Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah"

Transkript

1 Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah Sie erhalten hier einen Einblick in die Dokumente Aufgaben und Lösungen sowie Erläuterungen Beim Kauf erhalten Sie zudem zusätzlich die Dokumente Übersichtsdiagrammamm sowie Altklausuranalyse dieses Themengebiets. Weitere Erläuterungen zu den einzelnen Dokumenten finden Sie auf der Startseite des Webauftritts (www.schema-f-hagen.de). Bei den folgenden Einblicken können Sie - den modularen Aufbau (durch Aufgabenvarianten) - und die Zuordnungssystematik des Komfortsystems erkennen: Die Symbole rechts oben verbinden die Abschnitte, für eine schnelle Zuordnung: Erläuterungen Aufgaben und Lösungen Diese Symbole werden auch beim Übersichtsdiagramm und bei der Altklausurenanalyse aufgegriffen und verwendet.

2 Algorithmische Mathematik Erläuterungen Lernmaterial zum Modul der Fernuniversität Hagen

3 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen und Relationen Eine erste Idee von Funktionen Erklärung Injektive Funktionen Erklärung Beispielaufgabe Beispielaufgabe Surjektive Funktionen Erklärung Beispielaufgabe Beispielaufgabe Bijektive Funktionen Erklärung Beispielaufgabe Relationen Erklärung Beispielaufgabe Beispielaufgabe Beispielaufgabe Beispielaufgabe Numerische Grundlagen Ausdruck auswerten Erklärung Beispielaufgabe Abschätzungen Erklärung Beispielaufgabe Konvergenzrate Erklärung Beispielaufgabe

4 Algorithmische Mathematik Erläuterungen S Surjektive Funktionen Erklärung Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element im Bildraum erreicht wird, bzw. wenn es für jedes Element ein Urbild gibt. Formal: f : A B surjektiv b B a A : f(a) = b Für alle Elemente b im Bildraum gibt es (mindestens) ein Element a aus dem Definitionsbereich, sodass a auf b abgebildet wird. Surjektivität hängt insbesondere von der Zielmenge der Funktion ab. Z. Bsp. ist die Funktionx x 2 nicht surjektiv, wenn die Zielmenge R ist, jedoch Surjektiv, wenn die Zielmenge R 0 = [0, [ ist. Visuelle Beispiele: NICHT surjektiv surjektiv a b c d v x y z w a b c d x y z Bei Graphen im Koordinatensystem kann man nicht unbedingt sehen, ob eine Funktion surjektiv ist, da man dort meist nur einen Ausschnitt der Zielmenge darstellt. Beispielaufgabe 1 Wir zeigen, dass f : Q Q mit x 3x+5 surjektiv ist. Dafür müssen wir zeigen, dass jeder Wert z Q erreicht wird. Wir müssen also die Gleichung f(x) = z nach x auflösen. f(x) = z 3x+5 = z x = z 5 3 Wir haben also ein x gefunden, das auf z abgebildet wird. Da z beliebig gewählt war, folgt, dass man für alle z ein x findet mit x z. Also ist die Funktion surjektiv. Q

5 Algorithmische Mathematik Erläuterungen S. 10 Beispielaufgabe 2 Wir zeigen, dass f : N Z mit n 3 n nicht surjektiv ist. Dafür müssen wir einen Wert finden, der von f nicht erreicht wird. Zum Beispiel 7, denn 7 = f(n) 7 = 3 n 4 = n Aber n darf nur in N leigen. Also wird 7 nicht erreicht; die Funktion kann nicht surjektiv sein.

6 Algorithmische Mathematik Aufgaben und Lösungen Lernmaterial zum Modul der Fernuniversität Hagen

7 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen und Relationen Injektive Funktionen Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Surjektive Funktionen Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Bijektive Funktionen Aufgabe Aufgabe Aufgabe Relationen Aufgabe Aufgabe Aufgabe Numerische Grundlagen Ausdruck auswerten Aufgabe Aufgabe Aufgabe Abschätzungen Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Konvergenzrate Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe

8 Algorithmische Mathematik Aufgaben und Lösungen S Surjektive Funktionen Aufgabe Aufgabenstellung Ist die Funktion f : Z R x 3 x surjektiv? Lösung Wenn in 3 x für x eine ganze Zahl eingesetzt wird, so ist das Ergebnis immer eine rationale Zahl. Also können irrationale Zahlen in R nicht erreicht werden. Z. Bsp. f(x) = 2 3 x = 2 x ln(3) = ln( 2) x = ln(3) ln( 2) / Z Folglich kann f nicht surjektiv sein.

Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah

Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah www.schema-f-hagen.de Sie erhalten hier einen Einblick in die Dokumente Aufgaben und Lösungen sowie Erläuterungen Beim Kauf erhalten Sie zudem

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Wintersemester 0/0 Wirtschaftsinformatik Bachelor IW Informatik Bachelor IN Vorlesung Mathematik Mathematik Lösungsvorschläge zum Übungsblatt

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

1 Loesungen zu Analysis 1/ 1.Uebung

1 Loesungen zu Analysis 1/ 1.Uebung Loesungen ausgewaehlter Beispiele zu Analysis I, G. Bergauer, Seite 1 1 Loesungen zu Analysis 1/ 1.Uebung 1.1 Einleitung Gegeben Mengen X, A mit A X. Sei die Menge durch A = {a X : a erfuellt B} gegeben,

Mehr

Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe

Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe Kapitel 5 Abbildungen 5.1 Definition: (Abbildung) Eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschrift f : M N, die jedem Element x M ein Element f(x) N zuordnet. Schreibweise: x f(x) 5. Beispiel:

Mehr

Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken. Übungsaufgaben

Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken. Übungsaufgaben Justus-Liebig-Universität Gießen Fachbereich 07 Mathematisches Institut Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken Übungsaufgaben PD Dr. Elena Berdysheva Aufgabe 1. Schreiben Sie folgende

Mehr

f(x) = x f 1 (x) = x. Aufgabe 2. Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv, bijektiv?

f(x) = x f 1 (x) = x. Aufgabe 2. Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv, bijektiv? Umkehrfunktionen Aufgabe 1. Sei A = {1, 2, 3, 4}. Definieren Sie eine bijektive Funktion f A A und geben Sie ihre Umkehrfunktion f 1 an. Lösung von Aufgabe 1. Zum Beispiel f, f 1 A A mit f(x) = x f 1 (x)

Mehr

Unter einer Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B versteht man eine Vorschrift, die jedem a A eindeutig ein bestimmtes b = f (a) B zuordnet:

Unter einer Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B versteht man eine Vorschrift, die jedem a A eindeutig ein bestimmtes b = f (a) B zuordnet: Abbildung Unter einer Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B versteht man eine Vorschrift, die jedem a A eindeutig ein bestimmtes b = f (a) B zuordnet: f : A B. Für die Elementzuordnung verwendet

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Funktionen. Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet.

Funktionen. Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet. 1 Der Funktionsbegriff Funktionen Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet. Dabei nennt man die Menge A Definitionsmenge

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

4.1 Definition. Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn. = y 1. = y 2. xfy 1. xfy 2

4.1 Definition. Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn. = y 1. = y 2. xfy 1. xfy 2 4.1 Definition Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn xfy 1 xfy 2 = y 1 = y 2 Y heißt Zielbereich oder Zielmenge von f. Statt (x, y) f oder xfy schreibt man y = f(x). Vollständige

Mehr

Lektion 7: Einführung in den Funktionsbegriff

Lektion 7: Einführung in den Funktionsbegriff Lektion 7: Einführung in den Funktionsbegriff Definition 1: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem Wert des Definitionsbereiches ID f der Funktion (meistens die Menge der x-werte ) wird genau

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 2.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 2.1 .1 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen & Gleichungssysteme Quadratische und Gleichungen

Mehr

der Eingabe! Haben Sie das Ergebnis? Auf diesen schwarzen Punkt kommen wir noch zu sprechen.

der Eingabe! Haben Sie das Ergebnis? Auf diesen schwarzen Punkt kommen wir noch zu sprechen. Medizintechnik MATHCAD Kapitel. Einfache Rechnungen mit MATHCAD ohne Variablendefinition In diesem kleinen Kapitel wollen wir die ersten Schritte mit MATHCAD tun und folgende Aufgaben lösen: 8 a: 5 =?

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

Mehr

Abbildungen, injektiv, surjektiv, bijektiv

Abbildungen, injektiv, surjektiv, bijektiv Dr. Sebastian Bab WiSe 12/13 Theoretische Grundlagen der Informatik für TI Termin: VL 4 vom 25.10.2012 Abbildungen, injektiv, surjektiv, bijektiv Abbildungen sind eindeutige Zuordnungen Denition 23 (Abbildung(Funktion))

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer

Mehr

Funktionen und Mächtigkeiten

Funktionen und Mächtigkeiten Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit

Mehr

i=1 j= 5 2. Verifizieren Sie die Gleichung indem Sie die Ausdrücke ohne Summenzeichen schreiben. j=0

i=1 j= 5 2. Verifizieren Sie die Gleichung indem Sie die Ausdrücke ohne Summenzeichen schreiben. j=0 Übungen zur Einführung in die Analysis (Einführung in das mathematische Arbeiten WS 2017 1. Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne Verwendung von Summen- bzw. Produktzeichen: 7 2 3 5 k 2k+1, a k, 2

Mehr

Abbildungseigenschaften

Abbildungseigenschaften Abbildungseigenschaften.5. Injektivität Injektivität (injektiv, linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert

Mehr

HM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016

HM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016 HM I Tutorium 1 Lucas Kunz 27. Oktober 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Logische Verknüpfungen............................ 2 1.2 Quantoren.................................... 3 1.3 Mengen und ihre

Mehr

3. Für beliebiges A bezeichnet man die Menge A A manchmal auch mit A 2 (in Worten:

3. Für beliebiges A bezeichnet man die Menge A A manchmal auch mit A 2 (in Worten: 35 4 Paarungen 4. Produktmengen Die Mengen {x, y} und {y, x} sind gleich, weil sie die gleichen Elemente enthalten. Manchmal legt man aber zusätzlich Wert auf die Reihenfolge der Elemente. Die Objekte

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 01/13 Hochschule Augsburg Mathematik : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren

Mehr

(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt

(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt Zurück zur Mengenlehre: Abbildungen zwischen Mengen (1.17) Def.: Es seien M, N Mengen. Eine Abbildung f : M N von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem x M genau ein Element f(x) N zuordnet. a) M = N

Mehr

2 Mengen, Abbildungen und Relationen

2 Mengen, Abbildungen und Relationen Vorlesung WS 08 09 Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff 2 Mengen, Abbildungen und Relationen Definition 2.1 (Mengen von Cantor, 1845 1918) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohl

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1

Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1 Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1 Aufgabe 1.1 ( Punkte) Schreiben Sie die Definitionen von Injektivität und Surjektivität einer Funktion als prädikatenlogische Formeln auf. Lösung

Mehr

3. Funktionen. 3.1 Grundbegriffe [Kö 4.1; Sch-St 4.3]

3. Funktionen. 3.1 Grundbegriffe [Kö 4.1; Sch-St 4.3] 13 3. Funktionen 3.1 Grundbegriffe [Kö 4.1; Sch-St 4.3] Definition 1. A und B seien Mengen. a Eine Abbildung (oder Funktion f von A nach B (Schreibweise: f: A B ist eine Vorschrift, die jedem x A genau

Mehr

Vorkurs Mathematik Abbildungen

Vorkurs Mathematik Abbildungen Vorkurs Mathematik Abbildungen Philip Bell 19. September 2016 Diese Arbeit beruht im Wesentlichen auf dem Vortrag Relationen, Partitionen und Abbildungen von Fabian Grünig aus den vorangehenden Jahren.

Mehr

4. Abbildung / Funktion

4. Abbildung / Funktion 4. Abbildung / Funktion In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Eingangsgröße, Funktionsargument, unabhängige Variable,

Mehr

Diskrete Strukturen Vorlesungen 5 und 6

Diskrete Strukturen Vorlesungen 5 und 6 Sebastian Thomas RWTH Aachen, WS 2016/17 07.11.2016 09.11.2016 Diskrete Strukturen Vorlesungen 5 und 6 3 Abbildungen In diesem Abschnitt führen wir Abbildungen zwischen Mengen ein. Während Mengen von der

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 3: Alphabete (und Relationen, Funktionen, Aussagenlogik) Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Oktober 2008 1/18 Überblick Alphabete ASCII Unicode

Mehr

MGS Abbildungen (Funktionen) Beispiele: Einkommensteuer Regelungs- und Steuerungstechnik

MGS Abbildungen (Funktionen) Beispiele: Einkommensteuer Regelungs- und Steuerungstechnik 4. Abbildungen (Funktionen) MGS 4-1 08.10.02 Beispiele: Einkommensteuer Regelungs- und Steuerungstechnik Rolf Linn Berechnung Ralf Linn Produkt * Kaufpreis MGS 4-5 08.10.02 1950.- 500000.- 495.- 4. Abbildungen

Mehr

FU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4)

FU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4) FU Berlin: WiSe 13-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5 Aufgabe 18 (siehe Musterlösung Zettel 4) Aufgabe 20 In der Menge R der reellen Zahlen sei die Relation 2 R 2 definiert durch: x 2 y :

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

17 Lineare Abbildungen

17 Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 1 17 Lineare Abbildungen Wir beginnen mit der Klärung des Abbildungsbegriffes. (17.1) DEF: M und N seien nichtleere Mengen. Eine Abbildung f von M nach N (in Zeichen:

Mehr

2 Mengen und Abbildungen

2 Mengen und Abbildungen 2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:

Mehr

Zusammenfassung An1I HS2012 Analysis für Informatiker 1

Zusammenfassung An1I HS2012 Analysis für Informatiker 1 Zusammenfassung An1I HS2012 Analysis für Informatiker 1 Emanuel Duss emanuel.duss@gmail.com 19. November 2012 Analysis für Informatiker 1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Lehre von

Mehr

Bemerkungen zur Notation

Bemerkungen zur Notation Bemerkungen zur Notation Wir haben gerade die Symbole für alle und es gibt gebraucht. Dies sind so genannte logische Quantoren, und zwar der All- und der Existenzquantor. Die Formel {a A; ( b B)[(a, b)

Mehr

1 Aussagenlogik und Mengenlehre

1 Aussagenlogik und Mengenlehre 1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

5. Übungsblatt (Musterlösung)

5. Übungsblatt (Musterlösung) Universität Konstanz Mathematische Grundlagen der Informatik Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft WS 2015/2016 Prof. Dr. Sven Kosub / Dominik Bui, Franz Hahn, Fabian Sperrle 5. Übungsblatt

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

Tutorium: Diskrete Mathematik

Tutorium: Diskrete Mathematik Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 01.12.2017 (Teil 1) 22. November 2017 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Mehr

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y

Mehr

Ein geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen sind nicht erlaubt!

Ein geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen sind nicht erlaubt! Relationen, Funktionen und Partitionen 1. Geordnetes Paar Ein geordnetes Paar (oder: ein 2-Tupel) enthält immer zwei Elemente, deren Reihenfolge festgelegt ist. Mehrfachnennungen

Mehr

4. Abbildungen. Was ist eine Abbildung? Eigenschaften: injektiv surjektiv bijektiv Umkehrabbildung. Rolf Linn. 4. Abbildungen GM 4-1

4. Abbildungen. Was ist eine Abbildung? Eigenschaften: injektiv surjektiv bijektiv Umkehrabbildung. Rolf Linn. 4. Abbildungen GM 4-1 4. bbildungen Was ist eine bbildung? Eigenschaften: injektiv surjektiv bijektiv Umkehrabbildung 4. bbildungen GM 4-1 Wozu bbildungen? In der Mathematik In fast allen Gebieten der Mathematik spielen bbildungen

Mehr

Schubfachprinzip. Lea Jacobs. November 9, 2015

Schubfachprinzip. Lea Jacobs. November 9, 2015 Schubfachprinzip Lea Jacobs November 9, 2015 Inhalt 1. Definition und Beweis 2. Haare zählen 3. Beispiel mit Differenz 4. Abbildungseigenschaften 5. Grade in ungerichteten Graphen 6. Teilbarkeit 7. Summen

Mehr

Kurzeinführung zum Plotten in Maple

Kurzeinführung zum Plotten in Maple Kurzeinführung zum Plotten in Maple Dies ist eine sehr kurze Einführung, die lediglich einen Einblick in die Visualisierung von Funktionen und Mengen gestatten soll und keinesfalls um Vollständigkeit bemüht

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Dominik Schillo Universität des Saarlandes 7.0.07 (Stand: 7.0.07, 6: Uhr) Frage Wofür gibt es für Studierende der Biologie und des Lehramtes

Mehr

Wir unterscheiden folgende drei Schritte im Design paralleler Algorithmen:

Wir unterscheiden folgende drei Schritte im Design paralleler Algorithmen: 1 Parallele Algorithmen Grundlagen Parallele Algorithmen Grundlagen Wir unterscheiden folgende drei Schritte im Design paralleler Algorithmen: Dekomposition eines Problems in unabhängige Teilaufgaben.

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. Aufgaben mit Musterlösung

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. Aufgaben mit Musterlösung Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen Aufgaben mit Musterlösung 21. März 2011 Tanja Geib 1 Aufgabe 1 Geben Sie zu B = {0, 2, 4} und

Mehr

Übungen Mathematik I, M

Übungen Mathematik I, M Übungen Mathematik I, M Übungsblatt, Lösungen (Stoff aus Mathematik 0) 09.0.0. Kommissar K hat 3 Tatverdächtige P, Q und R. Er weiß: (a) Wenn sich Q oder R als Täter herausstellen, dann ist P unschuldig.

Mehr

Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema

Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Vorstellung Microsoft Mathematics 4.0

Vorstellung Microsoft Mathematics 4.0 Vorstellung Microsoft Mathematics 4.0 Inhaltsverzeichnis Plotten einer Funktion... 3 Lösen von Gleichungen... 5 Lösen von Gleichungssystemen... 6 Der Dreieck-Assistent... 8 Vergleich von Mathematics mit

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Aufgabenblatt 1: Abgabe am vor der Vorlesung

Aufgabenblatt 1: Abgabe am vor der Vorlesung Aufgabenblatt 1: Abgabe am 17.09.09 vor der Vorlesung Aufgabe 1. a.) (1P) Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an: 6x + y = 10. Zeichnen Sie die Lösungsmenge in ein Koordinatensystem. b.)

Mehr

Kernfach Mathematik Thema: Analysis

Kernfach Mathematik Thema: Analysis Kernfach Mathemati Bahnlinie Bei A-Stadt endet eine Bahnlinie. In nebenstehender Zeichnung ist ein Koordinatenreuz so gelegt worden, dass A mit dem Ursprung zusammenfällt. Die Bahnlinie verläuft entlang

Mehr

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6

Mehr

Funktionen, Mächtigkeit, Unendlichkeit

Funktionen, Mächtigkeit, Unendlichkeit Funktionen, Mächtigkeit, Unendlichkeit Nikolai Nowaczyk http://math.nikno.de, Lars Wallenborn http://www.wallenborn.net/ Frühjahrsakademie 12.04. - 14.04.2013 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Erste-Schritte VP 5.1

Erste-Schritte VP 5.1 In diesem Dokument werden wichtige Einstellungen beschrieben, die vorgenommen werden müssen, wenn mit einer leeren Planung begonnen wird. Inhaltsverzeichnis Erstellung einer leeren Planung...1 Wichtige

Mehr

Institut für Stochastik, Fernstudienzentrum

Institut für Stochastik, Fernstudienzentrum Institut für Stochastik, Fernstudienzentrum Vorkurs Mathematik für die Fachrichtung Wirtschaftswissenschaften im Herbst 2014 Präsenzwoche Übungsaufgaben zum Thema Abbildungen Aufgabe 8 Es seien Ω := {0,

Mehr

Mathematik für Informatiker I. Musterlösungen zum Hausübungsblatt 3. Aufgabe 1. Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11

Mathematik für Informatiker I. Musterlösungen zum Hausübungsblatt 3. Aufgabe 1. Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11 Mathematik für Informatiker I Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11 Musterlösungen zum Hausübungsblatt 3 Aufgabe 1 Zu überpüfen sind jeweils folgende Eigenschaften: 1. Reflexivität: x R x x S 2. Symmetrie:

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 3 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P4) Wir betrachten die Menge M := P({1, 2, 3, 4}). Dann gilt 1 / M,

Mehr

Lösungen der Trainingsaufgaben aus. Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge

Lösungen der Trainingsaufgaben aus. Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge Lösungen der Trainingsaufgaben aus Toolbo Mathematik für MINT-Studiengänge 3 Funktionen Version 22. Dezember 206 Lösung zu Aufgabe 3. Eine Funktion f ordnet jedem Element aus einer Definitionsmenge D genau

Mehr

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,

Mehr

Mengen, Funktionen und Logik

Mengen, Funktionen und Logik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Lösungen zu Kapitel 7

Lösungen zu Kapitel 7 Lösungen zu Kapitel 7 Lösung zu Aufgabe 1: Nach Definition 7.1 ist eine Verknüpfung auf der Menge H durch eine Abbildung : H H H definiert. Gilt H = {a 1,..., a m }, so wird eine Verknüpfung auch vollständig

Mehr

Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 7. November Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/18

Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 7. November Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/18 1/18 Formale Methoden 1 Gerhard Jäger Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de Uni Bielefeld, WS 2007/2008 7. November 2007 2/18 Geordnete Paare Mengen sind ungeordnet: {a, b} = {b, a} für viele Anwendungen braucht

Mehr

Funktionen. Diskrete Strukturen. Sommersemester Uta Priss ZeLL, Ostfalia. Ihre Fragen Funktionen SetlX Funktionen Verkettung und Mehrstelligkeit

Funktionen. Diskrete Strukturen. Sommersemester Uta Priss ZeLL, Ostfalia. Ihre Fragen Funktionen SetlX Funktionen Verkettung und Mehrstelligkeit Funktionen Diskrete Strukturen Uta Priss ZeLL, Ostfalia Sommersemester 2016 Diskrete Strukturen Funktionen Slide 1/23 Agenda Ihre Fragen Funktionen SetlX Funktionen Verkettung und Mehrstelligkeit Diskrete

Mehr

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27 DLP Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de Fachbereich Mathematik und Informatik ALZAGK SEMINAR Bremen, den 18. Januar 2011 1 / 27 Inhaltsverzeichnis 1 Der diskrete Logarithmus Definition

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

2 Funktionen einer Variablen

2 Funktionen einer Variablen 2 Funktionen einer Variablen 2.1 Einführende Beispiele Kostenfunktion und Stückkostenfunktion: Das Unternehmen Miel produziert hochwertige Waschmaschinen. Es hat monatliche Fikosten von 170.000. Die sind

Mehr

Kapitel 11. Dimension und Isomorphie

Kapitel 11. Dimension und Isomorphie Kapitel 11. Dimension und Isomorphie Bestimmung der Dimension Satz. Sei (v 1, v 2,..., v n ) ein minimales Erzeugendensystem von V, d.h. dieses System ist ein Erzeugendensystem von V, aber keines der nach

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

1.3 Abbildungen. Definition : Abbildung, Definitionsbereich, Zielbereich, Bildmenge

1.3 Abbildungen. Definition : Abbildung, Definitionsbereich, Zielbereich, Bildmenge Abbildungen Grundlagen der Mathematik Abbildungen Deinition : Abbildung, Deinitionsbereich, Zielbereich, Bildmenge Eine Abbildung : D Z ordnet jedem Element D eindeutig ein Z zu D heißt Deinitionsbereich

Mehr

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

Altklausurenanalyse. Deskriptive Statistik. Übersichtsdiagramm. Grundlagen der Wirtschaftsmathematik. Statistik

Altklausurenanalyse. Deskriptive Statistik. Übersichtsdiagramm. Grundlagen der Wirtschaftsmathematik. Statistik Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik Übersichtsdiagramm Lernmaterial zum Modul - 31101 - der Fernuniversität Hagen INHALTSVERZEICHNIS 1. Ein paar Worte vorweg... 1 2. Zur Methodik des Kennzahlensystems...

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler 1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.

Mehr

MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016

MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016 MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/17 MARK HAMILTON LMU MÜNCHEN 1.1. Grundbegriffe zu Mengen. 1. 17. OKTOBER 2016 Definition 1.1 (Mengen und Elemente). Eine Menge ist die Zusammenfassung

Mehr

$Id: funktion.tex,v /11/08 13:28:24 hk Exp hk $

$Id: funktion.tex,v /11/08 13:28:24 hk Exp hk $ $Id: funktion.tex,v 1.3 2010/11/08 13:28:24 hk Exp hk $ 3 Funktionen Dieses Kapitel ist das letzte der vorbereitenden, allgemeinen Kapitel und wir wollen uns mit dem Funktionsbegriff beschäftigen. Während

Mehr

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Aufgabe 1. Geben Sie einen ausführlichen Beweis für folgende Aussage: Wenn f A B surjektiv ist und R A A A eine reflexive Relation auf A ist, dann ist R B = {( f(x), f(y)

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

Mathematik für Ökonomen 1

Mathematik für Ökonomen 1 Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen

Mehr

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7 Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz März 2011 Inhalt 1 Mengen 1 1.1 Mengenoperationen.............................. 2 1.2 Rechenregeln.................................. 3 2 Übungsbeispiele zum

Mehr

Abbildungen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

Abbildungen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden Abbildungen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Abbildungen Die wichtigsten Relationen sind die Abbildungen: Eine Abbildung (A,B,f ) von A nach

Mehr

Quadratwurzel. Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen?

Quadratwurzel. Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen? 1. Zahlenpartner Quadratwurzel Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen? Quelle: Schnittpunkt 9 (1995) Variationen: (a) einfachere Zahlen (b) ein weiteres

Mehr

Anwendungsbeispiele Buchhaltung

Anwendungsbeispiele Buchhaltung Kostenstellen in Webling Webling ist ein Produkt der Firma: Inhaltsverzeichnis 1 Kostenstellen 1.1 Was sind Kostenstellen? 1.2 Kostenstellen in der 2 Kostenstellen in Webling 2.1 Kostenstellen erstellen

Mehr