mit Skalarprodukt {} = V, V = {} Berechnung von U für einen nichttrivialen Unterraum U von V mit dimv = n: Wähle eine Basis u,...,u r von U, ergänzen sie nach dem Basisergänzungssatz mit u r+,...,u n zu einer Basis von V, wende den Gram-Schmidt-Algorithmus an und normiere die erhaltenen Vektoren. Erhalte ein Orthonormalsystem x,...,x n von V.

74 Orthogonales Komplement Erhalte ein Orthonormalsystem x,...,x n von V.

75 Orthogonales Komplement Erhalte ein Orthonormalsystem x,...,x n von V. Es gilt U = span{x,...,x r } und die Vektoren in U = span{x r+,...,x n } stehen senkrecht auf U.

76 Orthogonales Komplement Erhalte ein Orthonormalsystem x,...,x n von V. Es gilt U = span{x,...,x r } und die Vektoren in U = span{x r+,...,x n } stehen senkrecht auf U. Daher ist U U.

77 Orthogonales Komplement Erhalte ein Orthonormalsystem x,...,x n von V. Es gilt U = span{x,...,x r } und die Vektoren in U = span{x r+,...,x n } stehen senkrecht auf U. Daher ist U U. Jeder Vektor aus V lässt sich als eine Linearkombination schreiben. v = n α i x i i=

78 Orthogonales Komplement Erhalte ein Orthonormalsystem x,...,x n von V. Es gilt U = span{x,...,x r } und die Vektoren in U = span{x r+,...,x n } stehen senkrecht auf U. Daher ist U U. Jeder Vektor aus V lässt sich als eine Linearkombination v = n α i x i i= schreiben. Sei u = r α i x i. i=

79 Orthogonales Komplement Erhalte ein Orthonormalsystem x,...,x n von V. Es gilt U = span{x,...,x r } und die Vektoren in U = span{x r+,...,x n } stehen senkrecht auf U. Daher ist U U. Jeder Vektor aus V lässt sich als eine Linearkombination schreiben. Sei v = u = n α i x i i= r α i x i. i= Ist u =, so ist u U, andernfalls ist u U mit (u, u) >. Damit ist U = U gezeigt.

80 Eigenschaften von U Satz (a) U ist Unterraum von V, (b) U U = {}, (c) dim V = dim U + dimu.

81 Beispiel (i) Sei V = Ê 3 mit dem Standard-Skalarprodukt, versehen. Sei U = {(x, y, z) T : 2x + 3y + 4z = } eine Ebene.

82 Beispiel (i) Sei V = Ê 3 mit dem Standard-Skalarprodukt, versehen. Sei U = {(x, y, z) T : 2x + 3y + 4z = } eine Ebene. Dann ist U = span{(2, 3, 4) T } wegen (2, 3, 4) T,(x, y, z) T = 2x + 3y + 4z =.

83 Beispiel (ii) Allgemeiner nennen wir einen Unterraum U eines endlich dimensionalen Vektorraums V Hyperebene, wenn dimu = dimv >.

84 Beispiel (ii) Allgemeiner nennen wir einen Unterraum U eines endlich dimensionalen Vektorraums V Hyperebene, wenn dimu = dimv >. Wie in der Konstruktion des orthogonalen Komplements beschrieben erhalten wir U = span{x} mit x. Dann gilt U = {u V : x, u = } U = {u V : x u +...+x n u n = }.

85 Beispiel (ii) Allgemeiner nennen wir einen Unterraum U eines endlich dimensionalen Vektorraums V Hyperebene, wenn dimu = dimv >. Wie in der Konstruktion des orthogonalen Komplements beschrieben erhalten wir U = span{x} mit x. Dann gilt U = {u V : x, u = } U = {u V : x u +...+x n u n = }. Man nennt dies die Hessesche Normalenform der Hyperebene U.

86 Beispiel (iii) Sei V = 3 versehen mit dem Standard-Skalarprodukt,. Für U = span{(, i, ) T,(,, ) T } = span{x, x 2 } wollen wir das orthogonale Komplement bestimmen.

87 Beispiel (iii) Sei V = 3 versehen mit dem Standard-Skalarprodukt,. Für U = span{(, i, ) T,(,, ) T } = span{x, x 2 } wollen wir das orthogonale Komplement bestimmen. Durch Probieren finden wir heraus, dass e 2 = (,, ) T nicht im Bild dieser beiden Vektoren ist.

88 Beispiel (iii) Sei V = 3 versehen mit dem Standard-Skalarprodukt,. Für U = span{(, i, ) T,(,, ) T } = span{x, x 2 } wollen wir das orthogonale Komplement bestimmen. Durch Probieren finden wir heraus, dass e 2 = (,, ) T nicht im Bild dieser beiden Vektoren ist. Mit Gram-Schmidt erhalten wir x 3 = e 2 e 2, x x, x x e 2, x 2 x 2, x 2 x 2, i =, i i, i,

89 Beispiel (iii) x 3 = e 2 e 2, x x, x x e 2, x 2 x 2, x 2 x 2 =, i i, i i,,

90 Beispiel (iii) x 3 = e 2 e 2, x x, x x e 2, x 2 x 2, x 2 x 2 =, i i, i i,, = i 2 i = 2 i

91 Beispiel (iii) x 3 = e 2 e 2, x x, x x e 2, x 2 x 2, x 2 x 2 =, i i, i i,, = i 2 i = 2 i Damit ist U = span{(i,, ) T }.

92 Beispiel (iv) Ist x = (x, x 2 ) T Ã 2, so gilt für x = ( x 2, x ) T, dass x, x =.

93 Zerlegung eines Vektors Sei U ein Unterraum des Raums V. x,...,x n sei Orthonormalbasis von V mit U = span{x,...,x r }.

94 Zerlegung eines Vektors Sei U ein Unterraum des Raums V. x,...,x n sei Orthonormalbasis von V mit U = span{x,...,x r }. Dann U = span{x r+,...,x n }.

95 Zerlegung eines Vektors Sei U ein Unterraum des Raums V. x,...,x n sei Orthonormalbasis von V mit U = span{x,...,x r }. Dann U = span{x r+,...,x n }. Entwickle ein beliebiges v V nach dieser Basis, v = n i= α ix i, so erhalte mit eine Zerlegung u = r α i x i, u = i= n i=r+ α i x i v = u + u mit u U, u U.

96 Zerlegung eines Vektors Sei U ein Unterraum des Raums V. x,...,x n sei Orthonormalbasis von V mit U = span{x,...,x r }. Dann U = span{x r+,...,x n }. Entwickle ein beliebiges v V nach dieser Basis, v = n i= α ix i, so erhalte mit eine Zerlegung u = r α i x i, u = i= n i=r+ α i x i v = u + u mit u U, u U. u und u sind nach Konstruktion eindeutig bestimmt.

97 Orthogonalprojektion Die Orthogonalprojektion von V auf U ist die Abbildung p U : V U V, v = u + u u.

98 Orthogonalprojektion Die Orthogonalprojektion von V auf U ist die Abbildung p U : V U V, v = u + u u. Satz Für p U : V U gilt: (a) p U ist linear mit pu 2 = p U p U = p U. (b) Bild p U = U, Kernp U = U. (c) Es gilt p U v v.

99 Berechnung der Orthogonalprojektion Es gilt n (u, x j ) = ( α i x i, x j ) = α j (x j, x j ) = α j. i=

100 Berechnung der Orthogonalprojektion Es gilt n (u, x j ) = ( α i x i, x j ) = α j (x j, x j ) = α j. i= Damit können wir durch einfaches Multiplizieren mit x j das α j rekonstruieren. Daher p U (v) = r (u, x i )x i. i=

101 Beispiel Sei V = Ê 4 versehen mit dem Standard-Produkt,. Sei U = span, 2,, v =

102 Beispiel Sei V = Ê 4 versehen mit dem Standard-Produkt,. Sei U = span, 2,, v = Gesucht ist die Orthogonalprojektion von V auf U. Wir bestimmen eine Orthonormalbasis von U: v =, v = 3,

103 Beispiel U = span, 2,, v =

104 Beispiel U = span, 2,, v = v 2 = 2 =, v 2 = 3,

105 Beispiel U = span, 2,, v = v 2 = 2 =, v 2 = 3, v 3 = 3 3 = 2 3, v 3 = 2 3.

106 Beispiel Damit erhalten wir die Orthonormalbasis von U x = 3, x 2 = 3, x 3 = 3.

107 Beispiel Damit erhalten wir die Orthonormalbasis von U x = 3, x 2 = 3, x 3 = 3. Damit p U (v) = v, x x + v, x 2 x 2 + v, x 3 x 3 = 3 (3, 5, 8, 3, )T.

108 8.3 Orthogonale und unitäre Matrizen In diesem Abschnitt betrachten wir nur die Vektorräume Ê n und n versehen mit dem zugehörigen Standard-Produkt.

109 8.3 Orthogonale und unitäre Matrizen In diesem Abschnitt betrachten wir nur die Vektorräume Ê n und n versehen mit dem zugehörigen Standard-Produkt. Eine reelle bzw. komplexe (n n)-matrix heißt orthogonal bzw. unitär, wenn A T A = E n bzw. A T A = E n.

110 8.3 Orthogonale und unitäre Matrizen In diesem Abschnitt betrachten wir nur die Vektorräume Ê n und n versehen mit dem zugehörigen Standard-Produkt. Eine reelle bzw. komplexe (n n)-matrix heißt orthogonal bzw. unitär, wenn A T A = E n bzw. A T A = E n. Dies bedeutet, dass A regulär ist mit A = A T bzw. A = A T.

111 8.3 Orthogonale und unitäre Matrizen In diesem Abschnitt betrachten wir nur die Vektorräume Ê n und n versehen mit dem zugehörigen Standard-Produkt. Eine reelle bzw. komplexe (n n)-matrix heißt orthogonal bzw. unitär, wenn A T A = E n bzw. A T A = E n. Dies bedeutet, dass A regulär ist mit A = A T bzw. A = A T. Damit gilt auch AA T = E n.

112 Zusammenhang mit Orthogonalität Wir bezeichnen mit a i die Spaltenvektoren von A, A = (a... a n ). Dann bedeutet A T A = E n im Reellen, dass a i, a j = δ ij := { falls i = j falls i j.

113 Zusammenhang mit Orthogonalität Wir bezeichnen mit a i die Spaltenvektoren von A, A = (a... a n ). Dann bedeutet A T A = E n im Reellen, dass a i, a j = δ ij := { falls i = j falls i j. Die Spaltenvektoren der Matrix bilden damit ein Orthonormalsystem.

114 Zusammenhang mit Orthogonalität Wir bezeichnen mit a i die Spaltenvektoren von A, A = (a... a n ). Dann bedeutet A T A = E n im Reellen, dass a i, a j = δ ij := { falls i = j falls i j. Die Spaltenvektoren der Matrix bilden damit ein Orthonormalsystem. Interpretieren wir AA T = E n auf die gleiche Weise, kommen wir zur analogen Schlussfolgerung, dass auch die Zeilenvektoren ein Orthonormalsystem bilden.

115 Komplexer Fall Im Komplexen können wir genauso folgern wegen (A T A) ij = k a ki a kj = a j, a i.

116 Äquivalente Definitionen der unitären Matrizen Wir formulieren diese Ergebnisse nur für den komplexen Fall, im Reellen gilt der folgende Satz völlig analog.

117 Äquivalente Definitionen der unitären Matrizen Wir formulieren diese Ergebnisse nur für den komplexen Fall, im Reellen gilt der folgende Satz völlig analog. Satz Sei A n n. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (a) A ist eine unitäre Matrix. (b) A ist regulär mit A = A T. (c) Die Spaltenvektoren (bzw. Zeilenvektoren) bilden eine Orthonormalbasis des n bezüglich des Standard-Produkts.

118 Beispiel (i) Im Ê 2 sind die Drehmatrizen mit Winkel ω ( ) cosω sinω A = sinω cosω offenbar orthogonal.

119 Beispiel (ii) Im Ê n ist eine Hyperebene durch einen Vektor w Ê n \{} gegeben: U = {x : w, x = }.

120 Beispiel (ii) Im Ê n ist eine Hyperebene durch einen Vektor w Ê n \{} gegeben: U = {x : w, x = }. Können w = setzen. Spiegelung an dieser Hyperebene: S = E n 2ww T.

121 Beispiel (ii) Im Ê n ist eine Hyperebene durch einen Vektor w Ê n \{} gegeben: U = {x : w, x = }. Können w = setzen. Spiegelung an dieser Hyperebene: S = E n 2ww T. Dabei ist A = ww T die (n n)-matrix mit Einträgen a ij = w i w j.

122 Beispiel (ii) Im Ê n ist eine Hyperebene durch einen Vektor w Ê n \{} gegeben: U = {x : w, x = }. Können w = setzen. Spiegelung an dieser Hyperebene: S = E n 2ww T. Dabei ist A = ww T die (n n)-matrix mit Einträgen Ist x Ê n, so gilt a ij = w i w j. x = z +αw mit z U wegen U = span{w}.

123 Beispiel (ii) Im Ê n ist eine Hyperebene durch einen Vektor w Ê n \{} gegeben: U = {x : w, x = }. Können w = setzen. Spiegelung an dieser Hyperebene: S = E n 2ww T. Dabei ist A = ww T die (n n)-matrix mit Einträgen Ist x Ê n, so gilt a ij = w i w j. x = z +αw mit z U wegen U = span{w}. Die Spiegelung an U muss diesen Vektor abbilden auf Sx = z αw:

124 Beispiel (ii) S = E n 2ww T. x = z +αw mit z U wegen U = span{w}.

125 Beispiel (ii) S = E n 2ww T. x = z +αw mit z U wegen U = span{w}. Die Spiegelung an U muss diesen Vektor abbilden auf Sx = z αw: Sx = (E n 2ww T )(z +αw) = z +αw 2(ww T )(z +αw)

126 Beispiel (ii) S = E n 2ww T. x = z +αw mit z U wegen U = span{w}. Die Spiegelung an U muss diesen Vektor abbilden auf Sx = z αw: Sx = (E n 2ww T )(z +αw) = z +αw 2(ww T )(z +αw) = z +αw 2w(w T z) 2αw(w T w).

127 Beispiel (ii) S = E n 2ww T. x = z +αw mit z U wegen U = span{w}. Die Spiegelung an U muss diesen Vektor abbilden auf Sx = z αw: Sx = (E n 2ww T )(z +αw) = z +αw 2(ww T )(z +αw) = z +αw 2w(w T z) 2αw(w T w). Im Reellen gilt für Spaltenvektoren x, y, dass x T y = x, y. Damit ist w T z = wegen w z und w T w = wegen w =.

128 Beispiel (ii) S = E n 2ww T. x = z +αw mit z U wegen U = span{w}. Die Spiegelung an U muss diesen Vektor abbilden auf Sx = z αw: Sx = (E n 2ww T )(z +αw) = z +αw 2(ww T )(z +αw) = z +αw 2w(w T z) 2αw(w T w). Im Reellen gilt für Spaltenvektoren x, y, dass x T y = x, y. Damit ist w T z = wegen w z und w T w = wegen w =. Erhalte Sx = z αw wie behauptet.

129 Beispiel (ii) S = E n 2ww T. x = z +αw mit z U wegen U = span{w}. Die Spiegelung an U muss diesen Vektor abbilden auf Sx = z αw: Sx = (E n 2ww T )(z +αw) = z +αw 2(ww T )(z +αw) = z +αw 2w(w T z) 2αw(w T w). Im Reellen gilt für Spaltenvektoren x, y, dass x T y = x, y. Damit ist w T z = wegen w z und w T w = wegen w =. Erhalte Sx = z αw wie behauptet. Es gilt S 2 = Id, S = S T S ist orthogonal.

130 Strukturerhaltende Abbildungen Für beliebige reelle (n n)-matrizen A gilt Ax, y = x, A T y für alle x, y Ê n wegen n n n n n Ax, y = (Ax) k y k = a kj x j y k = ajk T x jy k = x, A T y. k= k= j= k= j=

131 Strukturerhaltende Abbildungen Für beliebige reelle (n n)-matrizen A gilt Ax, y = x, A T y für alle x, y Ê n wegen n n n n n Ax, y = (Ax) k y k = a kj x j y k = ajk T x jy k = x, A T y. k= k= j= k= j= Damit gilt für eine orthogonale (n n)-matrix A Ax, Ay = x, A T Ay = x, y Ax = x

132 Strukturerhaltende Abbildungen Für beliebige reelle (n n)-matrizen A gilt wegen Ax, y = Ax, y = x, A T y für alle x, y Ê n n (Ax) k y k = k= n k= j= n a kj x j y k = n k= j= Damit gilt für eine orthogonale (n n)-matrix A Ax, Ay = x, A T Ay = x, y Ax = x Die zugehörigen orthogonalen Selbstabbildungen f(x) = Ax erhalten damit alle Strukturen, die in einem euklidischen Vektorraum vorhanden sind. n ajk T x jy k = x, A T y.

133 Eine weitere äquivalente Bedingung Hat eine (n n)-matrix A die Eigenschaft Ax = x für alle x à n so ist sie bereits orthogonal bzw. unitär.

134 Eine weitere äquivalente Bedingung Hat eine (n n)-matrix A die Eigenschaft Ax = x für alle x à n so ist sie bereits orthogonal bzw. unitär. Im Reellen gilt Ax+Ay 2 = x+y 2 (Ax, Ay) = (x, y) wegen Ax = x, Ay = y, woraus (x, A T Ay) = (x, y) folgt.

135 Eine weitere äquivalente Bedingung Hat eine (n n)-matrix A die Eigenschaft Ax = x für alle x à n so ist sie bereits orthogonal bzw. unitär. Im Reellen gilt Ax+Ay 2 = x+y 2 (Ax, Ay) = (x, y) wegen Ax = x, Ay = y, woraus (x, A T Ay) = (x, y) folgt. Wir können hier für x die kanonischen Einheitsvektoren einsetzen und erhalten A T Ay = y für alle y A T A = E n.

136 Eine weitere äquivalente Bedingung Hat eine (n n)-matrix A die Eigenschaft Ax = x für alle x à n so ist sie bereits orthogonal bzw. unitär. Im Reellen gilt Ax+Ay 2 = x+y 2 (Ax, Ay) = (x, y) wegen Ax = x, Ay = y, woraus (x, A T Ay) = (x, y) folgt. Wir können hier für x die kanonischen Einheitsvektoren einsetzen und erhalten A T Ay = y für alle y A T A = E n. Im Komplexen folgt mit gleicher Überlegung nur Re(Ax, Ay) = Re(x, y). Wir können hier aber x durch ix ersetzen und erhalten dann auch Im(Ax, Ay) = Im(x, y). Der Rest verläuft genauso wie zuvor.

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