Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah

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1 Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah Sie erhalten hier einen Einblick in die Dokumente Aufgaben und Lösungen sowie Erläuterungen Beim Kauf erhalten Sie zudem zusätzlich die Dokumente Übersichtsdiagrammamm sowie Altklausuranalyse dieses Themengebiets. Weitere Erläuterungen zu den einzelnen Dokumenten finden Sie auf der Startseite des Webauftritts ( Bei den folgenden Einblicken können Sie - den modularen Aufbau (durch Aufgabenvarianten) - und die Zuordnungssystematik des Komfortsystems erkennen: Die Symbole rechts oben verbinden die Abschnitte, für eine schnelle Zuordnung: Erläuterungen Aufgaben und Lösungen Diese Symbole werden auch beim Übersichtsdiagramm und bei der Altklausurenanalyse aufgegriffen und verwendet.

2 Algorithmische Mathematik Erläuterungen Lernmaterial zum Modul der Fernuniversität Hagen

3 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen und Relationen Eine erste Idee von Funktionen Erklärung Injektive Funktionen Erklärung Beispielaufgabe Beispielaufgabe Surjektive Funktionen Erklärung Beispielaufgabe Beispielaufgabe Bijektive Funktionen Erklärung Beispielaufgabe Relationen Erklärung Beispielaufgabe Beispielaufgabe Beispielaufgabe Beispielaufgabe Numerische Grundlagen Ausdruck auswerten Erklärung Beispielaufgabe Abschätzungen Erklärung Beispielaufgabe Konvergenzrate Erklärung Beispielaufgabe

4 Algorithmische Mathematik Erläuterungen S Surjektive Funktionen Erklärung Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element im Bildraum erreicht wird, bzw. wenn es für jedes Element ein Urbild gibt. Formal: f : A B surjektiv b B a A : f(a) = b Für alle Elemente b im Bildraum gibt es (mindestens) ein Element a aus dem Definitionsbereich, sodass a auf b abgebildet wird. Surjektivität hängt insbesondere von der Zielmenge der Funktion ab. Z. Bsp. ist die Funktionx x 2 nicht surjektiv, wenn die Zielmenge R ist, jedoch Surjektiv, wenn die Zielmenge R 0 = [0, [ ist. Visuelle Beispiele: NICHT surjektiv surjektiv a b c d v x y z w a b c d x y z Bei Graphen im Koordinatensystem kann man nicht unbedingt sehen, ob eine Funktion surjektiv ist, da man dort meist nur einen Ausschnitt der Zielmenge darstellt. Beispielaufgabe 1 Wir zeigen, dass f : Q Q mit x 3x+5 surjektiv ist. Dafür müssen wir zeigen, dass jeder Wert z Q erreicht wird. Wir müssen also die Gleichung f(x) = z nach x auflösen. f(x) = z 3x+5 = z x = z 5 3 Wir haben also ein x gefunden, das auf z abgebildet wird. Da z beliebig gewählt war, folgt, dass man für alle z ein x findet mit x z. Also ist die Funktion surjektiv. Q

5 Algorithmische Mathematik Erläuterungen S. 10 Beispielaufgabe 2 Wir zeigen, dass f : N Z mit n 3 n nicht surjektiv ist. Dafür müssen wir einen Wert finden, der von f nicht erreicht wird. Zum Beispiel 7, denn 7 = f(n) 7 = 3 n 4 = n Aber n darf nur in N leigen. Also wird 7 nicht erreicht; die Funktion kann nicht surjektiv sein.

6 Algorithmische Mathematik Aufgaben und Lösungen Lernmaterial zum Modul der Fernuniversität Hagen

7 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen und Relationen Injektive Funktionen Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Surjektive Funktionen Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Bijektive Funktionen Aufgabe Aufgabe Aufgabe Relationen Aufgabe Aufgabe Aufgabe Numerische Grundlagen Ausdruck auswerten Aufgabe Aufgabe Aufgabe Abschätzungen Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Konvergenzrate Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe

8 Algorithmische Mathematik Aufgaben und Lösungen S Surjektive Funktionen Aufgabe Aufgabenstellung Ist die Funktion f : Z R x 3 x surjektiv? Lösung Wenn in 3 x für x eine ganze Zahl eingesetzt wird, so ist das Ergebnis immer eine rationale Zahl. Also können irrationale Zahlen in R nicht erreicht werden. Z. Bsp. f(x) = 2 3 x = 2 x ln(3) = ln( 2) x = ln(3) ln( 2) / Z Folglich kann f nicht surjektiv sein.